精品解析：吉林通化市某校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学期中考试试题 考试时间120分钟 满分150分 第I卷(共 58 分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有， A. 1359人 B. 1569人 C. 2719人 D. 3409人 6. 一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量，满足：，，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中的系数为-192 C. 展开式中的二项式系数最大项为第3项 D. 当时，除以8的余数为1 10. 袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ） A. B. 随机变量服从二项分布 C. D. 记这个球中白球的个数为，则 11. 对于函数，下列说法正确的有（    ） A. 在 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若 在上恒成立，则 第Ⅱ卷(共 92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则______. 13. 本学期辉南六中高二年级准备举办一场课本剧展演，前8个班级每班准备了1个节目，杨老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中1班和2班都要表演《屈原》，因此需要分开排；3班和4班要表演的分别是《雷雨》第一集——铺垫矛盾和《雷雨》第二集——真相爆发，所以需要相邻且按序表演，则杨老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 14. 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数． 16. 已知函数． （1）求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）； （2）当时，证明：． 17. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中考试试题 考试时间120分钟 满分150分 第I卷(共 58 分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确. 故选：D 2. 某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】直接用间接法计算可得. 【详解】因为从人中选人一共有种不同的选法， 若选中的人均为专家人员的有种不同的选法， 所以至少有一名工程师被选中的选法共有种不同的选法. 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求导，令导函数大于，即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：. 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的，恒成立，即，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的，恒成立，即， 因为函数在上单调递减，故，所以. 5. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有， A. 1359人 B. 1569人 C. 2719人 D. 3409人 【答案】A 【解析】 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则， 则，所以分数在之间的考生约有1359人. 6. 一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故​恰好件不合格的概率为. 7. 设随机变量，满足：，，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入二项分布的期望和方差公式，以及方差的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，则，, 所以. 8. 已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】构造函数， 在时恒成立， 所以在时单调递增， 所以，即，所以， 故选:C. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中的系数为-192 C. 展开式中的二项式系数最大项为第3项 D. 当时，除以8的余数为1 【答案】BD 【解析】 【分析】赋值计算判断A；求出指定项的系数判断B；利用二项式系数的性质判断C；利用二项式定理，结合整除思想判断D. 【详解】对于A，取，得，取，得， 因此，A错误； 对于B，展开式中的系数，B正确； 对于C，展开式共7项，则展开式中的二项式系数最大项为第4项，C错误； 对于D，当时，展开式的前6项都是整数，且都含有因数8， 展开式的最后一项是1，因此除以8的余数为1，D正确. 10. 袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ） A. B. 随机变量服从二项分布 C. D. 记这个球中白球的个数为，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，， ，，​ 因此​，故A正确； 选项B，本题是从8个球中不放回任取4个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故B错误； 选项C，超几何分布期望公式​，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得， 根据期望性质 ，故C正确； 选项D，取出4个球，因此（为白球个数）， 根据方差性质，得，故D正确. 11. 对于函数，下列说法正确的有（    ） A. 在 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若 在上恒成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解． 【详解】对于A，函数，， 令，即，解得， 当时，，故在上为单调递增函数， 当时，，故在上为单调递减函数， 在时取得极大值，故A正确； 对于B，在上为单调递增函数， ，函数在上有唯一零点， 当时， 恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确； 对于C，在上为单调递减函数，，，故C正确； 对于D，由在上恒成立，即在上恒成立， 设，则，令，解得：， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误． 第Ⅱ卷(共 92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则______. 【答案】0.7## 【解析】 【详解】由可得正态分布曲线的对称轴为：， 所以：. 13. 本学期辉南六中高二年级准备举办一场课本剧展演，前8个班级每班准备了1个节目，杨老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中1班和2班都要表演《屈原》，因此需要分开排；3班和4班要表演的分别是《雷雨》第一集——铺垫矛盾和《雷雨》第二集——真相爆发，所以需要相邻且按序表演，则杨老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 【答案】3600 【解析】 【分析】先采用捆绑相邻的元素，在插空处理不相邻的元素，使用分分步乘法原理计算出总方案即可. 【详解】把3班和4班捆绑为1个整体，且3班必须要在4班之前，所以内部只有1种排列顺序， 除去1班和2班，剩下的元素为3班和4班整体加上其余四个班级，共5个元素，共有种排法， 5个元素排好后共产生6个空位，从6个空位中选2个插入1班和2班，有种排法， 因此总方案共有种. 14. 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性并求得极小值，然后依题意得到，计算即可. 【详解】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的定义列出和的方程，求解即得； （2）利用二项式的通项公式确定展开式中含的项，计算即得答案. 【小问1详解】 第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为． 又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为， ，，，故的值为； 【小问2详解】 因， 由解得， 故展开式中含的项的二项式系数为. 16. 已知函数． （1）求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，利用求出切点坐标，代入点斜式方程可得答案； （2）利用导数判断出单调性可得答案． 【小问1详解】 ，切线的斜率为， 由得切点坐标为， 所以在点处的切线方程. 【小问2详解】 当时， 令，得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，即. 17. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【小问1详解】 设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； 【小问2详解】 易知可能取值，则， ，， 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）若，则是减函数；若，则在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析当时，函数的单调性，即可得其极值点，从而求得其极小值； （2）分和两种情况，利用导数讨论函数的单调性； （3）结合（2）的结论，构造新函数，利用新函数的导数分析新函数的单调性，求解不等式得的取值范围. 【小问1详解】 当时，. . 因为恒成立， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减；在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 【小问2详解】 函数.的定义域为. . 因为恒成立， 所以若，恒成立，所以恒成立，在上单调递减； 若，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，若，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，若，则是减函数，函数不可能有两个零点； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，即最小值，最小值为. 此时，当时，；当时，； 要使函数有两个零点，只需使，即. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又，所以当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】（1）分布列见详解， （2）（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【解析】 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【小问1详解】 实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . 【小问2详解】 (i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $