精品解析：吉林长春汽车经济技术开发区第六中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从3本不同的科学书、2本不同的英语书中任取1本，则不同的取法种数是（ ） A. 6 B. 5 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】完成任取1本书这件事可分为取科学书和取英语书这两类办法： 第一类，从3本不同的科学书中任取1本，有3种取法； 第二类，从2本不同的英语书中任取1本，有2种取法. 所以不同的取法种数为种. 2. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断. 【详解】依题意，，只有D正确. 3. 某班学生中喜欢打羽毛球的占35%，喜欢打篮球的占30%，两样都喜欢的占15%．已知该班一名学生喜欢打羽毛球，则他也喜欢打篮球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过条件概率公式求解，或缩小样本空间，通过公式求解均可. 【详解】方法一：记事件A为“喜欢打羽毛球”，事件B为“喜欢打篮球”， 则， 所以. 方法二：由题意，可设该班共有100人， 则喜欢打羽毛球的有人，喜欢打篮球的有人，两样都喜欢的有人， 所以喜欢打羽毛球的35人里有15人喜欢打篮球， 所以已知该班一名学生喜欢打羽毛球，则他也喜欢打篮球的概率是. 4. 已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】. 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 1 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理通项公式即可求解. 【详解】由题意得：的展开式的通项为：， 所以的系数：. 6. 某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A，B，C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务点，每个服务点至少安排1人.若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为（ ） A. 120 B. 80 C. 60 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】分步：第一步选3人去A服务点，剩下3人分成两组去B，C两个服务点，一个去1人，一个去2人. 【详解】先选3人去A服务点，剩下3人按照1，2人数分组后安排去B，C两个服务点，不同的安排方法种数为. 7. 已知函数在处有极大值，则a＝（ ） A. 2 B. 14 C. －2或2 D. 2或14 【答案】A 【解析】 【分析】求出，由解得值，然后检验参数取值是否满足题意.. 【详解】， 由题可知，解得a＝2或a＝14. 当a＝14时，，时，，递减，时，，递增，因此在处有极小值，不符合题意； 当a＝2时，，时，，递增，时，，递减，在处有极大值，符合题意. 8. 从20张扑克牌（包含红桃、黑桃、方块、梅花四种花色，每种花色的点数从2到6各一张）中随机抽出4张扑克牌，则这4张牌中恰好有2张牌的点数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理结合组合、古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从20张扑克牌中随机抽出4张扑克牌，共有种情况， 要使抽出4张扑克牌中恰好有2张牌的点数相同， 先从四种花色中选2张点数相同的牌，共种情况， 再从剩下 4个不同点数中任选2张（每种点数有4种花色可选），共种情况， 因此，这4张牌中恰好有2张牌的点数相同的情况有种， 所以这4张牌中恰好有2张牌的点数相同的概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 羽毛球比赛结束后，4名选手和甲、乙两名裁判站成一排拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙相邻的排法有480种 B. 甲、乙不相邻的排法有480种 C. 甲在乙的右边（可以不相邻）的排法有360种 D. 甲不在排头，且乙不在排尾的排法有504种 【答案】BCD 【解析】 【分析】用捆绑法求出总的排法，从而判断A；用插空法求出总的排法数，从而判断B；根据甲在乙的右边与甲在乙的左边各占全排列的一半，求出总的排法数，从而判断C；分当甲排在排尾和当甲不排在排尾，求出总的排法数，从而判断D. 【详解】对于A，当甲、乙相邻时，将甲、乙捆绑在一起，其排法数共有种排法，故A错误； 对于B，将4名选手全排列，再将甲、乙二人插入4名选手产生的5个空中，共有种排法，故B正确； 对于C，因为甲在乙的右边与甲在乙的左边各占全排列的一半， 所以甲在乙的右边共有种排法，故C正确； 对于D，当甲排在排尾时，乙自然不在排尾，此时有种排法； 当甲不排在排尾时，甲只能排在中间4个位置中的一个，乙只能排在除排尾和甲所占的位置剩下的4个位置中的一个，其余的人全排列，共有种排法， 所以一共有种排法，故D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】运用赋值法求二项式展开式中部分项的系数和. 【详解】对于A，令，，A错误. 对于B，令时，； 令时，，两式相加得， ，B正确. 对于C，令时，，C正确. 对于D，对展开式两边求导，，令， ，D错误； 11. 已知函数的导函数为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 3是的极小值点 C. 当时， D. 若，则过点可作两条直线与曲线相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】已知式中令，求得，再求得，利用求得，从而得解析式，直接计算函数值判断A，利用导数判断BCD. 【详解】对A，令x＝0，得，即， 又，则， 所以，所以，故，A正确； 对B，，时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增，所以3是的极小值点，B正确； 对C，当时，，则，C错误； 对D，设切点为，切线方程为， 点在切线上，所以，化简可得 ， 因为，所以 ， 故关于m的方程 有两个解，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】由图可知点处的切线斜率为 ，即， 则切线方程为，所以， 故. 13. 给图中五个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域的颜色不能相同，若有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为________． 【答案】420 【解析】 【分析】由于AE,BC不相邻，先考虑AE,BC是否同色，然后再考虑其他部分，利用乘法原理解决问题. 【详解】若AE,BC均同色，则涂色方法数为; 若BC与AE中有一组同色，另一组不同色，则涂色方法数为; 若BC不同色，AE不同色，则涂色方法数为; 所以不同的涂色方法数为. 14. 记函数的导函数为，，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件构造函数，判定单调性后对原不等式变形，利用单调递减条件可转化为当时， 恒成立，由此可求结论. 【详解】令，则， 所以函数为减函数. 由，可得， 即＜，所以当时， 恒成立， 即，所以， 故a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（用数字作答） （2）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数？（用数字作答） （3）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？（用数字作答） 【答案】（1）96；（2）72；（3）60 【解析】 【分析】（1）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理计算及排列求解即可； （2）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理及排列求解即可； （3）分个位是0和个位不是0，两种情况讨论，再根据分步乘法和分类加法计数原理及排列求解即可. 【详解】（1）万位只能从1，3，6，8这4个数字中选一个，有4种选法， 其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数； （2）万位只能从3，6，8这3个数字中选一个，有3种选法， 其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数且大于30000的五位数； （3）当个位是0时，有个， 当个位不是时，个位只能是或，万位不能为且不能与个位数字相同， 万位是除以外的数，因此有个， 所以可以组成个没有重复数字的五位偶数. 16. （1）求的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比； （2）求的展开式中第2项与第3项的系数之比； （3）求的展开式中系数最大的项． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项分别得出相应的二项式系数和展开式中项系数求解即可. 【详解】（1）二项式展开式的第项为, 二项式展开式中的二项式系数分别为,． 所以展开式中,第项,第项的二项式系数分别为： ,,二项式系数之比； （2）的展开式中第2项与第3项的系数分别为： ， ，比值为； （3）设的展开式中第项系数最大，其系数为， 则有，化简， ，即， 得，的整数，所以，因此系数最大的项为第项． 所以展开式中系数最大的项：，即. 17. 已知a≠0，函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）时，单调递减区间为，无单调递增区间；时，单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）按的正负分类讨论的正负，得单调区间； （2）求出的最小值，利用作差法证明这个最小值，作差后引入新函数，求出新函数的最小值得证. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 由，可得. 若，则在上恒成立， 则的单调递减区间为，无单调递增区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递减区间为，单调递增区间为， 【小问2详解】 当时，， 要证，只需证. 又，所以只需证. 令，则， 则当时，，当时，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，即， 所以当时，. 18. 某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品、7件B商品，第二个超市中有7件A商品、8件B商品，第三个超市中有5件A商品、20件B商品.随机从这三个超市中选取一个超市进行抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽取一件商品. （1）求第一次抽到的是A商品的概率； （2）求抽到A，B两种商品各一件的概率； （3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算随机从这三个超市中选取一个超市进行抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽取一件商品，第一次抽到的是商品的概率； （2）抽到两种商品各一件分为两种情况即第一次抽到商品、第二次抽到商品和第一次抽到商品、第二次抽到商品,再使用全概率公式计算； （3）先使用全概率公式计算出第二次抽到的是B商品的情况，有两种情况第一次抽到商品、第二次抽到商品和第一次抽到商品、第二次抽到商品，再使用贝叶斯公式计算出在第二次抽到的是商品的情况下，求第一次抽到的是商品概率. 【小问1详解】 设事件:第一次抽到的是A商品，事件:抽到的商品来自于第一个超市， 事件:抽到的商品来自于第二个超市，事件:抽到的商品来自于第三个超市, 那么 【小问2详解】 设事件: 抽到两种商品各一件,那么抽到两种商品各一件分为两种情况， 分类第一次抽到商品、第二次抽到商品和第一次抽到商品、第二次抽到商品, 则 . 【小问3详解】 设事件:第二次抽到的是B商品，那么 ， . 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）设有3个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）若成等差数列，求该数列的公差. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）（i）由题意得有三个零点，进而构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而可求a的取值范围；（ii）根据零点的意义，结合等差数列的性质计算即可求解． 【小问1详解】 当时，，则. 又，所以 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （i）当时，无零点，故. 令，可得. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 由， 当时，， 当时，， 故有3个不同的零点，即函数的图象有3个交点， 故，解得.故a的取值范围是. （ii）由（i）可知， 所以， 则①，②. 设该等差数列的公差为， 即. 由①可得，得， 由②可得，得， 所以，化简得， 解得（负值舍去），即公差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从3本不同的科学书、2本不同的英语书中任取1本，则不同的取法种数是（ ） A. 6 B. 5 C. 9 D. 8 2. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班学生中喜欢打羽毛球的占35%，喜欢打篮球的占30%，两样都喜欢的占15%．已知该班一名学生喜欢打羽毛球，则他也喜欢打篮球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 1 B. C. 7 D. 6. 某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A，B，C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务点，每个服务点至少安排1人.若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为（ ） A. 120 B. 80 C. 60 D. 48 7. 已知函数在处有极大值，则a＝（ ） A. 2 B. 14 C. －2或2 D. 2或14 8. 从20张扑克牌（包含红桃、黑桃、方块、梅花四种花色，每种花色的点数从2到6各一张）中随机抽出4张扑克牌，则这4张牌中恰好有2张牌的点数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 羽毛球比赛结束后，4名选手和甲、乙两名裁判站成一排拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙相邻的排法有480种 B. 甲、乙不相邻的排法有480种 C. 甲在乙的右边（可以不相邻）的排法有360种 D. 甲不在排头，且乙不在排尾的排法有504种 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的导函数为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 3是的极小值点 C. 当时， D. 若，则过点可作两条直线与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则______. 13. 给图中五个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域的颜色不能相同，若有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为________． 14. 记函数的导函数为，，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（用数字作答） （2）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数？（用数字作答） （3）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？（用数字作答） 16. （1）求的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比； （2）求的展开式中第2项与第3项的系数之比； （3）求的展开式中系数最大的项． 17. 已知a≠0，函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 18. 某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品、7件B商品，第二个超市中有7件A商品、8件B商品，第三个超市中有5件A商品、20件B商品.随机从这三个超市中选取一个超市进行抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽取一件商品. （1）求第一次抽到的是A商品的概率； （2）求抽到A，B两种商品各一件的概率； （3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率. 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）设有3个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）若成等差数列，求该数列的公差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $