吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学期中考试 一、单选题 1. 如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ） A B. C. D. 6. 如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….记这个数列的前项和为，则（ ） A. 442 B. 441 C. 364 D. 298 7. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式的所有项系数之和为1 C. 展开式的二项式系数之和为256 D. 展开式中含有常数项 10. 由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ） A 相关变量x，y具有正相关关系 B. 新的经验回归方程为 C. 随值的增加，值增加的速度变小 D. 样本点似残差为0.1 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 将6个相同小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法 B. 被7除后的余数为5 C 若，则 D. 抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆内的次数的均值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的有理项共有__________项． 13. 已知圆和圆相切，则_________ 14. 数列综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的准线方程为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 16. 已知函数. （1）求单调区间； （2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 17. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）试在线段上一点，使得与所成的角是． 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 19. “停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取120名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这120人中随机抽取1人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是． 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 不喜欢钉钉直播上课 30 合计 120 （1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？ （2）校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，从该小组中随机抽取3人进行汇报，记3人中男生的人数为X，求X的分布列、数学期望． 附临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.63 7.879 参考公式：，其中． CCCBB ADC 9BC 10ABD 11AC 12 3 13 或或 14 15 （1）抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. 【2】 设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 16 【1】 函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【2】 由（1）知，， 因此函数有两个零点，且，即， 则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为 所以曲线在点处的切线方程为. 17【1】 设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点， 又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE. 【2】 正方形和矩形所在的平面互相垂直， 平面平面，平面，， 则平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 所以，，， 因为，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 因为， ， 所以，所以为平面的一个法向量， 所以，所以与的夹角为． 即所求的二面角的大小为． 法2：在平面中过作于，连接， ，，， 平面， 是在平面上的射影， 由三垂线定理得 是二面角的平面角 在中，，， ，， 二面角的大小为； 【3】 设，（），则， 因为PF与BC所成的角是60°， 所以， 解得或(舍)． 故为线段的中点． 18 【1】 因为，所以， 所以， 所以所求切线方程为； 【2】 因为，所以， 设过原点的切线切于点， 则切线方程为：，又其过原点， 所以，所以， 所以切线l的方程为，即为． 19 【1】 由120人中随机抽取1人抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是， 故喜欢钉钉直播上课的学生共有50人，列联表补充如下： 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 30 50 不喜欢钉钉直播上课 40 30 70 合计 60 60 120 由已知数据可求得：， 所以没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关． 【2】 由（1）知喜欢钉钉直播上课的男女生比例为， 按照分层抽样的方法，从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，抽取男生2人， 则的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： X 0 1 2 P 的数学期望为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$