4.5 三角函数中有关ω的范围问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数与解三角形中ω的范围问题，围绕单调性、对称性、最值、零点四大核心考点，按题型逻辑构建知识体系，通过考向预测、题型突破、跟踪训练、限时训练的教学流程，帮助学生系统梳理考点关联，掌握临界分析与数形结合方法。 讲义以高考高频难点为靶向，创新采用“题型归类+临界状态分析”教学策略，如在单调性问题中引导学生通过换元转化区间，结合周期性质确定ω边界，培养数学思维与几何直观。分层设计例练题组，限时训练强化实战能力，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生构建不等关系与解决复杂问题的应考能力。

第四章 三角函数与解三角形 §4.5　三角函数中有关ω的范围问题 【高考考向预测】 近三年高考三角函数中 ω 范围问题考查频次很高，多见于选填压轴位置，依托正弦余弦型函数单调性、对称性、零点、最值及区间长度限制建立不等式求解参数范围，常结合图像特征与周期性质分析临界情况；预测2027 年依旧为热门难点题型，命题趋向条件更隐晦，多融合多个约束条件叠加限定，侧重区间内完整单调性、零点个数、对称中心对称轴综合限制，弱化固定解题套路，强化数形结合画图分析临界状态，着重考查区间划分、边界取舍与不等关系精准构建的思维能力。 重点解读 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点. 【题型突破●明方向】 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 例1　已知函数f(x)=cos，其中ω>0.若f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0，1] 【答案】A 【解析】由-π+2kπ<ωx-<2kπ(k∈Z)，且ω>0， 解得<x<(k∈Z). 由题意可知⊆(k∈Z). 则k∈Z， 解得-+6k≤ω≤+k(k∈Z). 又ω>0，于是0<ω≤， 即ω的取值范围是. 【思维升华】已知三角函数在某区间(a，b)上单调递增(递减)，求ω的范围问题，常规方法是先确定三角函数的单调递增(递减)区间，再利用区间(a，b)为三角函数f(x)的单调递增(递减)区间的子集求解. 【跟踪训练】1　(2026·漳州模拟)已知f(x)=sin，若f(x)在区间(0<a<2π)上不单调，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方法一　画出函数f(x)的部分图象如图所示， 因为a<2π， 所以a+<<. 因为f(x)在区间(0<a<2π)上不单调， 所以解得<a<. 方法二　f(x)在上不单调⇔f(x)在上有极值， 令x+=+kπ，k∈Z， 得x=+2kπ，k∈Z， 所以其中k∈Z， 解得<a<. 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 例2　(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)=sin在上有三条对称轴和两个极小值，则(　　) A.<ω≤ B.<ω≤ C.-≤ω<- D.-≤ω<- 【答案】C 【解析】∵x∈， ①当ω>0时，ωx+∈， 若f(x)在上有两个极小值，则f(x)至少有四条对称轴，不满足题意； ②当ω<0时，ωx+∈， 又函数f(x)=sin在上有三条对称轴和两个极小值， ∴-≤+<-，解得-≤ω<-， 综上，-≤ω<-. 【思维升华】三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 【跟踪训练】2　已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为x∈(0，2π)，ω>0， 令z=ωx-，则z∈， 画出y=2cos z+1的大致图象， 要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则2ωπ-∈，解得ω∈， 即ω的取值范围是. 题型三　三角函数的最值与ω的关系 例3　已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f=f，且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω=　　　　.  【答案】 【解析】由题意知当x=时，f(x)取得最大值， 即ω+=2kπ+(k∈Z)， 解得ω=6k+(k∈Z)， 又-=≤T， 即≥，所以ω≤6， 又ω>0，所以ω=. 【思维升华】利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 【跟踪训练】3　(2025·海口模拟)已知函数f(x)=2cos-1(ω>0)在上的最小值为-3，则ω的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由x∈，ω>0， 可得2ωx-∈， 令t=2ωx-∈， 由题意可知y=cos t在上可取到-1， 结合余弦函数的性质可知需满足-≥π， 解得ω≥，所以ω的最小值为. 题型四　三角函数的零点与ω的关系 例4　(2025·广州期末)将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是(　　) A. B.∪ C.∪ D.(0，1) 【答案】B 【解析】将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度，可得y=sin的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变， 可得g(x)=sin的图象，因为ω>0，最小正周期T=， 函数g(x)在上没有零点， 则-≤=， 所以0<ω≤1，因为<x<， 所以-<ωx-<-， 又g(x)在上没有零点， 所以k∈Z， 解得2k+≤ω≤+，k∈Z， 又因为0<ω≤1，所以当k=0时，≤ω≤， 当k=-1时，-≤ω≤， 所以0<ω≤或≤ω≤. 【思维升华】三角函数两个相邻零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值. 【跟踪训练】4　(2025·北京)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.3 【答案】C 【解析】函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ω>0)， 设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*)， 所以T==(k∈N*)，即ω=2k(k∈N*)； 又函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx+∈， 所以+≥π，即ω≥3， 综上，ω的最小值为4. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】x∈[0，π]，ω>0，则ωx-∈， 函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴， 则≤ωπ-<，故ω的取值范围是. 2.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(0，4] C.(0，6] D.(0，8] 【答案】A 【解析】当x∈时，ωx+∈， 若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增， 则k∈Z， 解得ω≤2+12k，ω≤8-24k，k∈Z， 又ω>0，当k=0时，可得0<ω≤2. 3.(2026·安康模拟)已知函数f(x)=2cos在区间[0，a]上的值域为[-2，]，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当x∈[0，a]时，2x+∈， 由函数f(x)=2cos在区间[0，a]上的值域为[-2，]， 故函数y=cos x在区间上的值域为， 则有2a+∈， 即a的取值范围为. 4.(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得ω>0，因为x∈(0，π)， 所以ωx+∈. 又y=sin x，x∈的图象如图所示， 要使函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，两个零点， 则<πω+≤3π，得<ω≤. 5.(2025·江门模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵x∈，ω>0， ∴ωx+∈， 又f(x)在内没有零点， ∴其中k∈Z， 解得 又ω>0，解得0<ω≤. 6.(2026·苏州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，f=0，直线x=为f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　) A.11 B.9 C.7 D.5 【答案】B 【解析】由f=0，直线x=为f(x)图象的一条对称轴，得×=，n∈N，则ω=2n+1(n∈N)， 由f(x)在上单调，得-=≤，解得ω≤12， 当ω=11时，-+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<，得φ=-，此时f(x)=sin， 当x∈时，11x-∈， 即f(x)在上不单调，不满足题意； 当ω=9时，-+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<， 得φ=，此时f(x)=sin， 当x∈时，9x+∈， 此时f(x)在上单调递减，符合题意， 所以ω的最大值为9. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·天津模拟)已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0，π)上有且仅有2个极小值点，且在上不单调，则ω的取值不可能是(　　) A. B. C.4 D. 【答案】AB 【解析】当x∈(0，π)时，ωx+∈， 所以3π<ωπ+≤5π， 解得<ω≤， 又当x∈时，ωx+∈， 所以+>π，解得ω>， 综上，<ω≤，故选AB. 8.设函数f(x)=sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点，下列结论正确的是(　　) A.f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点 B.f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点 C.f(x)在上单调递增 D.ω的取值范围是 【答案】ACD 【解析】当x∈[0，2π]时，ωx+∈， ∵f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+<6π， ∴≤ω<，故D正确； 当ωx+=，，时取得极大值，A正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，B不正确； 当x∈时，ωx+∈， 若f(x)在上单调递增， 则≤，即ω≤3， ∵≤ω<，故C正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.  【答案】[2，3) 【解析】因为0≤x≤2π， 所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)=cos ωx-1=0， 则cos ωx=1有3个根， 令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. 10.(2025·安康模拟)已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上无极值，则ω的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】方法一　当x∈，ω>0时， 2ωx-∈， 因为f(x)在区间上无极值， 所以f(x)在区间上单调， 则k∈Z， 解得≤ω≤，k∈Z， 又ω>0，则0<ω≤或≤ω≤， 故ω的最大值为. 方法二　f(x)的最小正周期T==. 因为f(x)在区间上无极值， 所以T≥，解得0<ω≤1. 由2ωx-=kπ(k∈Z)，得f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z). 由题意知f(x)的图象在区间上没有对称轴，得k∈Z， 解得≤ω≤(k∈Z).结合0<ω≤1，得ω的最大值为. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形 §4.5　三角函数中有关ω的范围问题 【高考考向预测】 近三年高考三角函数中 ω 范围问题考查频次很高，多见于选填压轴位置，依托正弦余弦型函数单调性、对称性、零点、最值及区间长度限制建立不等式求解参数范围，常结合图像特征与周期性质分析临界情况；预测2027 年依旧为热门难点题型，命题趋向条件更隐晦，多融合多个约束条件叠加限定，侧重区间内完整单调性、零点个数、对称中心对称轴综合限制，弱化固定解题套路，强化数形结合画图分析临界状态，着重考查区间划分、边界取舍与不等关系精准构建的思维能力。 重点解读 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点. 【题型突破●明方向】 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 例1　已知函数f(x)=cos，其中ω>0.若f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0，1] 【跟踪训练】1　(2026·漳州模拟)已知f(x)=sin，若f(x)在区间(0<a<2π)上不单调，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 例2　(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)=sin在上有三条对称轴和两个极小值，则(　　) A.<ω≤ B.<ω≤ C.-≤ω<- D.-≤ω<- 【跟踪训练】2　已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 题型三　三角函数的最值与ω的关系 例3　已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f=f，且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω=　　　　.  【跟踪训练】3　(2025·海口模拟)已知函数f(x)=2cos-1(ω>0)在上的最小值为-3，则ω的最小值为(　　) A. B. C. D. 题型四　三角函数的零点与ω的关系 例4　(2025·广州期末)将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是(　　) A. B.∪ C.∪ D.(0，1) 【跟踪训练】4　(2025·北京)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.3 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(0，4] C.(0，6] D.(0，8] 3.(2026·安康模拟)已知函数f(x)=2cos在区间[0，a]上的值域为[-2，]，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 4.(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5.(2025·江门模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6.(2026·苏州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，f=0，直线x=为f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　) A.11 B.9 C.7 D.5 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·天津模拟)已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0，π)上有且仅有2个极小值点，且在上不单调，则ω的取值不可能是(　　) A. B. C.4 D. 8.设函数f(x)=sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点，下列结论正确的是(　　) A.f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点 B.f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点 C.f(x)在上单调递增 D.ω的取值范围是 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.  10.(2025·安康模拟)已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上无极值，则ω的最大值为　　　　.  第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $