3.5 导数中与零点有关的问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与零点问题核心考点，涵盖零点个数判断、参数范围求解及隐零点问题三大模块，按“基础理解—综合应用—深化突破”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战能力，助力学生系统突破导数零点难点。 资料采用分层教学策略，设置选择、填空、解答题梯度训练，结合数学思维培养，如隐零点问题中引导学生运用“设而不求”思想转化问题，提升逻辑推理与数学表达能力。通过典型例题变式拓展和即时反馈机制，确保复习高效精准，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

3.5 导数中与零点有关的问题 考点一　利用导数判断、证明或讨论函数零点的个数 考点二　由函数零点的个数求参数范围 考点三　隐零点的问题 考点一　利用导数判断、证明或讨论函数零点的个数 1．（25-26高二下·江西南昌·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求导，令，继续求导可得有唯一解，且，进而可得的单调性和最值，结合单调性及最值判断零点个数即可． 【详解】，令， ，解得或， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ，， 又， 有唯一解，且，即， 则时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， ， 又，， 即，又， 所以在和分别存在一个零点，即零点个数为2． 2．（25-26高二下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图象；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图象即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 3．（2026·江苏苏州·三模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，（为常数）， ①证明：当时，函数存在两个零点，； ②在①的条件下，若，证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递增，当时， 在时单调递减；，在时单调递增； (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）求导，分、两种情况结合导数的符号判断单调性即可； （2）①利用导数分析函数的单调性，根据单调性得到极值，利用极值及零点存在定理证明即可； ②法一：先分析得到、，再利用函数的单调性，进而得证；法二：由①可知，则，进而得到，结合，然后可得即可． 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增. 当时，，，单调递减； ，，单调递增； （2）①时，，， 令，解得或（舍去）， 所以当时，，单调递减； 当，，单调递增， 因为， ，所以， 又因为，在定义域内连续不间断， 所以，使得， 令， ， 所以在上单调递增，所以 ， 即 ，所以， 又因为，在定义域内连续不间断， 所以，使得， 综上所述，当时，存在两个零点，； ②法一：因为，所以由①可知， 由，即，，所以， 因为 ， 所以，即，即， 法二：由①可知，所以， 所以，所以， 又因为，所以由①可知， 所以． 4．（2026·山东德州·三模）已知函数． (1)求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，讨论在区间上零点的个数． 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2) (3)3个零点 【分析】（1）求导分析函数单调性，依据单调性确定极值点，算出对应极值； （2）分离参数构造新函数，求导判定单调区间，求出函数最小值，进而确定参数取值范围； （3）拆分区间分段讨论函数符号，借助导数研究单调性，统计区间内零点总数． 【详解】（1）由，则，， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2），此时， 法一：分离参数法， 从而， 令，则， 所以；， 所以在单调递减，在单调递增， 因此，故的取值范围为； 法二：必要性探路， ， 令，， 下证：，时，恒成立， 由一次函数在上递减， 则， 在和上恒成立，且时， 所以恒成立，故的取值范围为； （3）在区间上有3个零点， 理由如下： 由于，所以是函数的一个零点， ， ①当时，此时恒成立，又恒成立， 从而恒成立，所以在区间上没有零点； ②当时，此时，， 设，， 由于恒成立，所以，即在上单调递减， 从而存在使得， 即在区间上递增，区间上递减，从而， 又， 所以在有唯一零点，即在上有唯一零点， ③当时，此时，， 所以 从而， 由于，，，所以， ， 又，从而在上恒成立， 所以在区间上单调递减， 因为，， 因此在区间上有唯一零点， 综上所述，函数在区间上有3个零点 5．（2026·广西崇左·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)若有3个零点，，，证明：. 【答案】(1) (2)当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点. (3)证明见详解 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，根据函数定义域和判别式分和两种情况讨论，判断函数单调性并结合分析零点个数； （3）可证，分析可知，，，结合基本不等式分析证明. 【详解】（1）若，则，， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程. （2）由题意可知：函数的定义域为，且， 对于方程，则， 因为，若，则；若，即，则； 当时，则，即， 可知函数在定义域内单调递增， 且，所以函数有且仅有1个零点； 当时，则，可知有2个不相等的实数根，， 且，则， 若，则，即； 若或，则，即； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 则，且，即， 因为， 令，则， 可知在内单调递减，则，可得； 又因为， 所以函数有3个零点； 综上所述：当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点. （3）若有3个零点， 由（2）可知：，， 因为， 又因为，则，且，，则， 所以. 6．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：关于方程在区间上有两个根； (3)在（2）的条件下，设方程的两个根为，，其中，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接利用导数判断，分四种情况：，，，讨论可得； （2）构造函数，将方程的根转化为函数的零点问题，显然函数有一个根，再用零点存在性定理判断另一个零点可得； （3）由（2）知，根据函数单调性，要证只需证，再通过换元，即只需证，再构造函数，再令，用导数判断，从而可得，进而可得所证不等式. 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为， ① 当时：对恒成立， 时，单调递减； 时，单调递增. ② 当时，当时，单调递增；当时，单调递增；当时，单调递减； ③ 当时：恒成立，在单调递增； ④ 当时：当 时，单调递增；当时，单调递增； 时，单调递减； 综上所述，当 时，在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在，上单调递增；在上单调递减； 当时， 在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）令，显然，，所以方程有一个根. 由（1）知当时，在，上单调递增；在上单调递减； 所以是极大值，是极小值，且，即. 又因为， 令，则，所以在上单调递减， 所以，即， 由零点存在定理，在存在唯一一个零点， 因此在上共有两个不同零点，即方程在上有两个根. （3）由（2）知，且在单调递增，且 因此要证，只需证. 令，则，故只需证明. 令， , 令， ， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，故，即， 所以，因为在单调递增，因此. 考点二　由函数零点的个数求参数范围 7．（2026·江苏苏州·三模）已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由令，，转化为与的图象有两个交点，利用导数求出的图象可得答案. 【详解】令， 得， 令，， 即与的图象有两个交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值，为， 当时，有极小值，为， 当时，， 再由 可得的大致图象如下图: 所以当时，函数有两个零点. 8．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数． (1)记，若在定义域内单调递减，求的最小值； (2)若有两个不同的零点，且． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)1 (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）由恒成立，通过分离参数，结合基本不等式求最值，即可求解； （2）（i）求导，通过讨论和，确定单调性，进而可求解；（ii）由（i）将，转换成，结合单调性再转换成，构造函数，求导确定单调性，进而可证明. 【详解】（1）由题得 ， 则． 因为在定义域内单调递减，所以在上恒成立， 即 在上恒成立，则． 因为．当且仅当时等号成立，所以，则的最小值为1． （2）（i）由题意得， 当时，，则在上单调递增， 此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又当趋向0时，趋向；当趋向时，趋向， 因为有两个不同的零点， 所以．解得． 所以的取值范围为 （ii）由（i）知，且在上单调递增， 要证，即证， 又，即证，即证， 即证， 由 ，得， 即证， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 则 所以，则在上单调递减， 由（i）知． 所以当时， ， 所以得证． 9．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）设函数，，若曲线与恰有一个交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数，求证是偶函数，根据零点个数得到，计算即可. 【详解】已知函数，， 令，定义域为， 由于曲线与恰有一个交点，即函数只有一个零点， 又因为，所以函数是偶函数， 因此的零点只能是，即，代入函数，得，解得，故D正确. 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先将方程转化为，再由的单调性及零点可得，进而转化为函数与的交点问题，用导数判断函数的单调性及极值，再用数形结合判断可得. 【详解】由，得，即. 由函数在上单调递增，且，得，即. 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故. 且当时，，当时，，当时，，如图： 若方程有且仅有两个交点，则，即. 因此，实数的取值范围为. 11．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有两个极值点， 可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 令，则， 由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 即函数在上单调递减，在上单调递增；故； 又由在上有两不等实根， 即与曲线的图像有两不同交点， 结合图像可得. 12．（2026·天津和平·三模）若，，使得关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】令，且，化简函数的解析式，分析可知直线与函数的图象有个交点，结合导数法可得出的取值范围. 【详解】令，且， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 即， 函数在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，如下图所示： 因为， 当时，，即， 要使得直线与函数的图象有个交点， 则，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递减，， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，所以， 此时； 当时，，则，， 要使得直线与函数的图象有个交点，则，解得； 当时，，要使得直线与函数的图象有个交点， 则，可得， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，则， 令，其中，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以，且，此时， 此时. 综上所述，实数的取值范围是. 考点三　隐零点的问题 13．（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先求出导数，再求斜率结合点斜式写出切线方程； （2）先把恒成立问题通过参数分离转化为求最小值求出的最大值. 【详解】（1）当时，， 因为 ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题意，知对任意恒成立， 可知对任意恒成立． 设函数，只需． 对函数求导，得． 设函数，对函数求导，得， 所以函数在上单调递增． 又， 所以存在，使，即， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以， 所以．又，所以， 所以整数的最大值为2． 14．（2026高三上·全国·专题练习）函数 (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2)证明见详解. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数并变形，构造函数探求大于0或小于0的取值区间作答. （2）在给定条件下探讨函数的最大值，将不等式转化为证的最大值小于即可作答. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 当时，，求导得， 令，则，则在上单调递减，而， 当时，，，当时，，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，，， 令，则， 在上单调递减，而，， 则有，即，有， 当时，，，在上单调递增， 时，，，在上单调递减， 因此函数在时取最大值，即， 令函数， 则在上单调递减，即有， 要证，即证，只需证， 令，， 则在上单调递减， 因此，，即成立， 则有成立， 所以当时，不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 15．（24-25高二下·江西景德镇·期末）设函数． (1)证明：当时，在区间内存在唯一极小值点； (2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）分类讨论，，时，的正负，得出的单调性，即可证明； （2）在上恒成立转化为在上恒成立， 令，分类讨论的范围，结合导数即可求解范围； （3）令，分离参数得，设，求得的值域即可求解的范围． 【详解】（1）证明：当时，，则， ①当时，单调递增， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增，即为的极小值点； ②当时，因为，所以， 所以在单调递增， ③当时，设，则， 因为在单调递增， 所以在单调递增，又，， 所以存在使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以存在，使得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 综上所述，当，单调递增， 当，单调递减， 当，单调递增， 所以在区间内存在唯一极小值点． （2）当时，， 所以在上恒成立，转化为在上恒成立， 令，则， 若，则在上恒成立，则在上单调递增， 所以，符合题意； 若，令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，，当时，， 所以，使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是． （3）因为，，令，得， 设，则， 令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当，时，，所以在，上单调递增， 当时，取得极小值， 即当时，取得极小值， 又，， 所以，即， 当时，取得极大值， 即当时，取得极大值， 又，， 所以，即， 所以当时，， 所以，又， 所以时，在上存在零点， 故实数． 16．（25-26高二下·北京西城·期末）已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方. 【答案】(1) . (2) . (3)证明见解析. 【详解】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算和的值，点斜式求出切线方程即可.      （Ⅱ）设，并求导.将问题转化为在区间上，恒成立，或者恒成立，通过特殊值，且，确定恒成立，通过参数分离，求得实数的取值范围； (Ⅲ）设，将问题转化为证明，利用函数的导数确定函数最小值在区间，并证明. 即的图象在图象的下方. 详解：解：（Ⅰ）求导，得， 又因为 所以曲线在点处的切线方程为 （Ⅱ）设函数， 求导，得， 因为函数在区间上为单调函数， 所以在区间上，恒成立，或者恒成立， 又因为，且， 所以在区间，只能是恒成立，即恒成立. 又因为函数在区间上单调递减，， 所以. (Ⅲ）证明：设. 求导，得. 设，则（其中）. 所以当时，（即）为增函数. 又因为， 所以，存在唯一的，使得 且与在区间上的情况如下： - 0 + ↘ ↗ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 . 又因为，， 所以， 所以，即的图象在图象的下方. 点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，函数的单调性与导数的关系，考查了恒成立问题的参数分离方法. 将的图象在图象的下方，通过构造新函数，转化恒成立是解题关键. 17．（2025·湖北武汉·二模）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，依题意，解得； （2）因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 18．（25-26高三·四川成都·阶段检测）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：函数的图象在轴上方. 【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】（1）由，求得，结合导数的正负，即可求得函数的单调区间； （2）由函数，得到，根据零点的存在定理，得到在上存在一个，使得，进而利用函数的单调性和极值，证得，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，函数，则 令，解得， 当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数单调递减， 所以函数在区间单调递增，在区间单调递减. （2）由题意，函数，则， 可得函数的递增， 因为， 所以在上存在一个，使得 即， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以， 所以的图象在轴的上方. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 1．（2026·陕西咸阳·三模）方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形构造函数，利用该函数的单调性和值域，将原方程的根的问题转化为函数值相等的问题，所以结合构造函数的性质，分析参数需满足的条件，确定其取值范围. 【详解】由题可知：， 原方程可化为： 令，，故在单调递增， 即每个不同对应唯一不同的，易得的值域为R， 原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解， 变形得：，令，求导得：， 令， 当且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值，作出的图象如下： 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 故，则，因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为， 当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根， 因此的取值范围是. 2．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 时，时，故恒有1个根； 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 3．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知关于的方程有实数根，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程实根代入原式，把点转化为在对应定直线上，利用原点到该直线的距离作为的最小值，换元构造函数求导分析单调性得到最小值e，进而推出，最后验证取等条件求出对应的值. 【详解】设方程的实数根为. 则，即. 设点，则点在以为变量的直线上. 点到直线的距离. 设，则. 当时，0；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则. 所以，则. 当时，，由解得此时； 由解得此时. 4．（2026·河北邢台·二模）已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性将问题转化为与函数图象有2个不同的交点，利用导函数研究其单调性即可. 【详解】由可知，为偶函数， 又也为偶函数， 故与的图象恰好有4个不同的交点 等价于方程恰好有2个不同的正根，显然， 所以与函数图象有2个不同的交点， ， 当时，单调递增；当时，单调递减； 所以， 当时；当时， 所以，所以，故实数a的取值范围为 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】求得，令，求得，得到在上单调递减，由且，得到存在唯一的，使得，得出的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【解答过程】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 6．（2026·安徽芜湖·二模）（多选）关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 【答案】ACD 【分析】对于A，解方程即可判断；对于BCD，结合图象及导数的几何意义求解判断即可. 【详解】对于A，当时，方程为，则，即或，故A正确； 对于B，由于函数为过定点的直线， 当时，设，如图， 设与相切于点， 当时，，则，则，即， 则时，函数与有两个交点，则方程有两个根，故B错误； 对于C，由B知，当时，函数与有3个交点， 则方程有三个根，故C正确； 对于D，要使方程在区间上有三个根，则， 且，即，则，故D正确. 7．（2026·江苏盐城·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的单调递增区间为 C．的极小值为 D．若关于的方程恰有三个不等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】求得，结合奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确；求得，求得的单调区间，可判定B错误；由的单调性，结合极值的定义，求得函数的极值，进而可判定C、D都正确. 【详解】对于A，由函数，可得，其定义域为， 且，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B，由函数，可得， 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，由B项知：函数在处取得极小值，极小值为，故C正确； 对于D，由B项知：函数极大值为，极小值为， 且当时，；当时，； 要使得方程恰有三个不等的实数根， 即与的图象有三个不同的交点，则满足， 所以实数的取值范围是，所以D正确. 8．（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有2个极值点 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 【答案】ABD 【分析】对函数求导，再根据导数与函数的关系验证选项的答案，对于D选项验证与函数y的解有几个交点. 【详解】由题目可知， 令，因为，则，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得当时，为极小值，，故A选项正确； 有两个零点，故有2个极值点，故B选项正确； 减区间为，故实数的取值范围是，故C选项错误； 对于D选项，令，则 ， ，解得或， 由A知 ，作出的图象和直线，由图可知有5个交点， 则函数有5个零点，故D选项正确.    9．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）设函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数是奇函数 C．直线与曲线有3个公共点 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ABD 【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数奇偶性的定义判断B，求出公共点来判断C，分离参数并结合导数得到，，进而判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递减，故A正确； 对于B，由题意得 ， 令，则， 可得，得到函数是奇函数，故B正确； 对于C，联立方程组，解得或， 则直线与曲线的公共点为和，共2个，故C错误； 对于D，设直线方程为，联立方程组， 化简可得，若曲线和直线有且仅有一个公共点， 则有且仅有一个解， 即与有且仅有一个公共点， 而，得到在上单调递增， 当时，，当时，， 则，，得到与有且仅有一个公共点成立，故D正确. 10．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知存在两个极小值点,则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】若存在两个极小值点,则至少有三个变号零点,对进行全分离, 求出有三个变号零点时的的取值范围,再根据的取值范围证明此时有两个极小值点,再根据选项是否在此范围内,即可得出结果. 【详解】解:由题知, 定义域为, 所以, 若存在两个极小值点, 则至少有三个变号零点, 因为,所以需在上至少有两个不等于1的零点, 即与有两个不同的交点, 故,, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 因为指数函数增长比幂函数增长快, 所以当趋向于正无穷时,远远大于, 故趋向于正无穷时,趋向于0, 又因为 由此画出在图象如下: 由图象可知:, 下证:当时,有两个极小值点, 不妨记与的两个不同交点的横坐标为, 可记, 则当时,,即,, 此时,单调递减, 当时,,即,, 此时,单调递增, 当时,,即,, 此时,单调递减, 当时,,即,, 此时,单调递增, 故存在两个极值点分别为符合题意, 故成立; 因为, 故选项A 正确; 取,, 所以, 因为, , 所以存在,使得, 所以在上,,单调递减, 在上,,单调递增, 注意到, 所以, 即时,, 即, 所以 , 故选项B正确; 取, 所以, 故在上单调递减, 所以,即, 所以, 故选项C正确, 取, 所以, 故在上单调递增, 所以,即, 所以, 故选项D错误. 故选:ABC 【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题,属于难题,该题应用了放缩来判断数的大小,关于常见的放缩有: (1); (2); (3); (4); (5)根据函数的凹凸性,可得函数在某个区间内与函数割线的大小关系. 11．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 【答案】 【分析】根据导数与单调性及极值的关系，分，两种情况讨论计算即可. 【详解】的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为有两个不同的零点，所以，解得. 当时，，所以在上存在一个零点， 因为，所以在上也存在一个零点. 综上，. 12．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_______________. 【答案】 【分析】问题等价于在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，求出的取值范围即可． 【详解】由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 令，，则， 令，则， 在单调递增， ， 存在唯一零点，且，使得, 在单调递减，在单调递增，， ，即， 令，，恒成立， 故在单调递增，则，即，则， . 故答案为：. 13．（25-26高二下·北京·期中）设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 【答案】 1 【分析】分析每一段函数的零点情况，再结合函数的性质进行求解. 【详解】① 当时，， 当时，，解得， 所以在上有1个零点， 当时，，， 令，即，因为恒成立， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 得到， 所以在上恒成立，所以总零点个数为， ② 当时，令，解得， 要使在上有零点，则， 当时，令，即， 设，求导得， 令，因为恒成立， 所以，解得：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 则，当时，， 当时，， 要使在上有一个零点，则， 结合，的范围是. 14．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设切点坐标为，借助导数的几何意义计算可得切线方程为，将点代入，可得，构造相应函数，则可得该函数的图象与直线有三个不同交点，借助导数研究单调性后计算即可得解. 【详解】设曲线的切点坐标为，， 则切线方程为， 点在该直线上，有， 整理得， 由题意可得函数的图象与直线有三个不同交点， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， ，， 又当时，，时，， 故当时，函数的图象与直线有三个不同交点， 即实数的取值范围为. 15．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）若关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【分析】设 ，问题转化为与有唯一实数解，对求导，分析其单调性以及变化趋势即可求解. 【详解】设 ，定义域为， ， 令 ，得 ， 时，，单调递增； 当 时，，单调递减， 因此的最大值为 ， 时，；当 时，，且 . 的大致图象如图所示： 由图可知，，与 无交点，方程无解，不符合； ， 与 仅在最高点 处相切，仅有一个交点，方程有唯一解，符合； ， 仅与 在 上有一个交点（时仅 一个解）， 方程有唯一解，符合. 综上，的取值范围为 . 16．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有实根，求的取值范围； (3)若函数有个极值点、，证明： ． 【答案】(1)当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）由结合参变量分离可得，令，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围； （3）利用极值点的定义可得出，，结合可得出，求得，，化简得出，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题知的定义域为，， 若，则，此时函数的增区间为，无减区间； 若，由可得，由可得. 此时函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）由得，参变量分离可得， 令，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又当时，，所以的取值范围是． （3）由题可知， 则， 由题知、是方程的两根，即方程的两个根， 所以，由韦达定理可得，， 所以，，， 所以 ， 令，其中， 则， 令，其中， 则对任意的恒成立， 故函数在上为增函数，则， 所以在上单调递减，则， 故. 17．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）已知． (1)若，求函数在区间的最大值和最小值； (2)若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）求导后可得函数单调性，利用函数单调性计算即可得解； （2）由题意可得有3个不同的实根，令，求导后可得该函数单调性，利用函数单调性计算即可得解. 【详解】（1）当时，， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 由，， 故； （2）由方程有3个不同的实根，则方程有3个不同的实根， 令，则， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又，， 故实数的取值范围为. 18．（2026·重庆·三模）设函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用导数求斜率，再结合切点坐标写出方程即可； （2）先通过导数分析单调性与极值，再结合函数两端趋势，通过极值与0的大小关系判断零点个数，最后结合零点存在的条件，确定参数的取值范围即可. 【详解】（1）当 时，函数为：， 所以， 所以曲线在点 处的切线斜率为： ， 所以，整理得切线方程：. （2）函数 的定义域为 ，， 当时，因为 ，所以 在   上恒成立， 故 在   上单调递增，此时 至多有1个零点，不符合题意； 当时，令 ，解得：， 当 时，，故 ， 单调递减， 当 时，，故 ， 单调递增， 因此， 在 处取得极小值（也是最小值）： 又，， 因此有两个零点当且仅当极小值小于零， 即，所以 ，所以. 综上，的取值范围是 19．（2026·辽宁·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求取值范围； (3)若，求证：函数有两个大于1的零点． 【答案】(1)时在上单调递增，时在上单调递增，在上单调递减 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号，进而确定区间单调性； （2）问题化为，应用导数研究左侧的最小值，利用不等式恒成立求参数范围； （3）应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理确定零点的范围，即可证. 【详解】（1）由题意，， 当时，，故在上单调递增； 当时， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减. （2）当时，不等式可化为， 令 ，， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 所以 ， 设 ，则 ， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 当时， ， 所以的取值范围是； （3）由题意，，易知为增函数， 又，且，故，又 ， 故，使得 ，， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， ， 令 ，， ， 故在上单调递减， ， 所以 ，又， 故，使得，又 ， 对于，，则， 故在上单调递增，则，即， 对于，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即，故， 令 ，，则 ， 所以在上单调递增， 所以 ， 所以，故，使得， 综上，函数有，两个大于1的零点. 20．（25-26高三下·北京·月考）已知函数，. (1)当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； (2)若没有零点，求的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①利用导数的几何意义计算即可得切线方程；②令，利用导数判断出在上有唯一零点，即可利用导数零点与原函数极值的关系求证； （2）令，利用导数研究其单调性后，对分类讨论即可得. 【详解】（1）①，则， 则，又， 故曲线在处的切线方程为； ②令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 故在上有唯一极大值点； （2）， 令，则； ①若，则，在上是增函数， 因为，， 所以恰有一个零点， 要想的零点不是的零点， 则需满足，即有， 代入，得，解得， 所以当时，此时无零点，符合题意； ②若，此时的定义域为， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 所以，又， 由题意，当，即时，无零点，符合题意； 综上，的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 导数中与零点有关的问题 考点一　利用导数判断、证明或讨论函数零点的个数 考点二　由函数零点的个数求参数范围 考点三　隐零点的问题 考点一　利用导数判断、证明或讨论函数零点的个数 1．（25-26高二下·江西南昌·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高二下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数，则方程的根的个数为 ______． 3．（2026·江苏苏州·三模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，（为常数）， ①证明：当时，函数存在两个零点，； ②在①的条件下，若，证明：. 4．（2026·山东德州·三模）已知函数． (1)求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，讨论在区间上零点的个数． 5．（2026·广西崇左·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)若有3个零点，，，证明：. 6．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：关于方程在区间上有两个根； (3)在（2）的条件下，设方程的两个根为，，其中，证明：. 考点二　由函数零点的个数求参数范围 7．（2026·江苏苏州·三模）已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数． (1)记，若在定义域内单调递减，求的最小值； (2)若有两个不同的零点，且． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 9．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）设函数，，若曲线与恰有一个交点，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 11．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·天津和平·三模）若，，使得关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 考点三　隐零点的问题 13．（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 14．（2026高三上·全国·专题练习）函数 (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：. 15．（24-25高二下·江西景德镇·期末）设函数． (1)证明：当时，在区间内存在唯一极小值点； (2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围． 16．（25-26高二下·北京西城·期末）已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方. 17．（2025·湖北武汉·二模）已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 18．（25-26高三·四川成都·阶段检测）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：函数的图象在轴上方. 1．（2026·陕西咸阳·三模）方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知关于的方程有实数根，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邢台·二模）已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2026·安徽芜湖·二模）（多选）关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 7．（2026·江苏盐城·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的单调递增区间为 C．的极小值为 D．若关于的方程恰有三个不等的实数根，则的取值范围是 8．（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有2个极值点 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 9．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）设函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数是奇函数 C．直线与曲线有3个公共点 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 10．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知存在两个极小值点,则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 12．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_______________. 13．（25-26高二下·北京·期中）设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 14．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 15．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）若关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围为______. 16．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有实根，求的取值范围； (3)若函数有个极值点、，证明： ． 17．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）已知． (1)若，求函数在区间的最大值和最小值； (2)若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围． 18．（2026·重庆·三模）设函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，求的范围． 19．（2026·辽宁·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求取值范围； (3)若，求证：函数有两个大于1的零点． 20．（25-26高三下·北京·月考）已知函数，. (1)当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； (2)若没有零点，求的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $