8.1 幂的乘除 培优作业 2025-2026学年 鲁教版（五四制）六年级数学下册

**基本信息** 本章同步练习按“夯基础-练能力”分层，基础题量占比高，能力题注重综合应用，形成从概念辨析到创新探究的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|单一知识点（如幂的运算、科学记数法）|选择/填空/简单计算，强化运算能力（如基础计算、概念辨析）| |练能力|跨知识点综合（如新定义运算、实际应用）|解答/探究题，培养推理意识与创新意识（如阅读理解、规律证明）|

第八章 整式的乘除 1 幂的乘除 第1课时同底数幂的乘法 夯基础 1.下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知x+y-4=0,则2*×2*的值为 ( ) A.8 B.64 C.16 D.12 3.若a,b是正整数,且满足 则下列a 与b关系正确的是 ( ) A. a+b=3 B.2a+b=3 C.3a-b=1 D.3a-2b=1 4.计算 m个(n×n×…n)的结果是 ( )n个 C. D. 5.电子文件的大小常用 B，KB,MB,GB等作为单位,其中 某视频文件的大小约为2 GB,2 GB等于 ( ) A.2³⁰B B.8³⁰B C. D. 6.若 则 7.已知 12,下列结论:①c=a+2 ②a+b=c+1 ③2<b<3.其中所有正确结论的序号是 8. 已知 则a+b+c+d的值为 9. 计算: 10. 我们定义：三角形 若x+2y=3,则3x 2y = 11.计算: (6)(a-b-c)(b+c-a)(c-a+b)³. 12.已知: (1)猜想: (m,n均为正整数)； (2)运用上述结论计算下列各式： 13. (1)已知 求n 的值； (2)已知 求x的值. 14.规定新运算“*”:a*b=2°×2⁶,如： (1)求(-2)*6的值; (2)若1*(2x+1)=64,求x的值. 15. 已知2*=6,2ˣ=3,求下列各式的值： 练能力 16. 规定两数a,b之间的一种运算，记作(a，b)：如果 b,那么(a,b)=c. 例如：因为 所以(2,8)=3. (1)根据上述规定,填空:(3,9)= ; (2)令(2,6)=x,(2,7)=y,(2,42)=z,试说明下列等式成立的理由：(2，6)+(2，7)=(2,42). 17.【定义新知】 如果a，b，c是整数，且 那么我们规定一种记号(a,b)=c,例如 那么记作(4,16)=2. 【尝试应用】 (1)(2,8)= ; 【拓展提升】 (2)若k,m,n,p均为整数,且(k,9)=m,(k,27)=n,(k,243)=p,求证:m+n=p. 第2课时幂的乘方 夯基础 1. 计算( 的结果是 ( ) A. B. C. D. 2. 下列运算结果等于a3n的是 ( ) 3.若 则m 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.7 4.如果x=3"+1,y=2+9",那么用x的代数式表示y为( ) A. y=2x B. C. D. 5.已知2x-4y+5=0,则 的值是 . 6.已知 则 7.比较81³¹,27⁴¹,9⁶¹的大小(用>连接)： 8.计算: 为正整数)； 9.阅读下面例题的解题过程： 例：已知 请你用含m，n的代数式表示x¹¹. 解：因为 所以 请你用另一种思路解答. 练能力 10. 定义一种幂的新运算： 请利用这种运算规则解决下列问题. (1)求2²⊕2³的值; (2)若运算3⊕3⁴ 的结果为108,求 t 的值; ,求2°⊕2°的值. 11.阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方法则是重要的性质之一，幂的乘方法则反过来也是成立的，至于选择哪一个公式，要具体问题具体分析. 例：判断32⁹⁹的末尾数字. 解：32⁹⁹的末尾数字等于2⁹⁹的末尾数字， 又16"(n为正整数)的末尾数字均为6， 的末尾数字是6×8的末尾数字，即为8. ∴32⁹⁹的末尾数字为8. 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出3³⁸的末尾数字； (2)试判断 的末尾数字. 第3课时 积的乘方 夯基础 1.计算( 的结果是( ) A. B. C. D. 2.计算 的结果是 ( ) A. B. C. D. 3.如果( 那么m，n的值分别是 ( ) A.2,4 B.2,5 C.3,5 D.3,-5 4.若 则 5.计算 的值为 . 6.已知 则 7.若一个正方体的棱长是 则它的体积是 cm³. 8.计算: 9.已知 求 的值. 10.已知 判断a+b和 ab 的大小关系. 练能力 11.培素养 阅读理解：下面是小明完成的一道作业题. 小明的作业：计算： 解：原式 (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (2)知识拓展：若 求n 的值. 第4课时 同底数幂的除法 夯基础 1.已知 那么x""⁻"的值是( ) A.4 B. C. 3 D. 12 2.计算 的结果等于 ( ) A. m² B. m³ C. m⁴ D. m⁶ 等于 ( ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 5.若a"=3,a"=4,则 的值为 . 6.已知 3"+3",则 n的值为 . 7. 若3y-x-3=0,则27°÷3°的值为 . 8. 计算 的结果为 . 9.若 则x的值是 . 10. 计算: m是大于2的整数)； 11.已知 (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求k-3m-n的值.(提示:若a≠0,则 练能力 12.探究应用：用“∪”“∩”定义两种新运算：对于两个数a，b，规定 例如： (1)求(1 040∪983)的值; (2)求(2 024∩2 022)的值; (3)当x为何值时,(x∪5)的值与(23∩ 17)的值相等. 第5课时 零指数幂与负整数指数幂(1) 夯基础 1.若 (-π)°,则点 A 与点 B 在数轴上的位置( ) A.相同 B.都在数轴原点右侧，且点 A 距离原点远 C.都在数轴原点左侧，且点 B 距离原点远 D.在数轴原点两侧，且与原点距离相等 2.等式( 成立的条件是 ( ) A. x≠-3 B.x≥-3 C.x≤-3 D. x≠3 3.在数 中，最小的数是( ) A. B. C. D. 4.下列各组数互为相反数的是 ( ) A.2与|-2| B.2°与(-1)² C.2与2⁻¹ D.-(-2)与-|-2| 5.若 则x的值为 ( ) A. B.2⁻¹ C.2 D.0 6.若 有意义，那么x的范围是 ( ) A. x>2 B. x<3 C. x≠3或x≠2 D. x≠3且x≠2 7.已知 a=-0.5²,b= 则a，b，c 的大小关系是 .(用“<”连接) 8.已知( 则x= . 9.若( 则整数x的值为 . 10. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-4,-2,-1,2,3,4,6,7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则(a+b)⁻²的值为 . 11.计算: 12.已知 (-5)⁹.先计算a,b,c,d 的值,再比较它们的大小，并用“<”连接起来. 13.(1)通过计算比较下列各式中两数的大小：(填“>”“<”或“=”) (2)由(1)可以猜测 与(n+1)⁻";((n为正整数)的大小关系： 当n 时, 当n 时, (3)根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较大小： 练能力 14.在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：a"=1(n为整数)成立时,a,n要满足的条件.请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使a"=1(n为整数)成立情形，请帮小郑同学补充完整： ②a=-1,n为偶数③a= ; (2)若( 求x的值； (3)延伸迁移：若( 请直接写出a 的值. 15.填写表格，并观察下列两个代数式值的变化情况： n 1 2 3 4 5 6 10⁻" (1)随着 n的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化? (2)估计一下，随着 n 的值逐渐变大，哪个代数式的值先小于10⁻¹⁰? 第6课时 零指数幂与负整数指数幂(2) 夯基础 1.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是 ( ) A. B. C. D. 2.计算 的结果是 ( ) A.-2 B.-1 C.2 D.3 3.计算 的结果是 ( ) A. B.1 C. D. 4.下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 5.计算 的结果是 . 6.计算( 的结果是 . 7.利用负指数幂将式子化成没有分母的式子： 8.计算: 9.计算: 练能力 10.在日常生活中，我们用十进制来表示数，二进制是计算机世界的“语言”，二进制在多个领域有着广泛应用，如计算机系统，数字通信，条形码及二维码等，十进制数与二进制数可以相互转化，如二进制中的1011 可以按如下方式转换为十进制： 8+0+2+1=11,那么二进制数1 101对应的十进制数是 ( ) A.9 B.11 C.13 D.15 第7课时科学记数法 夯基础 1. “平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句.水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.000 000 000 4m ,数据 0.000 000 000 4用科学记数法表示为 ( ) A. B. C. D. 2.“套圈”是流行于河南农村市集上的热门游戏，若其特等奖的中奖率为 则把 用科学记数法表示应为( ) A. B. C. D. 3.若数 若将a用小数表示时，则数字1前面的“0”一共有 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 4.宋·苏轼《赤壁赋》:“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟.”比喻非常渺小.据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为( ) A.2×10²克 B. 克 C. 克D. 克 5.某纳米涂层的厚度为0.000 000 067 m,将0.000 000 067用科学记数法表示为 . 6.在我国神话里，哪吒用莲藕“重塑肉身”的故事流传已久.近期我国科研团队用“莲藕重塑”思维，研制出厚度约为0.000 000 000 5m 的单原子层金属,成功为金属“重塑金身”，开创了二维金属研究新领域.用科学记数法表示单原子层金属的厚度约为 m. 7.一种细菌的半径是 厘米，半径用小数表示为 厘米. 8.某种感冒病毒的直径是0.000 000 812米,用科学记数法表示为 米.一种细菌的半径为 用小数表示应是 m. 9.在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是0.000 000 05 cm,用2×10³个这样的细胞(沿直线)排成的细胞链长度是多少厘米?(结果用科学记数法表示) 10.一个正方体集装箱的棱长为0.8m. (1)这个集装箱的体积是多少(用科学记数法表示)? (2)若有一个小立方块的棱长为 则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满? 11.一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在0~100℃(本题涉及的温度均在此范围内)，原长为 l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量 y(m)与温度的增加量 x(℃)之间的关系均为 y=αlx，其中α为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数 (单位:/℃);原长为2.5m 的铁棒从20℃加热到80℃伸长了 (1)原长为0.6m 的铜棒受热后升高50℃,求该铜棒的伸长量(用科学记数法表示)； (2)求铁的线膨胀系数αF。；若原长为 1m的铁棒受热后伸长 求该铁棒温度的增加量； (3)将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的增加量. 练能力 12.生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例： 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数 10 010转化为十进制数： 其他进制也有类似的算法… 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，孩子已经出生的天数为 . 13.小明觉得像 0.000 005 7 这样的数写起来很麻烦，当他学习了科学记数法以后，发现 所以发明了一种“类科学记数法”,将0.000 005 7写成5.7÷10⁶. (1)将下列各数用“类科学记数法”表示： 0.02= ; 0.000 407= ; (2)若一个数 0.0……035 用“类科学记了:法”表示为 则原数中“0”的个.为 ; (3)比较大小： 0.000 106 9.8÷10⁵; (4)纳米是长度度量单位.1 纳米=1.0÷10°米，一种病毒的直径平均为200纳米.200纳米这个数据用“类科学记数法”可表示为 米. 第 1 课时 同底数幂的乘法 1. D 2. C 3. C 4. A 5. C 6.2 7.①③ 8.10 解析:因为 10. 所以 则 故 所以a+b+c+d=10. 10.27 解析:当x+2y=3时, 11.解: 2²⁰; b-c)⁵. 12.解:(1)10¹⁹;10"+"; 13.解:(1)因为 所以 则2+2n-1+3-n=6,解得n=2; (2)因为 所以 所以1+2x+4=23,解得x=9. 14.解:(1)由题意,得 (2)因为1*(2x+1)=64, 所以 即 所以2x+1+1=6,解得x=2. 15.解:(1)原式 (2)原式 2³·2’=6×6+3×3×3=63. 16.解:(1)2; (2)因为(2,6)=x,(2,7)=y,(2,42)=z, 所以 所以 所以x+y=z, 所以(2,6)+(2,7)=(2,42). 17.解:(1)3; (2)证明:因为(k,9)=m,(k,27)=n,(k,243)=p, 所以 所以 所以 即 所以m+n=p. 第 2 课时 幂的乘方 1. B 2. D 3. B 4. C 5.2 6.108 解析:因为 所以 所以 解析： 因为 所以 8.解:(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 9.解: 10.解:( 64+32=96; 则t=3; (3)当 时， 39+3×5=6+15=21. 11.解:(1)因为 又因为81”(n为正整数)的末尾数字均为1，所以 的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9； (2)因为 则992000的末尾数字等于92000的末尾数字. 因为 为正整数)的末尾数字均为1， 所以 的末尾数字为1. 因为201999的末尾数字为0， 所以 的末尾数字为0+1=1. 第 3 课时 积的乘方 1. D 2. A 3. A 4.10 5. 6.36 7.2.7×10⁷ 8.解:(1)原式 (2)原式 (-1) (3)原式 9.解：因为 所以 =-2016. 10.解:因为 所以 所以 所以a+b= ab. 11.解:(1)①原式 ② 原 式 (2)因为 所以 所以 所以1+6n=19,解得n=3. 第4 课时 同底数幂的除法 1. C 2. C 3. C 4. D 5. 6.4 7.27 8.-x 9.4 10.解:(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 (5)原式 (6)原式 (7)原式 11.解:(1)因为 所以 =2×32÷16 =4; (2)因为 所以 =32÷8÷4 =1; (3)由(2),得 因为 所以k-3m-n=0. 12.解:(1)由题意得 (2)由题意得 (3)由题意得 因为(x∪5)的值与(23∩17)的值相等,所以 所以x+5=6,所以x=1, 所以当x=1时,(x∪5)的值与(23∩17)的值相等. 第 5 课时 零指数幂与负整数指数幂(1) 1. D 2. D 3. C 4. D :5. D 6. D 7,b<a<c 8.1或 4 解析:当x-1=0时,x=1,此时 满足题意； 当x=4时, 满足题意； 当x=2时, 不满 足题意； 综上所述,当x=1或x=4时, 9.-2或0或 2 解析:①当x+2=0时, 即x=-2时,2x-3≠0,x-3≠0, 此时 ②当2x-3=x-3时,解得x=0; ③当2x-3=1,即x=2时,此时x+2=4,x-3=-1, 所以 变为 ④当2x-3=-1,即x=1时,此时x+2= 3,x-3=-2,由于( 所以 综上所述,x=-2或x=0或x=2. 10. 解析：根据题意，设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x， 即4x-x=-4-2-1+2+3+4+6+7, 所以3x=15,解得x=5, 所以-4+a+b+4=5,所以a+b=5,所以 11.解:(1)原式=9-8+3-1=3; (2)原式=-1+4+1-2=2; (3)原式=2-1+3+1=5; (4)原式=1-2+1+2=2; (5)原式=-8+(-6)-16=-30; (6)原式=5-3+3-1=4. 12.解:因为 所以a<b<d<c. 13.解:(1)①> ②> ③< ④<(2)≤2,>2 (3)< 14.解:(1)1; (2)由 ①当2x-1≠0,x-2025=0时,解得x=2 025; ②当2x-1=-1时,解得x=0,此时指数0-2025=-2 025,是奇数,结果为 ，不成立； ③当2x-1=1时,解得x=1,此时指数为1-2 025=-2 024,此时结果为 成立；综上所述,x 的值是1 或 2 025; (3)由 ，得 ①当a+2=0,a+4≠0时,解得a=-2; ②当a+2=1时,解得a=-1; ③当a+2=-1时,解得a=-3. 此时 成立； 综上所述,a 的值是-1或-2或-3. 15.解:如表: n 1 2 3 4 5 6 10⁻¹n 10~~ 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.000 01 0 000 001 (1)从表中知，随着 n 的值逐渐变大，两个代数式的值都是变小的，且趋向于0； (2)第二个代数式变小得快，先小于10⁻¹⁰. 第 6 课时 零指数幂与负整数指数幂(2) 1. A 2. B 3. D 4. D 6.-3 7.-6a⁴b⁻⁵5. 8.解:(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 (5)原式: 9.解:(1)原式 6.28×10=62.8; (2)原式 (3)原式 10⁻⁶; (4)原式 (5)原式 (6)原式 10. C 第 7 课时 科学记数法 1. C 2. C 3. B 4. D 5.6.7×10 ⁸ 6.5×10⁻¹⁰7.0.001 21 8.8.12×10⁻⁷ 0.003 09 9.解:0.000 000 05×2×10³ 答： 个这样的细胞排成的细胞链的长为 10.解：(1)因为一个正方体集装箱的棱长为0.8m，所以这个集装箱的体积是 0.8×0.8× 答：这个集装箱的体积是 (2)因为一个小立方块的棱长为 所以 (个),答：需要64 000 个这样的小立方块才能将集装箱装满. 11.解: 答：该铜棒的伸长量为 设该铁棒温度的增加量为x₁，根据题意得， 解得 答：铁的线膨胀系数 该铁棒温度的增加量为 40℃； (3)设该铁棒温度的增加量为x₂，根据题意，得 解得 答：该铁棒温度的增加量为 68 ℃. 12.42 解析：由题意可知，图示表示的五进制数为 132，转化为十进制数为 故孩子已经出生了42天. 13.解: (2)6; 0.000 000 1, 因为0.000 000 09<0.000 000 1, 所以 因为0.000 106>0.000 098, 所以 故答案为:<,>; (4)因为1纳米 米， 所以 200纳米= 米，故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $