专题04 导数及其应用（6大考点）（期末真题汇编，湖南专用）高二数学下学期

**基本信息** 导数及其应用专题汇编，涵盖6大高频考点，精选湖南多地高二期末真题，注重基础巩固与综合能力梯度提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|8|导数计算、单调性、极值等|含多选（如第8题“锦鲤曲线”），结合图像情境| |填空|6|切线方程、恒成立参数等|如第2题圆与曲线公切线，融合几何与导数| |解答|8|切线、单调性、零点综合|多问设计（如第4题三问），分层考查逻辑推理与创新应用（如第19题二阶拟合函数）|

专题04 导数及其应用 6大高频考点概览 考点01导数的计算 考点02切线问题 考点03利用导数研究函数的单调性及其应用 考点04极值问题 考点05恒成立问题 考点06零点问题 ( 地 城 考点01 导数的计算 ) 1．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用基本初等函数的导数公式，即可求解. 【详解】由函数，可得. 故选：D. ( 地 城 考点02 切线问题 ) 2．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知圆C：与曲线的公切线为直线（），则圆C的半径为______，______． 【答案】 1 【分析】根据圆的一般方程的二次项系数的特点求出，设出直线和的切点，根据导数的几何意义和点到直线的距离列方程求解 【详解】由圆C的方程，得，即，所以圆C：的半径为， 则点到直线的距离，得． 和相切，设切点为， ．由，得，得， 因为，所以． 设，则，当时，，当时，， 则在上递减，在上递增， 所以，所以． 故答案为： 3．(24-25高二下·湖南娄底部分普通高中·期末)已知函数. (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若，，求出解析式，利用导函数求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）根据定义域为，利用极值点求出，可得，分类讨论，，，是否满足是的极大值点，即可求出的取值范围. 【详解】（1）若，，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题意，得的定义域为，， 则，即，所以. 当时，在时，，单调递减； 在和时，，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在时，，单调递减； 在和时，，单调递增， 所以是的极小值点，不满足条件. 当时，在时，，单调递减；在时，，单调递增， 所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 4．(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学·期末)设函数． (1)当时．求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出的单调区间. （3）由（2）中信息分类探讨并求出极小值，并确定函数有两个零点的条件，再结合零点存在性定理求解判断. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，且当时取等号，函数在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，函数在上单调递减，则最多一个零点； 当时，在处取得极小值，则最多一个零点； 当时，在处取得极小值，则最多一个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，要函数有两个零点，则必有， 解得，此时，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，， 因此当且仅当时，函数恰有两个零点， 所以实数的取值范围是. ( 地 城 考点0 3 利用导数研究函数的单调性及其应用 ) 5．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得，单调递增，，单调递减，所以，，，，从而对各个选项分别进行求解即可. 【详解】根据题意，定义在上的函数的导函数满足， 所以，， 令，，则，， 所以单调递增，单调递减， 又，， 所以，，，， 因为单调递增，单调递减， 所以，， 又，所以，故A错误； 同理，，， 所以，故B错误； ，所以，故C正确； ，， 所以，故D错误. 故选：C. 6．(24-25高二下·湖南永州第一中学·期末)若，为正实数，函数在上单调递增，则的最大值为____________． 【答案】 【分析】对原函数求导得，根据已知，为正实数，函数在上单调递增，得出.分析导数非负条件，得到临界点，从而得到a，b关系：，构造函数，求导并令得到，根据导数单调性判断为最大值. 【详解】求导得：.已知，为正实数，函数在上单调递增，故对所有恒成立. 当时，，此时需要； 当时，，此时需要； 当时，，此时等式成立. 特别地，当时，，此时必须满足，即. 综合可得为临界点，此时： 求最大值：将b代入，得. 设，求导：. 令：，. 故 当时，，函数递增； 当时，，函数递减; 所以时，取得最大值：. 故答案为：. 7．(24-25高二下·湖南永州第四中学·期末)已知则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可证明且，可判定A错误；将 看作，的图象与直线 交点的横坐标，数形结合可判断B；由题意可知，又，所以，即可判断C；构造函数 ，利用其单调性即可判断D． 【详解】若，则，，则不成立，A错误； 若，则，，不成立， 若，，则，， 所以不成立，所以且， 又，，则，可以分别看作，的图象与直线交点的横坐标， 作出，与的图象如图所示，        结合图象可知， 综上所述，故B错误； 由，，可得， 所以，C错误； 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以，即， 所以，D正确． 故选：D． 8．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)（多选）已知函数和的图象在第一象限的交点为A，轴，垂足为．如图，当时，和的图象组成的曲线可形象的称为“锦鲤曲线”，则（   ） A．“锦鲤曲线”关于直线对称 B．三角形的面积不超过 C．当时， D．恰有两条不同的直线被“锦鲤曲线”截得的弦长为 【答案】ABD 【分析】根据反函数的定义和求法，可判定A正确；联立方程组，转化为，设函数，求得，得到函数的单调性，得到使，且，结合三角形的面积公式，可判定B正确；转化为时，，结合函数的图象，可判定C错误；设直线与“锦鲤曲线”分别交于M，N两点，求得弦长，得到存在一条直线被“锦鲤曲线”截得的弦长为，再由B项，得到的极大值为，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，可得，则， 所以函数与互为反函数， 所以“锦鲤曲线”关于直线对称，所以A选项正确； 对于B中，由，可得，即， 设，可得， 令，可得，令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由， 所以使，根据题意，可得， 所以，所以B选项正确； 对于C中，由当时，，转化为时，， 由图象得，当时，函数的图象恒在直线的上方，所以C选项错误； 对于D中，设直线与“锦鲤曲线”分别交于M，N两点， 则弦长， 显然时，一定存在一条直线被“锦鲤曲线”截得的弦长为， 当时，记， 由B知，当时，的极小值为，所以的极大值为， 所以，当时，存在一条直线被“锦鲤曲线”截得的弦长为，所以D正确. 故选：ABD. 9．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求实数a的取值范围； (3)若正项数列满足，，试比较与1的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间． (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）将代入，利用导数及转化思想即可求得函数的单调区间； （2）利用导数、转化思想，分和分别求解即可； （3）由题意可得得，结合（1）可得，令，则有，即有，则有，结合，可得，从而，即有． 【详解】（1）解：当时，， 所以， 令， 则，即为， 则， 当，即时，单调递减， 当，即时，单调递增， 所以， 故， 所以， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）解：注意到，，， 设，则，， ①当时，恒成立， 所以，在上单调递增， 所以， 所以， 所以在上单调递增， 所以，满足题意； ②当时，令，得， 即存在，使得时，单调递减， 时，，单调递增， 故， 所以，当，，，单调递减， 所以，存在，不满足对任意恒成立． 综上，实数a的取值范围为． （3）解：由，得． 由（1）知，当时，在上单调递增， 故当时，， 令，则， 即，故， 又因为，所以， 故． 一方面，当时，，， 另一方面，当时，． 即，所以． 综上，． 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用方法有：1、转化为求函数的最值；2、参变分离，转化为求参数与函数最值之间关系. 10．(24-25高二下·湖南湘西·期末)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)若且，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）要证，只需证，即证，构造函数，即证，利用导数分析函数的单调性，结合单调性证明即可. 【详解】（1）由题意得，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 整理得，即． （2）令，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 又，所以当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． （3）要证，只需证， 即证， 设函数，即证． 又， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以． 令，则， 所以在上单调递增，故， 而，所以， 故，即且． ( 地 城 考点0 4 极值问题 ) 11．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)函数的极大值点是________． 【答案】 【分析】求导，分析单调性，即可求出极大值点. 【详解】因为函数，则， 令，得到或，令，得到或； 即函数在区间和上单调递增； 令，得到；即函数在区间上单调递减； 故极大值点为， 故答案为： 12．(24-25高二下·湖南长沙岳麓实验中学·期末)（多选）已知函数，则（　　） A．在区间内存在零点 B．0是的极小值点 C．在区间内存在极大值 D．在区间上单调递减 【答案】BCD 【分析】令，得到零点，看区间内有无这些零点，没有则不存在零点即可判断A；在附近，分析、、正负，时，时，所以是极小值点即可判断B；对求导．在内，分析各项正负，判断是否存在极大值即可判断C；在上，分析正负，再分析各项正负，得，单调递减即可判断D． 【详解】对于A：函数， 令，则或或，解得，，，， 在区间内，不存在上述使的值，所以在区间内不存在零点，故A错误；   对于B：当在附近时，，在上单调递增，且， 当时，，，所以； 当时，，在附近正负交替，但， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C：函数的定义域为，， 当时，，，，， ，且在内，随着的变化，会先大于后小于， 则在区间内存在极大值，故C正确； 对于D：当时，，，， 则， ， 在上，，，，； ，，，； ，，，， 即，则在区间上单调递减，故D正确． 故选：BCD． 13．(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 【答案】(1) (2)有极大值，无最小值 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，求出，，，再由导数的几何意义求解即可； （2）当，对求导，求出的单调性，结合极值点的定义即可得出答案； （3）对求导，研究单调性和极值可知要使有2个零点，则需，由此求出的范围，要证，只需证，由此构造，，对求导，证明即可. 【详解】（1）当时，，则， 因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，，有， 由可得，即， 当时，，，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 有极大值，无最小值. （3），则. 若，则，单调递增，不可能有两个零点. 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以为的极小值点， 要使有2个零点，则需，即. 因为的2个零点为，，，所以. 要证，只需证， 因为，在上单调递增， 所以只需证， 因为，所以只需证， 即只需证，， 令，， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，即在上单调递减， 又因为，所以， 即，， 所以原命题得证. 14．(24-25高二下·湖南郴州·期末)已知函数在上有两个极值点，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题意，将函数有两个极值点问题转化为方程有两个实根，设，求导判断其单调性，求出端点值，作出函数的图象，结合图象根据直线与有两个交点可求得参数的范围. 【详解】由求导得， 因函数在上有两个极值点， 则有两个变号零点， 即方程有两个实根，也即方程有两个实根. 设，则，因， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减. 故，又，， 作出函数在上的图象如下. 方程有两个实根，等价于直线与有两个交点， 故需使. 故答案为：. ( 地 城 考点0 5 恒成立问题 ) 15．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)已知函数，，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】求导可得有两个零点，，从而可得，再由条件可得的零点也为，，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的极小值为， 又因为，，所以有两个零点，． 且，即得，① 若，，则的零点也为，， 且，代入①式得，所以． 故选：D． 16．(24-25高二下·湖南岳阳·期末)已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_____（用区间表示）. 【答案】 【分析】首先通过对数运算法则对已知等式进行变形，构造函数，利用导数判断其单调性，再根据函数值相等及单调性得到，进而构造函数，通过求导判断其单调性来求解最小值. 【详解】， 由于，则， 设，则上式表明， 求导得，当时，在上单调递增， ，进而可得， ， 令，则， 当时，在单调递增；当时，在单调递减， ， 要使恒成立，则恒成立，故， 即 故答案为： 17．(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学·期末)（多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．当时，有且仅有一个零点 B．若函数在区间上单调递增，则 C．存在实数，使得在上恒成立 D．若，则过原点有两条直线与曲线相切 【答案】ABD 【分析】由时，再结合又，，可对A判断；由由在区间上单调递增，等价于在上恒成立，分情况讨论即可对B求解判断；求出，则不恒成立，即可对C判断求解；设设切点，，可求出，再结合函数过，则在原点处有切线，则可对D判断. 【详解】A：当时，，， 所以在其定义域上单调递增，又，，所以当时，有且仅有一个零点，故A正确； B：，由在区间上单调递增，所以在上恒成立，即等价于在上恒成立， 当时，恒成立，当时，等价于， 又，当且仅当时，即时取等号， 所以，解得，所以，故B正确； C：，， 则， 则不恒成立，故C错误； D：当时，，则， 设切点，， 则直线斜率， 即，解得，或（舍去），此时切点不在原点且过原点有一条切线， 又因为函数，即原点在函数的图像上，则过原点处的切线斜率为存在， 所以在原点处也存在一条切线，综上所述过原点有两条直线与曲线相切，故D正确； 故选：ABD. 18．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)已知函数，其中． (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若在上恒成立，求m的取值范围； (3)为求积符号，．求证对于所有正整数n，均有． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）因根据题意，求得，令，得到，得到函数的单调性，进而求得其最小值； （2）由，分和，两种情况讨论，得到函数单调性，进而得到m的取值范围；   （3）转化为证明，设函数，得到，求得的单调性，得到恒成立，由（2）知，进而证得结论. 【详解】（1）解：因为，可得，则， 令，可得，又因为，所以， 当时，，单调递增，当时，单调递减， 又由，所以． （2）解：由， 当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 故时，在上恒成立； 当时，设，则在上单调递减， 且，，使， 当时，，即，所以在上单调递增； 所以时，，与恒成立矛盾，故不合题意， 综上所述，实数m的取值范围为． （3）证明：要证， 只需证， 设，则， 所以在上单调递减，， 当时，恒成立． 又由时，，由（2）知， 所以， 所以， 所以，证毕． 19．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据二阶拟合函数定义即可得，构造函数，利用二阶导数讨论单调性即可得证； （2）构造函数证明，结合（1）可得，当时，通过放缩可得成立，当时，通过放缩可知，然后构造函数，利用导数证明不满足题意即可得解； （3）求出，根据二次函数性质可证其有两个零点，将目标不等式转化为，构造，利用导数即可得证. 【详解】（1）因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． （2）记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． （3）因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． ( 地 城 考点0 6 零点问题 ) 20．(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设，将题意转化为，即存在两个不同的零点，设，分和，对求导，得出的单调性和最值即可得出答案. 【详解】令，得， 设，显然在上单调递增， 而，则， 依题意，方程有两个不等的实根， 显然，故存在两个不同的零点， 设，则， （i）当时，则，，此时在上单调递增， 最多一个零点，不合题意； （ii）当时，此时，当时，，当时，， 在（0，1）上单调递增，在上单调递减，所以， 要使有两个零点，则，解得. 故答案为：. 21．(24-25高二下·湖南长沙周南中学·期末)（多选）已知函数 . 则下列说法正确的是（   ） A．当时，在点(0,0)处的切线方程为 B．当时，的极小值为 C．若不等式在时恒成立，则 D．若函数恰有1个零点，则 【答案】ABD 【分析】对函数求导，应用导数的几何意义求切线方程判断A；应用导数求函数的极值判断B；令，问题化为恒成立求参数范围判断C；由函数零点得0或，结合函数零点个数求参数范围判断D. 【详解】A：当时，，则，切线方程为，正确； B：当时，，令，得， 当时，，当时，，则的极小值为，正确; C：由有 在上恒成立， 令，则在上单调递增，即恒成立， 所以，即， 令，即， 所以，当时，，所以在单调递减， 所以，所以 ，即，错误； D：由， 令有，解得0或， 令，所以， 令，得，由有有， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 当时， 无解或有一解为0， 所以函数恰有1个零点0， 所以，正确. 故选：ABD 22．(24-25高二下·湖南郴州·期末)已知函数， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，设函数，讨论函数零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出函数的解析式，对函数求导，将切点坐标代入函数和导数中，即可求得切线方程. （2）方法一：分别讨论时的单调性和最值，进而确定零点个数；方法二：讨论时的单调性和最值，进而确定零点个数，时利用放缩法，先证明，再证明，进而确定零点个数. 【详解】（1）当时， 求导得，所以，又 所以在点处的切线方程为 （2）当时，，所以， 令，求导得， 因为，所以在上单调递增，所以. 因为，所以当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以有唯一零点； 下证当时，无零点 法一：当时，因为， 所以， 令，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 又，， 故在上有唯一的零点β，即， 因此有 当时，，即；当时，，即． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为最小值． 由，得， 所以在时， 因为，所以，又因为当时，，所以． 所以． 因此当时，没有零点. 综上所述，时，有1个零点；当时，没有零点 法二：（放缩法）先证 记，则 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，即，当且仅当时等号成立 再证： 由得，即， 所以，当且仅当，即时等号成立 所以 因此当时，没有零点． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04导数及其应用 ☆6大高频考点概览 考点01导数的计算 考点02切线问题 考点03利用导数研究函数的单调性及其应用 考点04极值问题 考点05恒成拉问题 考点06零点问题 目目 考点01 导数的计算 1.(24-25高二下·湖南邵阳期末)已知函数f(x)=山3+log3x,则f'(x)=() 11 1 1 1 1 A. B. C. D. 3In3 3 xIn3 xlg3 xIn3 目目 考点02 切线问题 2.(24-25高二下湖南衡阳·期末)已知圆C:(2m-1)x2+my2+2x-m=0与曲线y=alnx的公切线为直线 y=mx+n（n<0),则圆C的半径为，a= 3.(24-25高二下湖南娄底部分普通高中期末)已知函数f(x)=x-a-blxa,b∈R). (1)若a=0,b=1,求曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程： (2)若x=1是f(x)的极大值点，求a的取值范围 4.(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学期末)设函数f(x)=ax2-(a-2)x-lnx(aeR). (1)当a=0时，求曲线f(x)在x=1处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若函数∫(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围. 目目 考点03 利用导数研究函数的单调性及其应用 5.(24-25高二下湖南衡南县第一中学期末)定义在R上的函数∫(x的导函数为f'(x),且满足 1/5 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1<f'(x)<2,f(-1)=0,f5)>10,则下列不等式一定成立的是() Af10>号 B.f1<3 C.f(3)>6 D.f(4)<9 6.(24-25高二下·湖南永州第一中学期末)若a,b为正实数，函数f(x)=(x+1e+a-b(x+2)2在xeR上单 调递增，则a-b的最大值为 7.(24-25高二下·湖南永州第四中学.期末)已知a+2”=b+3=2,则下列不等关系正确的是() A.b<a<0 B.0<a<b<1 C.b+24>a+35 D.bIn 2a aln 2b 8.(24-25高二下·湖南邵阳·期末)（多选)己知函数f(x)=e-ex和g(x)=1-ln(e-x)的图象在第一象限的 交点为A,AB⊥x轴，垂足为B(x,0).如图，当x≤x时，∫(x)和g(x)的图象组成的曲线可形象的称为“锦 鲤曲线”，则() A g(x) y=fx)》 A.“锦鲤曲线”关于直线y=x对称 B,三角形A0B的面积不超过) C.当x∈(0，x)时，2f -x<0 D.恰有两条不同的直线x+y+m=0(m∈R)被“锦鲤曲线截得的弦长为√2(e-2) 9.(24-25高二下湖南湘东教学联盟期末)已知函数f(x:)=e-axe2-1· (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x>0对任意x∈(0，+o)恒成立，求实数a的取值范围： ⊙活正项数列a满是4弓4=h。,试t较2a,与1的大小关系，并说明理由 1 10.(2425高二下湖南湘西期末已知函数fx=+11nr. x-1 (1)求曲线y=f(x)在点(3，∫(3)处的切线方程； 2/5 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)求f(x)的单调递增区间； 1 (3)若m∈N且m≥2，证明：f(m<m+ 21 目目 考点04 极值问题 11.(24-25高二下·湖南湘东教学联盟期末)函数f(x)=x2e-2的极大值点是 12.(24-25高二下湖南长沙岳麓实验中学期末)（多选）已知函数f(x)=(x-1)sinxIn(x+1),则() A.f(x在区间(2,3)内存在零点 B.0是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(0,1内存在极大值 D.f(x)在区间(-1,0)上单调递减 13.(24-25高二下，湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知函数fx)=e(cosx+1-ax, aER. (1)若a=1,求曲线y=f(x在x=π处的切线方程； (2)若a=0,求y=f(x)在(0，π)内的极值； (3)设g(x)=f(x)-e'cosx,若gx有2个零点x,x2,且x<x2,求证：x+x2<2lna 14.(24-25高二下湖南郴州期末)已知函数f(x)=m(x-1)e-x2+x在x∈ 上有两个极值点，则实数 m的取值范围是 目目 考点05 恒成立问题 15.(24-25高二下·湖南湘东教学联盟期末)已知函数f(x)=(e-4xx2-ax+b),xeR,fx≥0，则 @o =() b A.2 B.4 C.8 D.16 16.Q425高二下湖南岳阳期已知ax+咖=c,若不等式之+-3x-a≥0恒成立，则实数a的 2 取值范围是 (用区间表示) 17.(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学期末)（多选）已知函数 f)式-a+aeR,则下列说法正衡的有() 3/5 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.当a=1时，f(x)有且仅有一个零点 B.若函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，则ae(-0,1刂 C.存在实数a,使得f(x)+f(2-x)=1在R上恒成立 D.若a=2,则过原点有两条直线与曲线y=f(x)相切 18.(24-25高二下·湖南邵阳期末)已知函数f(x)=msinx-x,其中m>0. (1)当m=2时，求函数f(x)在[0，]上的最小值； (2)若f(x)≤0在[0，+o)上恒成立，求m的取值范围； ksin (③)Π为求积符号， 几y=以，…y.求证对于所有正整数n,均有∏ +3 <ve 19.(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知函数f(x)的导数为f'(x),f'x的导数为f(x)的二阶导数，记作 ∫"(x.若函数f(x在包含x的某个开区间(a,b)上具有二阶导数，那么xe(a,b, g-)+/:-+x-八，我们把张为屋数1到在=处的阶拟合至数。 1 (1)写出函数y=e*在x=0处的二阶拟合函数px),并证明e≥p(x)对x∈0+oo)恒成立； (2)若e+cosx≥ar+2对x∈[0，+o∞恒成立，求a的取值范围： (3)设函数g(x)=(x-2e+m(x-1)(m>0)的两个零点为x,x,gx)在x=1处的二阶拟合函数为h(x), 证明：hx)有两个零点x,x4,且x+x3<x+x4, 目目 考点06 零点问题 20.(2425高二下湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知函数f(x)=ln(ax+(a-1)x-e, 若f(x)存在两个零点，则实数a的取值范围为 21.(24-25高二下·湖南长沙周南中学.期末)（多选）己知函数f(x=xe+ax·则下列说法正确的是(） A.当a=1时，y=f(x在点(0,0)处的切线方程为y=2x B.当a=0时，f(x的极小值为f(-)=- e C.若不等式->1气在0+时恒成立，则a≥1+。 X1-X2 4/5 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D.若函数y=f(x)-x2恰有1个零点，则a≥-1 22.(24-25高二下·湖南郴州期末)己知函数fx)=ae-1,gx=lnx+1) (1)当a=1时，求函数f(x在点(0，f(0)处的切线方程； (2)当a≥1时，设函数h(x=f(x-gx),讨论函数h(x)零点的个数. 5/5