专题01 集合与逻辑用语、复数、平面向量、基本不等式、数列（5大考点）（期末真题汇编，湖南专用）高二数学下学期

**基本信息** 湖南多地高二期末数学真题汇编，聚焦集合与逻辑用语、复数、平面向量、基本不等式、数列5大高频考点，覆盖基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选|34|集合运算、复数几何意义、向量数量积等|基础题占比高，如集合交集运算（第2题）| |多选|4|复数性质、向量投影、不等式应用|需综合分析，如复数共轭与模（第23题）| |填空|8|集合补集、向量坐标、数列通项|强调细节，如向量中点坐标（第33题）| |解答|6|数列证明与求和、不等式应用|综合性强，如数列递推求通项及求和（第48题）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与逻辑用语、复数、平面向量、基本不等式、数列 ☆5大高频考点概览 考点01集合与逻辑用语 考点02复数 考点03平面向量 考点04基本不等式 考点05数咧 目目 考点01 集合与逻辑用语 1.(24-25高二下湖南衡南县第一中学期末)已知命题p:3x>0,x3<x,则命题p的否定为() A.3x>0,x3≤x B.3x≤0，x3≥x C.x>0,x3≤x D.x>0,x3≥x 2.(24-25高二下湖南部分县期末)已知集合A={x-1Qx<2},B={0,1,2,则A∩B=() A.{0, B.{0,1,2 C.{1,2 D.{0,2 3.(24-25高二下湖南郴州期末)设集合A={xlog,x>1}，B={xx2-16<0，则A∩B=() A.(0,3) B.(0,3 C.(3,4 D.[3,4) 4.(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知集合A={xx(x-2)≤0，则RA= () A.[0,2] B.（-0,0)U(2,+oo C.(-0,0)U[2,+0 D.(-o,0小U2,+o∞ 5.(24-25高二下湖南永州博雅高级中学期末)设集合M={xlog2x<1,N={x2x-1<0,则M∩N= 6.(24-25高二下·湖南衡南县第一中学期末)己知全集U={1,2,3,4,集合A={1,3,4,B={4},则 A∩B=() A.{ B.{3,4 C.{1,2,3,4 D.{1,3 1/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 745商三下满情湘西紫未利已知集合M-引，-女r<,则nN:《） A..e 8.(24-25高二下湖南邵阳期末)已知集合A={xx2-5x-6<0,B={-3,-2,-1,0,1,2,3},则RA)B=() A.{-3,-2,-1}B.{-3,-2 C.{L,2,3} D.{2,3} 9.(24-25高二下湖南长沙周南中学期末)已知集合A={x∈R-3<x<39B={xeZx200},则A∩B= () A.{0 B.{-2,0,1 C.{0,1,2 D.{0,1 10.(24-25高二下湖南长沙第一中学期末)已知集合A=y1y=sinx+cosx,B={xy=Va-x2},若A=B, 则实数a=() A.1 B.2 C.2 D.4 11.(24-25高二下湖南湘东教学联盟期末)已知，b∈R,则“3“>3”是“√a>√b”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(24-25高二下·湖南衡阳期末)设集合{x∈Rx2+ax+3a=0,a∈R=⑦，则a的取值范围是( A.（0,12) B.-12,0 C.「0,12 D.（-0,0)U12,+0】 13.(24-25高二下湖南湘西期末)设0，B是两个不同的平面，a∩B=1,m是异于1的一条直线，则 “m/1”是“m/1B且m/1a”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 目目 考点02 复数 14.(2425高二下湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学期末若z=4-1,则2+三=（) A.-8 B.-8i C.2 D.2i 15.(24-25高二下·湖南部分县·期末)复数：=3+i在复平面上对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 16.(24-25高二下湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)若复数a2-1+(a+2)iaeR)为纯虚 数，则a=() A.1 B.√2 C.±1 D.2 17.(24-25高二下湖南长沙第一中学.期末)实数a,b满足(a+bi)(2-i)=5,则a+b=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 18.(24-25高二下湖南衡南县第一中学期末)已知z2-i)=1+i,则z=() A. 5 B.25 C.V10 D.2i0 5 5 5 19.(425高二下潮南湘西期末者三1-i,其中i为虚数单位，则：（) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 20.(24-25高二下湖南衡阳期末)关于复数z=1+V3,下列判断正确的是() A.z的实部为8B.z为纯虚数 C.z的虚部为6 D.z为实数 21.(2425高二下·湖南郴州期末)已知复数z满足z(4-31)=1+4i,则z在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 22.(24-25高二下湖南湘东教学联盟期末已知4=1-i(1为虚数单位)，则)=（) A.2 B.2√2 C.4 D.8 多选题 23.(24-25高二下·湖南娄底部分普通高中·期末)若复数z=√3-i,则下列说法错误的是() A.z在复平面内对应的点位于第二象B.z=4 C.z2=4-2V5i D.z的共轭复数z=√3+i 24Q425高=下话南水州道县水州玉源商级中学期末利在复平面内，复数：=一+：对应的向量为O1。 22 复数z+1对应的向量为OB,那么向量AB对应的复数是 目目 考点03 平面向量 25.(24-25高二下·湖南长沙周南中学期末)已知a=（3,1),b=(1,m),且ā/乃，则实数m=() 3/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 A.-2 B.-3 C.3 D.3 26.(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学·期末)已知向量a=(0,1),a-6=(-2,x),若 a⊥(2b-a),则x=() A,月 B.1 c3 D.2 27.(24-25高二下湖南长沙第一中学期末)已知平面向量a,五是两个单位向量，ā在五上的投影向量为 ,则a+5a-2)=（) A.-1 B.1 C.0 D. 28.(24-25高二下湖南郴州期末)已知向量ā，乃满足：a=2,a-2=3,(2a+6=0,则=() A.6 6 c.o D.30 6 29.(24-25高二下湖南邵阳期末)已知a=(4,2),b=(6,y),且a/1b,则3a+46的坐标为（) A.(36,18) B.(36,42) C.18,36) D.(-42,36) 30.(24-25高二下湖南衡南县第一中学期末)已知向量a=(2,-1),万=(x,2),若(2a+)1a,则a-的 值为() A.4 B.35 C.5 D.4√5 多选题 31.(24-25高二下湖南娄底部分普通高中·期末)已知向量ā=(2,1)，b=(-3,1),则() A.a+B La B.a+2b=5 C.向量a在向量访向上的投影是 ,D.向量a的单位向量是 255 55 32.24-25高二下·湖南湘西·期末)已知平面向量a=(2,1),b=1,2),c=(m,-2),则下列说法正确的是() A.若a∥c,则m=-4 B.当m=1或m=-1时，a⊥c c.a+b6-a=0 D.五在a上的投影向量的坐标为 84 5'5 4/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 33.(24-25高二下·湖南永州道县敦颐高级中学期末)己知ABC的边BC的中点为D,点E在ABC所在平 面内，且CD=3CE-2CA,若AC=xAB+yBE，,则x+y= 4242公商二下潮南湘西期尼知椭图C号+号-@>5)的无、右焦点分别为F,5,过右货点的 直线1交C于A,B两点，且F,A+3F,B=0,FA·AB=0,则椭圆C的标准方程为 目目 考点04 基本不等式 35.(24-25高二下湖南娄底部分普通高中期末)已知x>0,y>0且x+y=1,则p=x++y+的最小值 x 1 为() A.3 B.4 C.5 D.9 36.2425高二下湖南邵阳期末村已知复数：=+x,yeR),若1z卡1，则一+一广，的最小值为() x2+1y2+2 A.4 1 B. D.1 3 C. 1-tan A 37.(24-25高二下湖南郴州期未)记ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,若2=amB, 月1+tan2 A 则一+办的最小值为() A.4V2-5 B.4√2-3 C.4w2 D.1 多选题 38.(24-25高二下.湖南部分县·期末)己知正实数a,b满足a+b=4,则() A.ab的最大值为4 B.a2+b2的最大值为8 C.+4的最小值为4 1 9 D.2“+2的最小值为8 a b 目目 考点05 数列 39.(24-25高二下湖南岳阳期末)已知等差数列{an},a2=3,a+a5=10,则a-2a=（) A.-3 B.3 C.4 D.-4 40.(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知Sn为等比数列an}的前n项和， 5/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 若a4=4a3-4a2,则 S4=() 41+a3 A.3 B.5 C.-3 D.-5 41.(24-25高二下，湖南湘东教学联盟期末)已知等差数列an}的前n项和为Sn,若Sg=64,a4+a6+ag=6, 则S=() A.-2 B.58 C.70 D.80 42.(24-25高二下湖南郴州期末)在正项等比数列an}中，a1=27,S=39,记Tn=a424…an,若Tn取 最大值时，则n的值为() A.3 B.4 C.3或4 D.4或5 43.(24-25高二下…湖南邵阳期末)3.在等比数列an}中，若a1a243=8,a4aa6a,=32,则a1412a,a14=。 44.(24-25高二下湖南衡南县第一中学.期末)4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足 sima2-4》 +3a2 +cos 3π 4-0025 3a3=),则S4=→ 45.(2425高二下湖南湘东教学联盟期末5.已知数列3，的前n项和为n-3,则数列{L的前n a,a 项和为 46.(24-25高二下湖南永州第一中学期末)6.已知数列an}满足a,+2a2+…+2-a,=n·2”，则数列 1 前100项和为 anan+) 47.(24-25高二下-湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟期末)7.己知等差数列{an}的前n项和为Sn, 等比数列bn}的前n项和为Tn,a,=-1,b=1,a2+b2=2. (1)若a+b=5,求T: (2)若T=21,且数列{an}为递增数列，求数列{an}的前n项和Sn 48.(2425高二下湖南湘西期末)8.已知数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn,且 2a2+am-2Sn-1=0. (I)证明：{an}是等差数列，并求{an}的通项公式； (2)若bn=(2a.-1·2”,求数列bn}的前n项和Tn. 6/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 49.(24-25高二下湖南郴州期末)己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n,neN. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若b,=n+1 ,求数列{bn}的前n项和T,. a+a 1 602425高三下衡阳期末0.在数列中，&且一中 (1I)求{an}的通项公式. (2)证明： 5a<2. (3)若数列{bn}中存在两项b,,b,（p<q,使得b。=b,,则称p,9为数列{b}的等项数对.证明：{an}的 等项数对唯一. 51.(24-25高二下湖南衡南县第一中学期末)1.已知数列an}满足4=1，a+1=2an+1. (1)证明{an+是等比数列，并求数列an}的通项公式an; (2)令bn=2n-1)an+1),求数列{bn}前n项的和Tn. 52.(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学期末)2.己知集合 A={-(2k-1),-(2k-2),…,-2,-1,0,1,2,…,(2k-1)}k∈N.定义集合 B={b,b2,b）b,目A,i=1,2,3,b<b2<b,b+b2+b=0 (1)写出集合B; (2)记集合B中的元素个数为a,证明：数列ak+1-a}为等差数列： (3)从集合A中任取2k+1个不同的数，证明：这2k+1个数中一定存在三个不同的数C,C2,C·使得 C,c2,C3eB· 7/7 专题01 集合与逻辑用语、复数、平面向量、基本不等式、数列 5大高频考点概览 考点01集合与逻辑用语 考点02复数 考点03平面向量 考点04基本不等式 考点05数列 ( 地 城 考点01 集合与逻辑用语 ) 1．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)已知命题p：，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】命题p：，，则命题p的否定为，, 故选：D. 2．(24-25高二下·湖南部分县·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】因为集合，，所以． 故选：A． 3．(24-25高二下·湖南郴州·期末)设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合里面的不等式解集，然后根据集合交集的概念求出结果即可. 【详解】因为集合，所以， 所以，所以. 因为集合，解得， 所以. 所以. 故选：C. 4．(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，再利用补集的定义直接求解. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：B 5．(24-25高二下·湖南永州博雅高级中学·期末)设集合，，则____________． 【答案】 【分析】先求出集合，然后再计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为，解得， 所以， 所以，. 故答案为： 6．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集、交集的概念即可得解. 【详解】已知全集，集合，，则. 故选：D. 7．(24-25高二下·湖南湘西·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 又由不等式，可得，所以， 则． 故选：C． 8．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解法，求得，得到或，结合集合补集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，即， 则或，所以. 故选：A. 9．(24-25高二下·湖南长沙周南中学·期末)已知集合 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用集合的交运算求集合即可. 【详解】 ， . 故选：C 10．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知集合，若，则实数（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】求出函数的值域及函数的定义域，根据函数相等即可求解. 【详解】，所以， 的定义域为，即，解得， 所以，，且，所以． 故选：. 11．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)已知，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】举出反例得到充分性不成立，再由指数函数单调性得到必要性成立，得到答案. 【详解】取，，满足，但得不出， 所以“”不是“”的充分条件； 由，可得，又因为在上单调递增， 所以，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A． 12．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)设集合，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为无解，利用根的判别式进行求解. 【详解】依题意可得无解，所以，解得． 故选：A 13．(24-25高二下·湖南湘西·期末)设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件． 故选：A． ( 地 城 考点02 复数 ) 14．(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学·期末)若，则（ ） A． B． C．2 D．2i 【答案】B 【分析】利用共轭复数及复数除法求解. 【详解】由，得，所以. 故选：B 15．(24-25高二下·湖南部分县·期末)复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义即可求解. 【详解】复数在复平面上对应的点为，在第一象限． 故选：A． 16．(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)若复数为纯虚数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数为纯虚数，列式计算即可求解. 【详解】由为纯虚数，则，解得. 故选：C 17．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期末)实数a，b满足，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先根据复数乘法计算化简，再结合复数相等列式求解. 【详解】由得， 解得，所以． 故选：D. 18．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数的除法运算求出，进而求出复数的模. 【详解】由，则， 所以. 故选：C. 19．(24-25高二下·湖南湘西·期末)若，其中i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，化简复数，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由复数，所以． 故选：D． 20．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)关于复数，下列判断正确的是（    ） A．z的实部为8 B．z为纯虚数 C．z的虚部为6 D．z为实数 【答案】D 【分析】利用复数乘方运算计算出，得到答案. 【详解】因为， 所以z为实数，ABC均错误，D正确． 故选：D 21．(24-25高二下·湖南郴州·期末)已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】将复数进行化简，得出对应的点的坐标，即可求出复数所位于的象限. 【详解】∵， ∴， ∴在复平面内对应的点为， ∴在复平面内对应的点位于第二象限, 故选：B. 22．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)已知（为虚数单位），则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念，即可由模长公式求解. 【详解】由，得． 所以．． 故选：B． 多选题 23．(24-25高二下·湖南娄底部分普通高中·期末)若复数，则下列说法错误的是（   ）. A．在复平面内对应的点位于第二象 B． C． D．的共轭复数 【答案】ABC 【分析】A选项，直接判断出位于第四象限； B选项，根据复数模的公式直接求出； C选项，根据复数的乘方运算直接求出； D选项，根据共轭复数的概念直接求出. 【详解】A选项，在复平面内对应的点为，位于第四象限.故A错误； B选项，.故B错误； C选项，.故C错误； D选项，.故D正确. 故选：ABC 24．(24-25高二下·湖南永州道县永州玉潭高级中学·期末)在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是__________． 【答案】1 【分析】求出，再求出点坐标，进而求出及所对复数. 【详解】由复数，得，则点，， 得到，故对应的复数是1. 故答案为：1 ( 地 城 考点0 3 平面向量 ) 25．(24-25高二下·湖南长沙周南中学·期末)已知，且，则实数（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由，则，可得. 故选：D 26．(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学·期末)已知向量，，若，则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由向量，， 得， 由，得， 所以. 故选：A. 27．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义及投影向量的公式可得，再结合向量的线性运算即可求解. 【详解】因为平面向量，是两个单位向量， 故在上的投影向量为，得， 所以． 故选：. 28．(24-25高二下·湖南郴州·期末)已知向量，满足：，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，，联立求出答案. 【详解】，故 两边平方得，即， 所以，解得. 故选：D 29．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)已知，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 即，所以. 故选：A. 30．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)已知向量，，若，则的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标运算求出，再利用坐标公式计算. 【详解】由题意得，， 因，则，得，则， 则，得. 故选：B 多选题 31．(24-25高二下·湖南娄底部分普通高中·期末)已知向量，，则（   ） A． B． C．向量在向量方向上的投影是 D．向量的单位向量是 【答案】ABD 【分析】对于A：利用向量垂直的条件判断；对于B：利用模的计算公式；对于C：利用投影的计算公式；对于D：直接求单位向量即可. 【详解】， 对于A：，，，故A正确； 对于B：，，故B正确； 对于C：向量在向量方向上的投影是，故C错误； 对于D：，所以向量的单位向量是，故D正确. 故选：ABD. 32．(24-25高二下·湖南湘西·期末)已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当或时， C． D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】AB利用向量平行和垂直的坐标表示；C计算的坐标，再利用数量积的坐标表示计算；D利用公式计算. 【详解】对于A，因为，若，则，故A正确； 对于B，若，则，此时； 若，则，此时不垂直，故B错； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，由题意得， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确． 故选：ACD． 33．(24-25高二下·湖南永州道县敦颐高级中学·期末)已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则____________. 【答案】11 【分析】根据向量的线性关系计算结合平面向量基本定理求出参数即可. 【详解】因为，边的中点为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为， 所以，，故. 故答案为：11 34．(24-25高二下·湖南湘西·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： ( 地 城 考点0 4 基本不等式 ) 35．(24-25高二下·湖南娄底部分普通高中·期末)已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】，当且仅当时等号成立. 答案：C. 36．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)已知复数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据复数模长的定义，求出的等量关系，根据换元法和基本不等式，求出代数式的最小值. 【详解】由题意得．令， 则，则, ． 当且仅当，即时等号成立； ． 故答案：A. 37．(24-25高二下·湖南郴州·期末)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形得到，求出，由正弦定理和三角恒等变换得到，换元后，，，由基本不等式求出最小值. 【详解】， 故， ， ，即， 因为，所以，， 由正弦定理得 因为，所以，，， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A 多选题 38．(24-25高二下·湖南部分县·期末)已知正实数满足，则（   ） A．的最大值为4 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．的最小值为8 【答案】ACD 【分析】对于A，由基本不等式得，对于B，配方结合A选项即可判断；对于CD，也可以由基本不等式判断. 【详解】对于A，，得，当且仅当，时取等号，故A正确； 对于，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当，时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当，时取等号，故D正确． 故选：ACD． ( 地 城 考点0 5 数列 ) 39．(24-25高二下·湖南岳阳·期末)已知等差数列，，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】等差中项的性质可转化可求解 【详解】为等差数列，， 故选：A 40．(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】应用等比数列通项公式及等比数列求和公式计算求解. 【详解】由等比数列公式可得：， 所以. 故选：A. 41．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B．58 C．70 D．80 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和公式以及通项公式即可求出首项与公差，即可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为d，因为，， 所以，，解得，． 所以． 故选：C． 42．(24-25高二下·湖南郴州·期末)在正项等比数列中，，，记，若取最大值时，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】C 【分析】利用已知条件求出公比q,再表示，化简求出最值即可. 【详解】，解得或， ∵数列是正项等比数列，， 令，则时，取得最大值. 又∵，或时，取得最大值，此时最大. 故选：C 43．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)3．在等比数列中，若，则______． 【答案】128 【分析】利用等比数列的性质可求出、，进而求出，再次利用等比数列的性质进行求解即可. 【详解】，， 又，， 又． 考虑最后结果为正，不妨设每项均为正数，，． 故答案为：128 44．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)4．已知等差数列的前n项和为，满足，则______． 【答案】 【分析】先利用诱导公式将原式变形，然后构造函数并分析其奇偶性和单调性，可得，然后利用等差数列的前项和公式以及等差数列下标和性质即可. 【详解】由， 可得， 所以， 所以， 所以， 令，所以， 所以为奇函数，又，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 45．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)5．已知数列的前n项和为，则数列的前n项和为________． 【答案】/ 【分析】先求出数列的通项公式，再用裂项相消求和即可. 【详解】由题意知，，时，， 则时，， 两式相减得，可得， 又也满足上式， 故. 则 所以 ． 故答案为：. 46．(24-25高二下·湖南永州第一中学·期末)6．已知数列满足，则数列前100项和为____________． 【答案】 【分析】首先用已知等式求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前100项和即可. 【详解】由题意得， ①， 当时，， 当时， ②， 用①减去②，得，化简得， 当时，也满足， ，即， 则， 设数列前项和为， ， 数列前100项和， 故答案为：. 47．(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)7．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，. (1)若，求； (2)若，且数列为递增数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过已知条件建立等差数列公差与等比数列公比的方程组，解出后计算即可； （2）利用求出公比，结合数列为递增数列，求出公差即可求. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由，得.① 由，得，② 联立①②，解得（舍去），， 因此 （2）由，，得， 解得，或 由于数列为递增数列，所以， 当时，由①得（舍）； 当时，由①得 则. 48．(24-25高二下·湖南湘西·期末)8．已知数列的各项都为正数，其前项和为，且． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意，得到，当时，求得，当时，，两式相减求得，结合得出数列的定义和通项公式，即可求解； （2）由（1）得，利用乘公比错位相减法求和，即可求解. 【详解】（1）证明：由，且，可得， 所以当时，，解得或（舍）； 当时，， 两式相减， 因为，可得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知，可得， 则， ， 两式相减，得 ． 49．(24-25高二下·湖南郴州·期末)已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系消去得到数列递推式，构造等比数列，即可求得数列通项； （2）依题求出的通项，利用错位相减法即可求得. 【详解】（1）已知，当时，，故 当时，，，则 又  数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 故得，整理得 （2）由（1）知，，． ① ② 由①②得 ． 50．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)0．在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）先证明为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求出，然后可证； （3）判断数列单调性可得，然后验证前几项即可得证. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）设， 则， 则， 因为，所以． （3）由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 51．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)1．已知数列满足，． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前n项的和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据条件得到，利用等比数列的定义即可求解，再由等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再由错位相减法，即可求解. 【详解】（1）由，可得，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以， 所以. 52．(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学·期末)2．已知集合．定义集合 (1)写出集合； (2)记集合中的元素个数为，证明：数列为等差数列： (3)从集合中任取个不同的数，证明：这个数中一定存在三个不同的数．使得． 【答案】(1). (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据题意构造求出； （2）利用等差数列的定义证明； （3）利用抽屉原理证明. 【详解】（1）已知， 根据的定义， . 满足条件的有: , 所以. （2）当时，. 对于集合，且，. 当时，， 则可以为，共k组. 当时，， 则可以为，共组. ⋯ 当时，则，共1组. 所以. 则. 因为（常数）， 且， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列. （3）​设从集合中取出的2k+1个不同的数为. 假设不存在三个不同的数，使得. 考虑中最小的数，为了不满足， 与相加和为0的数不能同时取到； 同理对于，也不能同时取到等. 将集合中的数分成k组：，另外还有单独的0. 从这个数中取数，根据抽屉原理，因为总共取个数，而上述分组有k组再加上0这一组，共组. 如果不存在满足的三个数，那么每组中最多取2个数（除了0单独考虑），这样最多取2k个数，这与取了个数矛盾. 所以这个数中一定存在三个不同的数，使得，即. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $