专题02 解析几何（直线与圆、椭圆双曲线抛物线）（7大考点）（期末真题汇编，湖南专用）高二数学下学期

**基本信息** 高中数学解析几何专题期末试题汇编，涵盖直线与圆、椭圆等7大高频考点，精选湖南多地期末真题，注重基础巩固与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|多题|直线与圆位置关系、双曲线离心率等|结合蒙日圆等数学史素材，如椭圆“蒙日圆”性质探究| |填空|多题|抛物线焦点坐标、圆的公切线等|基础与中档题结合，考查概念辨析| |解答|6大题|椭圆轨迹方程、抛物线定值定点、双曲线最值等|综合性强，如抛物线中EF平分∠AFB证直线过定点，符合高考对逻辑推理与运算能力的考查趋势|

专题02 解析几何（直线与圆、椭圆双曲线抛物线） 7大高频考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆方程及其性质 考点03双曲线方程及其性质 考点04离心率 考点05抛物线方程及其性质 考点06定值定点问题 考点07最值问题 ( 地 城 考点01 直线与圆 ) 1．(24-25高二下·湖南永州第四中学·期末)（多选）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：． 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为： 和． 故选:AD． 2．(24-25高二下·湖南湘西·期末)（多选）已知直线（不同时为0），圆，则（    ） A．当时，直线与圆不可能有交点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 【答案】BCD 【分析】求得圆心到直线的距离，当时，，可判定A错误；求得圆心到直线的距离，可判定B正确；求得直线与坐标轴相交于两点坐标，结合圆的性质，得到，可判定C正确；求得圆心到直线的距离，结合抛物线的定义，可判定D正确． 【详解】对于A中，圆C的标准方程为，则圆心为，半径， 当时，圆心到直线的距离， 当时，，所以直线与圆可能相交，所以A错误； 对于B中，当时，可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，所以B正确； 对于C中，当时，直线的方程为， 可得直线与坐标轴相交于两点， 如图所示，直线的方程为，与直线垂直， 又因为，，可得， 因为，可得，满足题意， 所以圆上存在点，使得的面积为，所以C正确； 对于D中，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时直线与圆相离， 由抛物线的定义，可得与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线，所以D正确． 故选：BCD. 3．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知圆C：与曲线的公切线为直线（），则圆C的半径为______，______． 【答案】 1 【分析】根据圆的一般方程的二次项系数的特点求出，设出直线和的切点，根据导数的几何意义和点到直线的距离列方程求解 【详解】由圆C的方程，得，即，所以圆C：的半径为， 则点到直线的距离，得． 和相切，设切点为， ．由，得，得， 因为，所以． 设，则，当时，，当时，， 则在上递减，在上递增， 所以，所以． 故答案为： 4．(24-25高二下·湖南部分县·期末)已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案. 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 5．(24-25高二下·湖南永州第一中学·期末)（多选）如图，圆C与x轴相切于点，与y轴正半轴交于A，B两点，且，过点A任作一条直线与圆相交于M，N两点，则（    ） A．圆C的方程为 B．圆C与圆的相交弦所在直线方程为 C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件求出圆C的方程判断A；求出两圆公共弦所在直线方程判断B；对圆上任意点，求出求解判断D. 【详解】设圆C的方程为，由圆C与x轴相切于点，截轴所得弦长为， 得，解得，则圆C的方程为，A正确； 依题意，点在圆内，圆C与圆O必相交，将两圆方程相减得相交弦所在直线方程，B错误； 设为圆O上任意一点，而，则， 因此，则，，C正确，D错误. 故选：AC 6．(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学·期末)已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点． (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于，两点，若的内切圆半径为、且，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）连接，由对称的性质，结合椭圆的定义求出轨迹方程. （2）设直线及点坐标，利用三角形面积关系建立方程求出. 【详解】（1）圆：的圆心，半径，连接，则， ， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，而焦距，短半轴长， 所以点的轨迹方程为.    （2）由（1）知是点的轨迹的右焦点，则过的直线与该轨迹必交于两点， 且直线不垂直于轴，设其方程为，， 则，由为的内切圆半径，且的周长为， 得， 又，因此，解得， 所以直线的方程为. ( 地 城 考点02 椭圆方程及其性质 ) 7．(24-25高二下·湖南永州道县敦颐高级中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】先计算得出，，，再结合两角差正切公式计算应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由题意有，，， 设直线与x轴的交点为Q， 设，有，， 可得， 当且仅当时取等号，可得的最大值为. 故答案为： 8．(24-25高二下·湖南湘西·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 9．(24-25高二下·湖南衡阳第八中学·期末)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为______． 【答案】 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故，所以，故得解． 【详解】因为椭圆，所以，，故，，， 如图，令，因为，所以， 即，结合图象，由平面向量的知识可得， 故，两式相加得， 即，即，由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时， 易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，， 所以，故． 令，，则， 所以，由二次函数易知，所以， ，所以最小值为． 故答案为：． 10．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)已知椭圆：的长轴长为4，离心率，过E的右焦点F且不与y轴垂直的直线与椭圆E相交于A，B两点． (1)求E的标准方程； (2)若点，设直线的斜率分别为，求证：； (3)若点C，D分别为E的左、右顶点，直线与的交点为Q，求点Q的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程组，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合直线斜率公式，进行化简，即可求解； （3）设点，得到直线和的方程为和，消去y得，结合，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆的长轴长为4，离心率， 可得，解得，又由，可得， 所以椭圆E的标准方程为． （2）解：由题意知，直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为， 且，联立方程组，整理得， 则有且， 故． （3）解：设点，由题意知点A和点B均不在x轴上，所以， 则直线的方程为，①  直线的方程为，② 由①②消去y得， 即， 又由，代入可得， 解得，所以点点的轨迹方程是. ( 地 城 考点0 3 双曲线方程及其性质 ) 11．(24-25高二下·湖南长沙望城区第六中学·期末)已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【详解】因为方程表示双曲线 ，所以即 故选：A． 12．(24-25高二下·湖南永州宁远县明德湘南中学·期末)已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程求出，再计算即可得出答案. 【详解】由双曲线方程可知， 所以，则，． 故选：C. 13．(24-25高二下·湖南永州冠一高级中学·期末)（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与双曲线的左支相交于两点（在第二象限），点与关于坐标原点对称，点的坐标为，则下列结论正确的是（    ） A．记直线、的斜率分别为、，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A，若直线与渐近线平行时，说明此时即可判断；对于B，由题意，故只需验算即可；对于C，由双曲线的几何形状判断即可；对于D，由题意，结合即可判断. 【详解】由已知，，若直线与渐近线平行时， 根据对称性不妨取直线方程为， 联立，得， 设，，， 由于两点均在双曲线的左支上，所以，，， 对于A：直线、的斜率分別为、， 则， 均在双曲线上，，所以， 所以，，A错误. 对于B：由知，， 由对称性得，，则四边形为矩形，则， 设，，则在中， 由余弦定理得， 即， 即， ， 则， 则，B正确； 对于C，， 当，，三点共线时，， ，则直线， 联立，解得，即与矛盾，故C错误； 对于D，， 又，所以， 结合，得，的取值范围是，故D正确. 故选：BD. ( 地 城 考点0 4 离心率 ) 14．(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学·期末)若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为______． 【答案】 【分析】由题意可得，再由离心率公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的一个焦点坐标为（2，0）， 所以，解得， 即有， 所以离心率. 故答案为： 15．(24-25高二下·湖南永州第一中学·期末)已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】已知双曲线a的一个焦点为，可知焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为.根据圆的方程可知圆心为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，根据点到直线距离公式得到b，根据得到a，从而计算出离心率. 【详解】已知双曲线a的一个焦点为，故焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为. 已知圆得方程：，圆心即为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，由点到直线的距离公式可得： ，代入得：. 由. 所以离心率. 故选：C. 16．(24-25高二下·湖南永州君诚高级中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率. 【详解】如图，    由，得，， 其中，所以， 可得为直角三角形， ，且， 解得，， 再由勾股定理可得： 得，． 故选：D． 17．(24-25高二下·湖南湘西·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，的右支上存在点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，得到，再由，且，求得的值，方法1：在中，由余弦定理得到，求得，进而求得双曲线的离心率；方法2：由，求得，得到，求得，得到双曲线的离心率. 【详解】设，由双曲线的定义，可得， 由，且， 可得，且，解得． 方法1：在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得，所以， 所以双曲线的离心率． 方法2：由，可得，即， 解得，所以，可得， 所以，双曲线的离心率． 故选：B． 18．(24-25高二下·湖南部分县·期末)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为第一象限的交点，，，由椭圆、双曲线定义可得，，结合余弦定理、离心率公式可得，由不等式及其取等条件即可求解. 【详解】设为第一象限的交点，，， 则，，解得，， 在中，由余弦定理得， ，， ，，， ，即， 当且仅当，即，时等号成立，此时， 故选：D． 19．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，，由，求得，进而得解. 【详解】不妨设，， 该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故选：C.    20．(24-25高二下·湖南永州第四中学·期末)（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. ( 地 城 考点0 5 抛物线方程及其性质 ) 21．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)曲线的焦点坐标为______． 【答案】 【分析】将曲线方程转化为抛物线的标准方程，求出焦点坐标. 【详解】由题意得，则，变形得，则焦点坐标. 故答案为：. 22．(24-25高二下·湖南郴州·期末)已知抛物线，上一点到焦点距离为5，则点的纵坐标为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，利用抛物线定义即可求出点P的纵坐标. 【详解】将抛物线方程化为标准形式，， ∴，焦点坐标，准线方程， 设点坐标为， ∵P到焦点距离为5， ∴P到准线距离为5，, ∴,即点的纵坐标为3，故C正确. 故选：C. 23．(24-25高二下·湖南郴州·期末)（多选）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（   ） A．以为直径的圆与x轴相切 B． C．的最小值为 D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则的面积最小值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，设直线的方程为，联立方程组求得，得到，根据物线的性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，可判定A正确；由斜率公式，求得，可判定B不正确；由抛物线的焦半径公式，得到，结合基本不等式，可判定C正确；求得切线方程，联立方程组求得，利用点到直线的距离公式和弦长公式，得到面积的面积为，可判定D正确. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为， 显然直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，可得，， 设，则， 则， 对于A中，由抛物线的性质，可得， 则以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则圆心到轴的距离，所以以为直径的圆与轴相切，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，因为，可得 由抛物线的焦半径公式，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由抛物线，可得， 所以过点和的切线方程分别为和， 联立方程组，可得，即， 又由直线方程，即， 则点到直线的距离为， 又由， 所以的面积为， 设，可得，所以的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 24．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)（多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，位于第二象限的点M在C上，且的周长为12，线段与y轴交于点H.若，则（    ） A．C的焦距为4 B．C的实轴长为 C．C的离心率为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A：根据方程可得，即可得焦距；对于D：根据题意结合双曲线的定义可得，，结合余弦定理运算求解；对于BC：根据题意结合几何知识分析可得，即可得实轴长和离心率. 【详解】对于选项A：由题意可知：，即， 所以C的焦距为，故A正确； 对于选项D：因为的周长为12， 则，可得， 又因为，可得，， 设， 又因为，可得， 所以，故D正确； 对于选项BC：设，则， 由等面积法可得，即，解得， 由，整理可得， 因为，所以解得， 所以C的实轴长为， C的离心率，故B错误，C正确． 故选：ACD. ( 地 城 考点0 6 定值定点问题 ) 25．(24-25高二下·湖南湘西·期末)在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）方法一：利用抛物线定义结合题设条件即可求出曲线的方程. 方法二：利用距离公式列出等式，化简等式即可求出曲线的方程. （2）先建立四边形面积与的关系，再求的最小值，的值最小时，四边形的面积最小，代入即可求出四边形的最小面积. （3）设出点的坐标，列出过点且与圆相切的切线方程，结合切线条件整理得关于斜率的二次方程，根据定理得两切线斜率关系；联立切线与，用韦达定理表示交点纵坐标关系，化简相乘可得定值. 【详解】（1）方法一： 由题意， ∵到直线的距离比点到点的距离小1， ∴上任意一点到直线的距离等于点到点的距离， 因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为． 方法二：由题意， 设点的坐标为， 由题意得， 易知点位于直线的右侧， ∴，∴， 化简得， 曲线的方程为． （2）由题意得， 的圆心为，半径， 又∵四边形的面积， ∴当的值最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为：， ∴四边形面积的最小值． （3）由题意及（1）（2）证明如下， 当点在直线上运动时， 设点的坐标为. 又， ∴过点且与圆相切得直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点， 则切线方程为， 即， 所以，整理得．① 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ∴．② 联立得．③ 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ∴．④ 同理可得，．⑤ 联立②，④，⑤三式，得 ， ∴当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 26．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为． （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）18 【分析】（1）根据题意可知动点的轨迹为抛物线，即可求解； （2）（ⅰ）写出直线，的方程，利用即可得到，再写出直线，的方程，得出直线与的交点和直线与的交点重合，即为点，得证；（ⅱ）利用，可得，可求出，进而利用比例关系将四边形的面积用表示即可求解. 【详解】（1）动点到点的距离比它到直线的距离小， 点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为． （2）（ⅰ）设，，，， 则直线的斜率为，， 直线的方程为，即， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即， ，，，即，故． 又直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点． 所以三点共线； （ⅱ），， ，，得， ， ， 上面两式相减得， 由（ⅰ）知，即，， 过点作交于点， ，，，，， 则，， 又，不妨设，则， 四边形是平行四边形，， 分别是的中点，，， ，， 设的边上的高为，的边上的高为，则， ，， ， ，，， ．    27．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【详解】（1）因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． （2）设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． （3）是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． ( 地 城 考点0 7 最值问题 ) 28．(24-25高二下·湖南郴州·期末)已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 29．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，，且的面积为1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点A的直线l分别交圆E、椭圆C于M，N两点（异于点A），若直线l的斜率存在． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时直线l的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】 （1）以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，得到虚轴长等于焦距再根据题干中三角形的面积即可求出结果. (2) （ⅰ）利用直线与椭圆方程联立，求出点M,N点的坐标，用斜率公式表示出，即可证明结论. （ⅱ）由（ⅰ）的结论，求出弦长，再利用不等式即可求得结果. 【详解】（1）因为以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，． 所以 解得，所以， 故椭圆C的方程为． （2）（ⅰ）    设直线，，， 直线l与椭圆C联立得，得， 所以，即，所以． 直线l与圆E联立得得， 所以，即，所以． ，为定值． （ⅱ）由于，． 所以． ． 从而，当且仅当时，取等号． 此时直线l的方程为． 30．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)在平面直角坐标系中，分别以x轴和y轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上． (1)求的方程； (2)是过右焦点的弦（不是长轴），的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C，D，l与x轴的交点为E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记与的交点为M，与的交点为N，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析 （ii） 【分析】(1)由为定值，可知的轨迹为椭圆，进而可得到值，再结合在曲线上可知值，再利用椭圆三者关系求，最后写出的方程即可.      （2）（ⅰ）要证明，只需证明直线和的斜率相等即可. （ⅱ）将求四边形的面积的最大值转化为求面积的最大值，联立直线和椭圆方程，利用根和系数的关系及函数的单调性求解即可. 【详解】（1）根据题意，复数满足为定值，即： 点到点和的距离之和为定值，由椭圆定义， 该轨迹为椭圆，则焦距，故：， 已知点在椭圆上，即长半轴， 则，因此，曲线的方程为：. （2）（ⅰ）易知椭圆右焦点为，设直线方程： ，设      联立 ，消得： 由韦达定理：      又，, 所以，， 要证，即证, 即证， 即证， 即证， 又根据韦达定理：，得证.           （ⅱ）如图：    在中，因为，G是中点，所以是中点， 由（ⅰ）同理可得，所以四边形是平行四边形， 且G是中点，所以是中点，连接， 易知 所以, 由（ⅰ）得：， 令椭圆的右焦点为，则       即      计算 （令）化简得： ， 由对勾函数单调递增， （对求导），所以，则： ， 故：. 所以四边形MGNE面积的最大值为：. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 专题02解析几何（直线与圆、椭圆双曲线抛物线） ☆7大高频考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆方程及其牲质 考点03双曲线方程及其性质 考点04离心率 考点05抛物线方程及其性质 考点06定值定点问题 考点07最值问题 目目 考点01 直线与圆 1.(24-25高二下湖南永州第四中学期末)（多选)已知点A(-5,4)和B(3,2),则过点C(-1,2)且与A,B的距 离相等的直线方程为() A.x+4y-7=0 B.x-4y-7=0 17 C.y=4x-4 D.x=-1 2.(24-25高二下湖南湘西期末)（多选）己知直线1：ax+by+1=0(a,b不同时为0)，圆C:x2+y2-2y=0, 则() A.当a+b=2时，直线1与圆C不可能有交点 B.当2b=a2-1时，直线1与圆C相切 C.当a=L,b=1时，直线1与坐标轴相交于么B两点，则圆C上存在点M,使得aMBM的面积为1- 2 D.当a=1,b=1时，与圆C外切且与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 3.(24-25高二下湖南衡阳期末)已知圆C:(2m-1x2+my2+2x-m=0与曲线y=alnx的公切线为直线 y=mx+n(n<0),则圆C的半径为，a=一 4.(24-25高二下·湖南部分县期末)已知直线：x-my-1=0,圆C:x2+y2-4x+6y=0,若直线1与圆C交于 M,N两点，则MN的取值范围为· 5.(24-25高二下湖南永州第一中学.期末)（多选）如图，圆C与x轴相切于点T1,0),与y轴正半轴交于 A,B两点，且l4B,过点A任作一条直线与顺O:+y=1相交于4，N两点，则《) 1/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M A.圆c的方程为-+0-子-君 B.圆C与圆0的相交弦所在直线方程为4x+5y+4=0 C.MAI,NBI5 MBI NAI 2 MA NBI 3 D. MBI NAI 2 6.(24-25高二下·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学·期末)已知圆E的方程为(x+3)2+y2=100, F(3,O),M为圆E上任意一点，FM的中垂线与EM相交于点P. (1)求点P的轨迹方程； (②过点F的直线与点P的轨迹相交于A,B两点，若EAB的内切圆半径为、且r-SM8,求直线B的 10 方程. 目目 考点02 椭圆方程及其性质 7.2425商二下清商水州道县装瓯商级中学期末已知椭圆C:号+号-Q>办>0的左、右焦点分别， F,椭圆的长轴长为2√2，短轴长为2，P为直线x=2b上的任意一点，则∠FPF,的最大值为 8.2425高三下湖南湘西期未)已知椭圆C:+少 +了=1(a>5)的左、右焦点分别为F,R,过右焦点的直 线1交C于A,B两点，且F,A+3F,B=0,FAAB=0,则椭圆C的标准方程为· 9.(24-25高二下·湖南衡阳第八中学期末)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆 上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法 国数学家加斯帕尔蒙日(17461818)最先发现，若椭圆C:号+上=1的左、右焦点分别为R、E,P为 43 PM·PN 椭圆C上一动点，过P和原点作直线1与圆C的蒙日圆相交于M,N,则 PE·PE 的最小值为 2/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 10.2425商三下满南密用期利已知椭国：E:兰+茶-ab>0的长辅长为4离心率e-,过E的 右焦点F且不与y轴垂直的直线与椭圆E相交于A,B两点. (1)求E的标准方程； (2)若点P4,O),设直线PA,PB的斜率分别为k,k2,求证：k1+k2=0; (3)若点C,D分别为E的左、右顶点，直线AC与BD的交点为Q,求点Q的轨迹方程. 目目 考点03 双曲线方程及其性质 1.2425高二下湖南长沙望城区第六中学期末已知方程2+mm x2 y2 ,=1表示双曲线，则m的取值范围 是() A.m>-1 B.m>-2 C.-2<m<-1 D.m<-2或m>-1 12.(2425高二下测南永州宁远县明德湘南中学期末已知双曲线的标准方程为，。+广 =1,则该双曲 k-4k-5 线的焦距是() A.1 B.3 C.2 D.4 13.2425高二下湖南永州冠一高级中学期末)（多选）已知双曲线E:2-二=1的左、右焦点分别为R、 3 F,过左焦点F的直线与双曲线E的左支相交于AB两点(A在第二象限)，点C与B关于坐标原点对称， 点M的坐标为0,2V5),则下列结论正确的是() A.记直线AB、AC的斜率分别为k、店，则k·k,=3 B.若CF·BF=0,则Sc5=3 C.MC+CF的最小值为6 3/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D.AF·AF,的取值范围是 目目 考点04 离心率 14,2425高二下湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学期末)若双曲线亡-二=-1的一个焦点坐标为(2， m 3m 0)，则双曲线离心率为 15.(24-25高二下湖南永州第一中学期末)已知双曲线a的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆 (x-2)+y2=3相切，则双曲线C的离心率为() A.25 C.2 3 B.5 D.25 16.2425商二下湖商永州君流宽级中学期利已斑稍圆E:若+卡=a>60的左、右焦点分别为5、 a2 E,点P为椭圆E上位于第一象限内的一点，若PF=3PF,,OP=OF,(O为坐标原点)，则椭圆E的 离心率为（) A.因 B. VG c.2 D.V10 4 4 2 17.2425商二下衡南湘西期未已知双曲线C:2-茶=16>0的左、右焦点分别为，R,离心率为， C的右支上存在点P,满足sin☑PFE,且S,F=4 则双曲线C的离心率为() A.5 B.√5 C.v1o D.√10 2 3 吸，42小高商分县期已调C多+冷 =1(a>6>0)与双曲线C,:三 -=1 a (a2>0,b,>0)有相同的焦点F,F,椭圆C的离心率为e,双曲线C,的离心率为e2,点P为椭圆G与双曲 线C的交点，且∠FP所=子则当+ 取最大值时，e,+e,的值为(). ee, F 4/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B. 4+5 C.2W2 D. V2+√6 3 2 19.(24-25高二下湖南衡阳期末)已知PA⊥PB,PA>PB,以A,B为焦点的椭圆经过点P,且该椭圆的 离心率大于0，则an 24BP的取值范围是( A.(1,3 B.（3,4) C.(3,+o) D.（4,+0j D,Q45下湖南水州第四中学期末)多选)已知人，上是楠题。+片 =1(a>b>0)和双曲线 店安=1a,>么>0)的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠FP5=子则以下结论正确的是（) x2 y2 A.a-b2=a2+b2 B.b2=3b; 11 C.ee D.e+e的最小值为1+5 目目 考点05 抛物线方程及其性质 21.(425高=下调商阳期末曲线y4的熊点坐标为 2.Q425高二下调南桃州期末已知弛物线C:y后，C上一点P到焦点距离为5，则点P的纵坐标为 () A.1 B.2 C.3 D.4 23.(24-25高二下·湖南郴州期末)（多选）过抛物线y=4x2的焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，O 为坐标原点，若直线OA,OB的斜率分别为k,k2,则() A.以BF为直径的圆与x轴相切 B.k1k,=-2 C.AF+2BF的最小值为3+22 16 D.过A,B两点分别作抛物线的切线4，人，两切线4，马相交于点P,则。ABP的面积最小值为 4 24.2425商二下衡南面用期利（多选）已知双曲线C:号。-10<。<2)的左、右编点分别为5， E,位于第二象限的点M在C上，且△MEF的周长为12，线段ME与y轴交于点H.若∠MFH=∠F,FH, 则() 5/7 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A.C的焦距为4 B.C的实轴长为 5 Q.C的离心丰为月 D.cos∠MFH= 2a+2 a+4 目目 考点06 定值定点问题 25.(2425高二下湖南湘西期末)在平面直角坐标系x0y中，曲线C的点均在圆C2:(x-4)2+y2=7外，且 对C上任意一点M,点M到直线1：x=-3的距离比点M到点C,的距离小1. (1)求曲线C的方程； (2)若直线I上一动点N,过点N作圆C,的两条切线，切点分别为S,T,求四边形NSC,T面积的最小值； (3)设N(x)y≠±7为直线1上一动点，过点N作圆C,的两条切线，分别与曲线G相交于点E,F和 G,H.证明：点E,F,G,H的纵坐标之积为定值2304。 26.(24-25高二下，湖南长沙第一中学期末)已知动点P到点(0,1)的距离比它到直线y+2=0的距离小1，记 动点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程。 (2)直线与Z分别与轨迹E交于点AB和点C,D(AB与DC同向)，且12，线段AC与BD交于点H,线 段AB与CD的中点分别为M,N. (i)求证：M,H,N三点共线： (i)若HM=1,HN=2,求四边形ABCD的面积. 27.(24-25高二下湖南衡阳期末)已知抛物线C:y2=2px经过点Qp,22p),C的焦点F在x轴的正半 轴上，点A,B在C上运动. (1)求C的方程。 (2)若直线AB的方程为y=x-2,求△ABF内切圆的半径r, (3)设点E(3,),且EF平分∠AFB,试问直线AB:x=my+n(n≠1)是否过定点？若是，求出定点坐标；若 不是，请说明理由. 目目 考点07 最值问题 6/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2双。2425商二下潮南州期未利已如双周线等茶-1川口>0，b>0的一条海近线为)=，且右货点F到 这条渐近线的距离为√2· (1)求双曲线的方程： (2)O为坐标原点，过点F的直线1与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x 轴的上方，B与D在x轴的下方.设S、S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S+S的最大值. 29,2425高二下湖肖湘东教学联取期末已知梯圆C:等+若=a>b>0)的上、下顶点分划为4，B,以 AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点F,F,且△FAF,的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)过点A的直线1分别交圆E、椭圆C于M,N两点（异于点A),若直线1的斜率存在. 《1)证明：kw kM为定值： (i)求M0 的最大值，并求取得最大值时直线1的方程. BM 30.(24-25高二下·湖南衡南县第一中学期末)在平面直角坐标系中，分别以x轴和y轴为实轴和虚轴建立复 平面，已知复数z=x+y(x,y∈R),在复平面内满足z++?-1为定值的点z的轨迹为曲线T,且点 P(2,0)在曲线Γ上. (1)求Γ的方程； (2)AB是过T右焦点的弦（AB不是长轴)，AB的中点为G,过点A,B分别作直线1：x=4的垂线，垂足 分别为C,D,1与x轴的交点为E. (i)证明：AE∥GD; (ⅱ)记CG与AE的交点为M,DG与BE的交点为N,求四边形MGNE面积的最大值. 7/7