湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

衡阳市八中2026届高二年级第二学期期末考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 考试范围：高考全部内容 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则=（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位得到，则下列关于函数的图象说法正确的是（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 4. 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ） A. B. C. D. 5. 设向量与的夹角为θ，定义，已知，，则（ ） A. B. C. 5 D. 25 6. 已知，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 12 7. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，，且，则（ ） A. 6 B. C. 11 D. 8. 在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ） A. 16 B. 24 C. 25 D. 36 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象向右移个单位长度后，图象关于y轴对称，则的最小值为 D. 若关于x的方程在上有两个实数根，则实数m的取值范围为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的第80百分位数为11 B. 已知随机变量，设，则的方差 C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D. 若样本数据的平均数为2，则的平均数为8 11. 若函数有两个极值点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______. 13. 记等差数列和的前项和分别为和，若，则______. 14. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，过边AC上一点P作AB，BC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值． 17. 下表为某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 米色内饰 3 5 （1）若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求，，并据此判断事件A，B是否相互独立． （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设： 假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰恰有一种同色； 假设2．一等奖为元，二等奖为元，三等奖为元； 假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望． 18. 已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 19. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 衡阳市八中2026届高二年级第二学期期末考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 考试范围：高考全部内容 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1），，A，B不相互独立； （2）一等奖：外观和内饰均异色；二等奖：外观和内饰均同色；三等奖：外观和内饰恰有1个同色，分布列见解析；期望为． 【18题答案】 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）是， 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）1；（ii）证明见详解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $