湖南省浏阳市2025-2026学年下学期期末质量监测试卷高二数学

2025年下学期期末质量监测试卷 高二数学 一、遗驿题：本题兴8小题，每小题5分，兴40分。在每小题给出的四个逸中，只有 一喷符合题目要求。 1.已知斜率为√2的直线经过点M(1,2),N(2,m),则m= A.V2-2 B.V2+2 C.1 D.0 2.已知直线l1:x-ay+1=0,l2:3x+(a-2)y+2a=0,若l1/几2，则a的值为 A月 B.3 C.-1 D.3或-1 3.已知抛物线y2=2px上一点A(1,m)到其焦点的距离为4，则卫= A.3 B.-3 C.6 D.±6 4.如图，在空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,且OM=2MA,BN=NC, 则MN等于 A.a36+c 232 a+五- 1 B.222 +Id M 2 5.某物体运动时，位移s(米)与时间t(秒)之间的关系式为：s=f(t),且 f(2+△)-f(2-△) 1i111 3f0 △ =2,则该物体在2秒末的瞬时速度为 A.1米/秒 B.2米/秒 C.4米/秒 D.无法确定 第1页，共6页 6.在一个数列中，如果n∈N,都有anant1am+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积 数列，k叫做这个数列的公积。已知数列{a}是等积数列，且a1=1,a2=2,公积为8， 则a1+a2+…+02024= A.4719 B.4721 C.4723 D.4724 7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如 图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P区，y)是阴影部 分（包括边界）的动点，则的最小值为 A月 P. B.3 2 C.- D 8.已知双曲线C:兰-兰=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,P2,点P是C右支上 一点，PF2=F1F2若点F2到直线P℉1的距离为b,则双曲线C的离心率为 B C.2 D. 二、选驿题：本题兴3小题，每小题6分，典18分。在每小题给出的四个递项中，有多 喷符合题目要求。金部选对的得6分，部分迷对得部分分，有选错的得0分。 9.在空间直角坐标系中，向量=(m,2,2),b=（-2,1,1),则下列结论正确的是 A.=V6 B.若m=-4,则a//b 第2页，共6页 C.若m=1,则-b=(-3,-1,-1) D.若m=2,则a1万 10.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B,Q为抛物线上一个动点， P(2,1),则() A.F的坐标为(1,0) B.AB到的最小值为2 C.若Q1,2),则过2与抛物线相切的直线的方程为y=x+1 D.PQ+lQF的最小值为3 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P在线段B,C上运动，则下列结论 正确的是() D A.BD⊥AP A B B.三校推4-APD的体积是号 D C.AP+PB的最小值为√6+√2 A D.存在点P,使得直线DP与直线AP夹角的余弦值为} 三、算空题：本题典3小题，每小题5分，典15分。 12.若1，m+4,2m+8成等比数列，则m= 13.若圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x+1)2+y2=8相交于点A,B,则 IABI= 14.已知函数f(x)=x-alnx(a∈R),若a=1,则函数f(x)的最小值为；若vx1<x2, 都有f)-f心，)<行-京则实数a的取值范围为 第3页，共6页 四。解答题：本题兴5小题。共77分。解答应写出文字说明。证明过避或演算步骤。 15.(本小题13分)已知圆C方程为x2+y2-2x+4y+1=0. (1)求圆C的圆心坐标及半径. (2)求直线1：x+y-1=0被圆C截得的弦长. 16.(本小题15分)数列{a}的前n项和为Sn,且3an一2Sn=1,在等差数列bn}中， b4=7,b3+2bg=35 (1)求数列{a和{bn}的通项公式， (②)若cn=血，求数列c的前n项和T an 第4页，共6页 17.(体小题15分)已知箭圆C:三+兰-1a>b>0)的离心率为号长轴长为4。 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点(0，-2)的直线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为V2,求|AB1. 18.(本小题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,AD1CD,AD//BC, PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且F= Pc=31 F (I)求证：CD⊥平面PAD; G (Ⅱ)求二面角F一AE-P的余弦值； (山)设点G在PB上，且治-号判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由. 第5页，共6页 19.(本小题17分)已知a>0,函数f(x)=ax-xex. (1)求曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)证明函数f(x)存在唯一的极值点； (3)若]a,使得f(x)≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围. 第6页，共6页2025年下学期期末质量监测参考答案 (高二数学) 一、造驿题：本题典8小题，每小题5分，典40分。在每小题给曲的四个逃喷中，只有 一域符合题目要求。 1.B 2.A 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 7、解：记A(2,0),则k=亡2为直线AP的斜率， 故当直线AP与半圆x2+y-1)2=1,x>0相切时，斜率k最小， 设4y=k-,则器=1，解得k=-言或数=0（合去）， 即之的最小值为-专故选：C. 8、解：如图，可取PF1的中点N,设OM1PF1, 由lPF2l=IF1F2l,可得NF21PF1,OM/NF2, 且IWF2l=2I0M=b,由|PF1l-IPF2l=2a,可得|PF1l=2a+2c,INF1l=a+c, 在直角三角形WNFF2中，可得4c2=(a+cP+(（), 化简可得3c2-8ac+5a2=0,解得c=号a或c=a(舍去)， 则e=台=手枚选：B. 二、选驿题：本题典3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个逸喷中，有多 项符合题目婴求。金部逃对的得6分，部分递对得部分分，有递错的得0分。 9.ABD 10.ACD 11.AC 11解：以D为坐标原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角 坐标系，则A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,2),C1(0,2,2),B(2,2,2), 所以BD=(-2,-2,2),B,C=(-2,0,-2),AB=(0,2,2),设BP=1BC,0≤1≤1，则 AD=AB,+BP=（←2元，2,2-21). ZA 对于A:因为BD·AP=42-4+4-41=0,故BD⊥AP,故A正确； 对于B:因为AD‖B,C,B,C文平面AAD,ADC平面AAD, D 则BCII平面AAD，所以三棱锥A-APD的体积为 4m-4o子oB=3昼x2水2手，故B错误； 第1页，共5页 对于C:因为BP=BB+BP=(-21,0,2-2), 所-网-2--3 1P=丽-反4#a0了-3号，当2-助，，8承补值% √6+√2，故C正确；对于D:因为AP=(21,2,2-2),DP=DB+BP=(2-22,2,-22), 所以AP.DP=82-82+4,D,P=Ad=V82-8元+8，设DP与AP的夹角为日，则 cos0=cos4亚，Df= AP.DP 82-8+4 「117 AP.DP V822-81+8xV822-81+8 故D错误故选：AC 三、填笔题：本题典3小题，每小题5分，共15分. 12.-2； 13、V14 14.1;（-∞，2 14解：解：若a=1,则f=x-lx(x∈(0，+)》，÷f'()=1-号， 当x∈(0,1)时，f'(,<0,f(x)单调递减；当x∈(1，+)时，f'(x)>0,fx)单调递 增.f(x)min=f(1)=1. 若vx,<x2,都有fx)-fx)<号-专则Fx)-子<fx)-动 “y=f()-在x∈(0，+0)单调递增，÷y'=1-+之≥0在x∈(0，+∞)恒成立， x2-ax+1≥0即x+2≥a,又x+≥2x=2,当且仅当x=1时，等号成立； a≤2.故答案为：1；（-∞，2： 四。解窖题：本题典5小题，共77分。解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤 15、解：(1圆C方程为x2+y2-2x+4y+1=0, ∴圆的标准方程为(x-1)2+y+2)2=4, .2分 ∴圆的圆心坐标为(1，-2)， .4分 圆的半径为2；。 .6分 (2)由题得圆心1，-2)到直线的距离为：d-2二=V2, V12+12 .9分 直线x+y-1=0被圆C截得的弦长为：22-(V2=2W213分 第2页，共5页 16、解：(1)当n=1时，3a1-2S1=3a1-2a1=1,即a1=1, 当n≥2时，由3a-2Sm=1得3am-1-2Sn-1=1, 则丙式相减得30，-3a-1-2(5m-5-)=0,即a,=3a-1二，-3， 综上可知，{an是首项a1=1,公比q=3的等比数列， 则a=1q-1=1×3n-1=3-1,即an=31-1,.4分 设带装致0的会法方d则收+熟及7+Z01+70-3S 印哈16a735解得0 所以bm=b1+(n-1)d=2n-1,即bn=2n-1, 故a=3n-1,bn=2n-1;… .8分 四a,6是==， 9分 则7。=京+号+景+…+0， .10分 知=京+是+是+…+g2, .11分 ①-②得=+++…+0-③-， 3n-1 3n ②整理得红.=1+2（侵+京+…+）- -1+2×-1+(1-）-=-2-巴 13 3n 。=2-2,所以Tn=3-.。 .15分 17、解：(1)椭圆的长轴长为4，因此2a=4,解得a=2. ..2分 离心率e=号，由e=可得c=e=2竖=V2.4分 根据c2=Q2-b2,解得b2=2,因此b=√2.6分 椭图的方程为：兰+号=1.… .8分 (2)由题意可知直线的斜率一定存在，.9分 则可设直线的方程为y=kx-2,设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立直线与椭图方程得到：+少=1， 2 化简得到：(1+2k②x2-8kx+4=0.. 8k 4 则x1+x2=1+2,X1x2=1计22,11分 记点0，-2)为点P,则SA0AB=SA0AP-SA0BPl=0Px1-0P·x2=lx1-x2=V2, 第3页，共5页 于是x2-xl=@+2型-42=V2,解得k2= 1+2k2 1+2k2 13分 利用相交弦长公式：IAB=√x1-x2)2+(y-y2)严=√1+.x1-x2 代入2=利-=，得到：M-√1+x2-厚×V2=5.…15分 18、解：(I)证明：PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, ∴PA⊥CD, AD⊥CD,PAOAD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD, CD1平面PAD..5分 (Ⅱ)以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴， AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， A0,00,E0,11,F(f,P00,2,B(2,-1,0, 正=01,1)，F=(,, 平面AEP的一个法向量为元=(1,0,0)， 设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,Z), m·AE=y+z=0 m·AF=号x+y+2=0'取y=1,得元=1,1，-1)， 则 设二面角F-AE-P的平面角为6，由图可知8为锐角， 则o0-品=方-号 二面角F-AB-P的余弦值为 …11分 (Ⅲ)直线AG在平面AEF内，理由如下： 点G在PB上，器=子G(,, c=(原， 平面AEF的一个法向量为元=(1,1，-1)， m.AG=4--=0, 333 故直线AG在平面AEF内. .17分 19、(1)獬：因为f(x)=a-(x+1)e,.2分 所以f'(0)=a-1,而f(0)=0, 所以在(0，f(0)处的切线方程为y=(a-1)x(a>0)；..5分 第4页，共5页 (2)令g(x)=f'(x)=(a-1)x(a>0) g'(x)=-(x+2)e,令g'(x)>0,得x<-2,令g'(x)<0,得x>-2, “g(x)在(-∞，-2上单调递增，在(-2，+∞)上单调递减， 又g(-2)=a+2>0,且当x<-2时，x+1)e<0,又a>0, ·a-(x+1)>0在(-，-2)上恒成立，即g(x)在(-c∞，-2)上无零点， a>0,∴.ln(a+1)>0, g[n(a+1)]=a-n(a+1)+1](a+1)=-1-(a+1)ln(a+1)<0, ∴g(x)在(-2，ln(a+1)上有一个零点，不妨记为xo, 当x<xo时，g(x)>0,当x>xo时，g(x)<0, ·f(x)在(-∞，xo)上单调递增，在(xo,+∞)上单调递减， xo为f(x)的极大值点，无极小值点，得证..11分 (3)由(2)知，f(x)max=f(xo), 即axo-xoeo≤a+b能成立， 又f'(xo)=0,即a-(xo+1)eo=0, .a=(x0+1)eo, 则(0+1)eo·x0-xoeo≤(x0+1)eo+b能成立， 即(x6-x0-1)eo≤b能成立， 由(2)知x0>-2. 令ix)=(x2-x-1)e*(x>-2), 五'(x)=(x2-x-1)ex+(2x-1)e*=(x2+x-2)e 令′(x)>0,解得，x>1, 令′x)<0,解得，-2<x<1 ·五(x)在(-2,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ·z(x)min=五(1)=-e, b的取值范围为[-e,十o)..17分 第5页，共5页2025年下学期期末质量监测答题卡 (高二数学) 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 注意事项 1 答题前请将姓名、班级、考场、准 考证号填写清楚。 (正面上，切勿贴出虚线方框 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填 涂， 修改时用橡皮擦干净。 必须在题号对应的答题区域内作 空，超筌颗区域书写无效 正确填涂 缺考标记 ▣ 单选题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、 多选题（每小题6分， 共18分) 9[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 1I[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14 囚囚■ 四、解答题 15.(本小题13分) 囚囚■ ■ 16.(本小题15分) a 17.(本小题15分) 1 1 I I ■ 囚■囚 18.(本小题17分) G C 囚■囚 ▣ 19.(本小题17分) ■