专题07 期末压轴题（5大考点）（期末真题汇编，湖南专用）高一数学下学期

**基本信息** 湖南多地高一下期末压轴题汇编，聚焦函数性质、立体几何等5大高频考点，融合文化传承与实际应用，试题综合性强。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|12题|函数奇偶性与单调性、立体几何动态问题|结合《九章算术》鳖臑情境，设置存在性探究题| |填空|5题|平面向量数量积、三角恒等变换|对接高考高频考点，如外心性质应用| |解答|12题|双曲函数应用、祖暅原理、数据传输概率|融入悬链桥等实际背景，设计多问梯度（如证明-存在性-零点唯一）|

专题07 期末压轴题 5大高频考点概览 考点01函数的性质及其应用 考点02平面向量 考点03三角恒等变换及解三角形 考点04立体几何 考点05概率统计 ( 地 城 考点01 函数的性质及其应用 ) 1．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像：    由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确， 故选：C. 2．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)若方程在上有唯一解，则的值为______． 【答案】/ 【分析】把方程变形（同构化），然后利用函数的单调性，化简方程，再由方程根的概念求解． 【详解】因为方程在上有唯一解， 所以 所以，其中， 设， 在上单调递增； 所以，所以 故答案为：. 3．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围. 【详解】原方程可化为， 而的解为或或，若，则或或， 由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解， 当时，，此时有3个实数解，不合题意． 当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然． 当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意． 当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足， 故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时， 注意到，且， 故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意. 故选：B 4．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数． (1)证明：； (2)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)求证：函数存在唯一零点且． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可得证； （2）假设存在正实数t满足题意，可得在上单调递增，令，进而得到即关于u的一元二次方程有两个不等正根，，可得， 进而求解即可； （3）通过逐段分析得函数的单调性，并结合零点存在定理确定有且只有一个零点，且，从而得，再由函数的单调性即可得证. 【详解】（1）证明：右边 ， 左边， 所以. （2）假设存在正实数t满足题意，易知在上单调递增， 所以， 所以，为关于的方程的两个不等实数根， 令，即关于u的一元二次方程有两个不等正根，， 所以，解得且 所以存在正实数满足题意，t的取值范围且. （3），定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点． ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时， 因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且． 因为，所以， 所以， 在上单调递减， ， 所以． 5．(24-25高一下·湖南怀化·期末)对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．下列四个函数中具有性质的有______．（填序号） ①  ②  ③  ④． 【答案】②③④ 【分析】假设函数具有性质，即判断是否有解，构造函数，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】对于①：假设具有性质，则在上存在，使得， 即，因为，所以，故方程无解， 即不具有性质，故①错误； 对于②：假设具有性质，则在上存在，使得， 即在时有解， 设，，显然为定义域上的连续函数， 又，，即在上有零点， 所以具有性质，故②正确； 对于③：假设具有性质，则存在，使得， 即有解， 令，显然为连续函数， 又，，所以在上存在零点， 所以具有性质，故③正确； 对于④：假设具有性质，则存在，使得， 即有解， 令，显然为连续函数，又， ， 所以在上存在零点，所以具有性质，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为方程是否有解，结合零点存在性定理判断即可. 6．(24-25高一下·湖南怀化·期末)（多选）若是定义在R上的函数，当时，，且对任意x，，恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 【答案】ACD 【分析】令可求出判断A，可得函数的奇偶性判断B，函数的奇偶性，得到函数的对称性，即可判断C，利用单调性的定义判断D. 【详解】已知， 令，可得，解得，故A正确； 再令，得， 即，因为不恒成立，所以， 所以为奇函数，故B错误； 因为为奇函数，所以关于原点对称，则的图象关于对称，故C正确； 因为当时，，所以当时，，则； 设任意的，，且， 则， 所以， 因为，，且， 所以，，，，， 所以，即， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 又，且当时，，当时，， 所以是R上的增函数，则当时，恒成立，故D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于抽象函数求函数值一般采用赋值法，抽象函数的单调性的证明通常是利用定义法. 7．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)已知函数． (1)设函数，求在区间上的值域； (2)设函数，求的值； (3)设函数，且，成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1012 (3) 【分析】（1）先求出的解析式，并利用单调性的定义证明在区间上单调性，再利用单调性求值域即可； （2）先求出的解析式，发现，再分组求和即可； （3）先求出在上的值域是，将，成立，转化为当时，；令，，将转换为，然后根据的对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，分别求解，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，， ， ，且， 则， 由，得，， 所以，即， 所以在区间上单调递减， 因为，， 所以在区间上的值域为； （2）由， 则， 所以， ， 上式中一共有1012组，每组的和为1，所以； （3）因为，所以在上的值域是， ，成立， 意味着当时，， 令，当时，， 所以可转化为关于的函数 ， 即当时，， 已知函数的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， 所以，解得， 因为，所以； ②当，即时，在时取得最小值， 所以， 即，即，解得， 因为，所以； ③当，即时，在上单调递减， 所以，解得， 因为，所以此时无解； 综上①②③可知，实数的取值范围为. 8．(24-25高一下·湖南湘潭湘潭县第一中学·月考)已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增 (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，构成方程组即可求解； （2）由已知，对于任意的实数，成立，即，即转化为求函数最小值，即可求得实数的取值范围； （3）由（1）知，，可得，由存在，，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数， 则，即②， 联立①②，得，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增. （2）由（1）得单调递增， 因为，所以， 整理得对于任意的成立，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以. （3）由（1）知，，， 则 ， 令，则， 则原题目转化为存在，使得成立， 当，成立，当时，， 综上，. 9．(24-25高一下·湖南怀化·期末)若定义在上的函数满足：存在非零实数，对，都有，则称函数是可分解函数． (1)判断函数是否为可分解函数，如果是，求出一个的值；如果不是，请说明理由； (2)若是可分解函数，且存在，使得对，都有，求，； (3)对于函数，是否存在，，使得是可分解函数？若存在，求出，；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，使函数是可分解函数（答案不唯一） (2)， (3)存在，， 【分析】（1）根据即可得解； （2）依题意可得，令求出，再推导出且，即可求出； （3）依题意可得，由求出，再由求出，再代入检验即可. 【详解】（1）函数是可分解函数， 因为，， 且， 所以，即对，都有， 所以存在，使函数是可分解函数（答案不唯一）； （2）因为是可分解函数，所以， 令，可得，所以； 又，所以且， 所以， 若，则当时，，不符合题意； 所以； （3）因为是可分解函数，所以且， 即，即，又，所以，所以； 又，否则且， 则， 则当时，，与矛盾； 所以，又，所以，所以或； 当，即时，， 此时， 而， 则，不符合题意，故舍去； 当，即时，， 此时， 而， 则，符合题意； 综上可得，存在，，使得函数是可分解函数. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解可分解函数的定义，再结合三角函数的性质计算即可. ( 地 城 考点02 平面向量 ) 10．(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知O为的外心，满足，若的最大值为，则______． 【答案】 【分析】设，得，得的最大值为，要使取最大值，得是等腰三角形后可求解问题. 【详解】如图，延长交于，设，则， 因为在上，所以，即， 所以的最大值为， 设外接圆的半径为，所以， 当最大时，即最小时，即时，取最大值， 所以，解得， 此时是等腰三角形，， . 故答案为：.    11．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由，，， 所以 ， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，且，． (1)求边c的长度； (2)求； (3)设E，F分别为边，上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件利用余弦定理求解； （2）在和△ADC中，分别利用正弦定理，求得．分为情况讨论：为钝角，为锐角，结合余弦定理求解； （3）设，，，可得，由E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得，由数量积的运算可得，的面积为面积的，利用三角形面积公式可得．从而化简，求解范围即可. 【详解】（1）∵， 由余弦定理：， ∵，∴． （2）∵，，可知， ∴． 在中，由正弦定理可得： ① 在中，由正弦定理可得：， ∵，②， 将①②两式相除可得：． 若为钝角，则， 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得：， 又，∴， ，显然与已知矛盾． ∴为锐角，．∴， 又，． ∴， ∵为三角形内角，∴． （3）设，，（λ，） ∴，， ， ∵E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得， ， ． ∴ ， ∵，而， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 3 三角恒等变换及解三角形 ) 13．(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值. 14．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)（多选）在中，三个角所对的边分别为，其外接圆的半径为，若，则（    ） A．的面积为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理、三角形面积公式结合条件可判断A；由余弦定理结合，利用基本不等式可得，从而得到的范围即可判断B；利用基本不等式及条件得到，即可判断C；设，则，，代入，解得的范围即可判断D. 【详解】对于A，在中，由正弦定理得，所以， 所以的面积为故A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得，当且仅当时等号成立，又因为，所以，故B正确； 对于C，因为，即，仅当时等号成立，又，所以，故C不正确； 对于D，设，则， 由，得，即， 因为，解得. 即，故D正确. 故选：ABD. 15．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)圆内接四边形有诸多良好的性质，其中托勒密定理极其优美，即在圆内接四边形ABCD中，，试利用该定理解决下列问题： (1)设正三角形ABC内接于圆O，点D在劣弧AC上（不与点A，C重合），证明：. (2)在圆内接四边形ABCD中，，，，，，证明： （i）； （ⅱ）四边形ABCD的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）直接根据托勒密定理证明即可； （2）（i）根据余弦定理，诱导公式和圆的内接四边形对角互补即可证明； （ii）把四边形的面积分解成两个三角形进行计算，利用余弦定理求出，再求，最后再利用三角形面积计算公式即可证明； 【详解】（1）由托勒密定理可知：，又因为，所以； （2）（i）由圆的内接四边形可得：， 由余弦定理及诱导公式可得：， 即； （ii）由余弦定理可得：， 则 ， 所以 . ( 地 城 考点0 4 立体几何 ) 16．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)（多选）在正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．存在点，使得平面平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与所成角为 D．平面截正方体所得的截面可能是等腰三角形 【答案】ACD 【分析】对A，利用面面垂直的判定定理即可判断；对B，当点为的中点时，证明面面平行，即可判断；对C，当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断；对D，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形. 【详解】对于A，因为在正方体中，平面， 又平面与平面是同一个平面，平面， 所以无论点在线段（不含端点）上任何位置都有平面平面，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有，平面，平面，所以平面， 同理，平面，且，平面， 所以平面平面，故B错误； 对于C，当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接， 过点作，交于，则， 又正方体中，，所以，则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故C正确； 对于D，如图，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形，故D正确. 故选：ACD. 17．(24-25高一下·湖南永州·期末)（多选）如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点，且∥平面，则（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的正切值为2 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．底面四边形内（包含边界）有一动点Q，，则动点Q的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】由面面垂直的性质定理及线面垂直的判断定理可判断A；取中点为，连接，则可得为与所成角（或补角），由面面平的判断定理及以性质定理可得平面在直角三角形中，求解即可；由题意可得三棱锥的外接球球心为的中点，求得半径为，求出外接球的表面积，即可判断C；确定动点的轨迹是以为圆心1为半径的半圆，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为平面平面，交线为， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取中点为，连接， 因为为中点， 所以∥， 所以为与所成角（或补角）， 又平面，平面，所以∥平面， 又因为∥平面，，平面平面， 所以平面∥平面， 又平面平面，平面平面， 所以∥， 又平面， 所以平面平面， 所以，，， 所以，故B正确； 对于C，因为和为直角三角形， 所以三棱锥的外接球球心为的中点， 又因为 ， 所以，， 所以半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D，连接，则为三棱锥的高， 又，， 所以, 故， 所以动点的轨迹是以为圆心1为半径的半圆，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：C选项中，得到三棱锥的外接球球心为的中点是判断C的关键. 18．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的正切值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直得线面垂直； （2）连接，由平面，得到，由∥平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解. （3）分别取的中点，连接，利用平面∥平面，将问题转化为平面与平面夹角的正切值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解. 【详解】（1）∵为上底面圆的直径，点在上底面圆周上， ∴，∵∥，∴， 又∵平面，且平面，∴， ∵，且平面， ∴平面. （2）连接，由（1）平面， ∴就是直线与平面所成的角， 即， ∴且，∴，， ∴为直角三角形，∴为弧的中点，∴ 又，∴， 又∵平面平面，且交线为，， ∴平面 ∴点到平面的距离为， ∵∥平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ∵，∴， ∵， ∴ ∴，∴点到平面的距离为. （3）分别取，的中点，，连接，，，则∥，∥， ∵且平面，，且平面， ∴平面∥平面， ∵平面与平面夹角正切值为， ∴平面与平面夹角的正切值为， ∵为的中点，， ∴，， 又∵且平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面， 连接，过点作于点， ∵平面平面，且平面， ∴平面， 平面，, 过点作于点，连接， ，平面， 平面，又平面，， ∴为平面与平面夹角，即， 设，则， ∵，∴， 直角三角形中，， 又∵∥，∴， 在中，由射影定理知，∴， 在直角中，，∴， 在直角中，， 整理得，解得，即， ∴. 19．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)（多选）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（    ） A． B．鳖臑体积的最大值为2 C．点到面的距离是 D．鳖臑内切球的半径为 【答案】BCD 【分析】根据外接球体积得到外接球半径，找到球心位置，设，，利用基本不等式得到体积的最值及判断AB，利用等体积法判断CD. 【详解】选项AB：设鳖臑外接球半径为， 由题意可得，解得， 因为四个面都为直角三角形，中点到四个顶点的距离都相等， 所以点是外接球的球心，， 因为平面，，， 所以， 设，，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，鳖臑体积的最大值为2，A错误，B正确； 选项C：设点到面的距离为， 因为平面，所以，， 所以，，解得， 即点到面的距离为，C说法正确； 选项D：因为， 所以，，，， 设鳖臑内切球的半径为，则， 即，解得，D说法正确； 故选：BCD 20．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期末)（多选）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．当时，截面S的形状为等腰梯形 C．当时，S与交于点R，则 D．当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，通过平移得到线面所成角，计算即得；对于B，利用面面平行的性质定理作出截面，即可判断其形状；对于C，通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即得；对于D，取中点，连接，交于点，连接，可证平面，推得即直线与平面的夹角，设，，结合图形求出，由函数的单调性即可求得其范围. 【详解】对于A，因，故即直线与直线所成角， 因，故A正确； 对于B，如图，连接，因，易得， 因平面平面，连接即为截面S与正方体的一条截线， 连接，计算易得，故截面S的形状为等腰梯形，故B正确； 对于C，如图，过点作的平行线交直线于点，连接，交于点， 因，易得，则，于是，，则， 如图，又可得，则，即，解得：，故C错误； 对于D，如图，取中点，连接，交于点，连接， 易得，则，又因平面，平面，则， 因平面，故平面， 则即直线与平面的夹角，设为，不妨设，则， 在中，， 因，则，可得，故D正确. 故选：ABD. 21．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)（多选）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．平面截该正方体的截面面积为 B．若，则点的轨迹长度为 C．若为的中点，则三棱锥的体积为1 D．与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于选项A，先确定截面，然后计算面积即可；对于选项B，首先确定点的轨迹，然后利用弧长公式进行计算即可；对于选项C，首先确定点到底面的距离，然后根据三棱锥体积公式求出三棱锥的体积即可；对于选项D，找出与平面所成的角的最小值和最大值，然后根据边角关系求出其正弦值即可. 【详解】对于选项A： 取线段的中点，连接，那么平面截该正方体的截面为平面. 由于，所以面积为，所以A错误；    对于选项B： 因为平面，平面， 所以，所以根据勾股定理得， 所以点的轨迹是以为圆心以2为半径的弧.    如图所示，因为，所以，所以. 同理.所以弧长角度为，所以轨迹长度为，B正确； 对于选项C： 取的中点，连接，则. 取的中点，连接，过点作. 因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以. 又，所以. 又，且平面.所以平面. 所以点到平面的距离为点到平面的距离. 设平行直线之间的垂直距离为，则， 所以，所以点到平面的距离为. 因为平面，平面，所以. 所以. 所以三棱锥的体积为，所以C正确；    对于选项D： 作，连接. 因为平面，平面， 所以，因为，平面. 所以平面.所以与平面所成的角的正弦值为. 在中，，解得. 当点位于时，平面，此时与平面所成的角的正弦值最小为0； 当店位于处时，此时与平面所成的角的正弦值最大，最大值小于，达不到. 所以D错误. 故选：BC.    22．(24-25高一下·湖南郴州·期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，动点在平面内，则下列说法中正确的是（   ） A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时， C．当时，取得最小值 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】A应用平面基本性质画出截面，应用面面平行的性质判断；B四面体的外接球即为的外接球，利用几何关系及已知列方程求线段长判断；C将平面与平面展开到一个平面内，根据两点间线段距离最短求解判断；D在平面内，过作，交延长线于，连接，关于直线对称的直线在平面内，其中为的对称点，应用二倍角余弦公式求得，进而确定最小时的位置，再应用余弦定理求长度判断. 【详解】对于A：连接并延长，交延长线于，连接并延长，交延长线于， 连接，交于，最后连接，即得平面截正方体所得的截面， 由为线段中点，根据等比例关系有为的中点，易知， 由平面平面，截面分别交平面、平面于， 所以，故截面为平行四边形，A正确； 对于B：四面体的外接球即为的外接球，令， 由正方形的外接圆半径为，则外接球半径， 所以，则，即，可得，B正确； 对于C：将平面与平面展开到一个平面内，如下图，则最小为长度， 又，则，C错误； 对于D：在平面内，过作，交延长线于，连接， 所以关于直线对称的直线在平面内，其中为的对称点， 易知，，，且， 所以， 当时，此时在延长线上，不符； 所以，当与重合时，最小，D正确. 故选：ABD 23．(24-25高一下·湖南长沙浏阳·期末)（多选）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．该三棱台的体积为 B．若点在棱上，则的最小值为 C．该三棱台内半径最大球的体积为 D．若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 【答案】BD 【分析】利用正三棱台的结构特征，结合已知求出高，再求出体积判断A；把等腰梯形与展开置于同一平面，求出判断 B；求出体积为的球直径与棱台的高比较判断C；求出截面面积判断D. 【详解】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，连接， 则，高， ，， 则三棱台的体积，A错误； 对于D，在上分别取点，使，连接， 而，则四边形均为平行四边形，即，， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又，所以平面， 因此为平面截该三棱台所得的截面. 而，又，则为正三角形，， 截面面积，D正确； 对于B，把等腰梯形与展开置于同一平面，连接， 由选项D知，为正三角形，则，，等腰中，，则底边， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时，取得最小值，B正确； 对于C，体积为的球半径，，解得，该球的直径， 则此球不可能在正三棱台内，C错误. 故选：BD. 24．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且，，平面. (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)当时，求直线与平面所成角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）过点在平面内作，垂足为点，由面面垂直的性质得出平面，求出的面积，利用基本不等式求出面积的最大值以及长的最大值，结合锥体的体积公式可求得四棱锥体积的最大值； （3）取线段的中点，连接、，求出的长，根据题意得出关于、的方程组，求出的值，进而可求得的长，利用三角不等式求出的最大值，设与平面所成角为，可得出的最小值，由此可得出的最大值. 【详解】（1）由题，四边形在球的一个截面的圆周上，故， 又，故，故， 由平面，平面，得， 又，平面，平面，故平面， 又平面，故平面平面. （2）过点在平面内作，垂足为点， 由平面平面，平面平面，平面， 可得平面，记四棱锥的体积为， 则， 因为，所以， 由平面，平面，得，故， 于是，当且仅当时取等号， 由，得， ，由，得， 故，当且仅当时取等号，于是， 故. 故四棱锥体积的最大值为. （3）取线段的中点，连接、， 因为，为的中点，故， 因为，，，由等面积法可得， 由，设，则， 所以，整理得， 解得，即， 因为，，所以，故， 在中，，， 由余弦定理可得， 当时，， 此时，此时； 当时，， 此时，此时. 综上所述，， 所以，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 即长的最大值为， 设与平面所成角为，当取最大值时，最小，此时取最小值， 所以， 此时，即， 故当时，直线与平面所成角的余弦值的最大值为. 25．(24-25高一下·湖南怀化·期末)祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等． (1)现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，判断三者之间的关系，并说明理由；    (2)如图，过半径上一点A，且平行于半球犬圆（过球心的平面与球面相交所形成的圆）的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”，已知半球的半径为R，当点A为半径中点时，求截得的“球缺”的体积；    (3)《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱（圆柱的上下底面为正方体的上下底面，圆柱的侧面与正方体侧面相切）的公共部分组成的几何体为“牟合方盖”．显然，正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球．若正方体棱长为6，求“牟合方盖”体积．      【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设平面与圆柱底面间的距离为，截半球的截面圆的半径为，则截圆锥的截面圆半径为，可得，平面截半球、圆锥、圆柱的截面面积满足，由祖暅原理得到答案； （2）由祖暅原理，“球缺”的体积等于高度为的圆柱体积减去对应圆台的体积，运算得解； （3）由于正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球，用同一高度处的水平面来截它们，所得的截面积之比正好总是正方形的内切圆和正方形的面积之比，也就是，根据祖暅原理运算得解. 【详解】（1）如图，用一个平行圆柱底面的平面截半球和圆柱， 设平面与圆柱底面间的距离为，截半球的截面圆的半径为，则截圆锥的截面圆半径为， 所以， 平面截半球截面圆的面积为，平面截圆锥的截面圆的面积为，平面截圆柱的截面圆的面积为， 所以， 由祖暅原理，可得.    （2）当点为半径中点时，高度， “球缺”的体积等于高度为的圆柱体积减去对应圆台的体积， 所以“球缺”的体积为. （3）因为正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球，若正方体棱长为6，则内切球半径， 用一水平面去截它们，那么所得的正方形和圆也是相切在一起的， 对于直径为6的球和高为6的“牟合方盖”来说，使用同一高度处的水平面来截它们， 所得的截面积之比正好总是正方形的内切圆和正方形的面积之比，也就是， 由祖暅原理，“牟合方盖”的体积为. 26．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点，过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆，易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的和．球面上两个对径点和以这两点为端点的两个半大圆所围成的球面图形称为球面二角形．对于球面上不在同一个大圆上的点，过任意两点的大圆上的劣弧所组成的图形称为球面三角形，记其面积为．若球面上，的对径点分别为，则球面与球面全等． (1)如图1，已知球的半径为，两个半大圆所成的锐二面角为，用表示球面二角形的面积； (2)如图2，已知球的半径为，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为． （ⅰ）若平面，平面，平面两两垂直，求球面的面积； （ⅱ）用表示球面的面积． 【答案】(1) (2)； 【分析】(1)由两个半大圆所成的锐二面角为，根据比例求出球面二角形的面积； (2)(i)求球面二角形的面积，结合对称性求结论， (ii)求三个球面二角形的面积，由此可得，解出即可. 【详解】（1）设球的表面积为，则， 因为两个半大圆所成的锐二面角为， 所以， 则. （2）(i)因为平面，平面，平面两两垂直， 所以每个球面二角形的面积为， 由球面的对称性可得； 所以球面的面积； （ii）圆弧所在大圆和圆弧所在大圆夹角为二面角，即， 那么两弧所在半圆所夹球面二角形的面积为， 同理，和所在半圆所夹球面二角形的面积为， 和所在半圆所夹球面二角形的面积为， 由球面的对称性可得 所以. ( 地 城 考点0 5 概率统计 ) 27．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由四舍五入保留一位小数）； (3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】(1)， (2) (3)得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学的成绩未进入到区间范围. 【分析】（1）根据频率直方图，各组的频率之和为1，求出m，利用平均数的定义求出； （2）先求出90名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，利用百分位的定义求解； （3）先利用方差公式求出方差，再判断即可. 【详解】（1）由频率直方图总面积为1，可得： ， 解得， 根据频率分布直方图，各组中间值为：，对应频率为： ，所以： . （2）因为， 所以这90名学生的最低分数为该次校内测试分数的分位数. 又， 设这90名学生的最低分数为，所以， 所以分 （3） 所以， 所以，. 所以得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学成绩未进入区间范围. 28．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)甲、乙两人在校园运动会“趣味数学挑战”中玩骰子游戏.规则如下：准备两个相同的六面骰子（点数1,2,3,4,5,6），甲先掷第一个骰子，记录点数为a（每次掷骰子后骰子独立，即后续掷骰子不受前次影响）.此时甲有两种选择： ①再掷一次骰子，记录点数为b，甲的最终挑战分数取两次中的较大值（即max{a，b}）； ②直接结束，甲的最终挑战分数为a. 随后乙掷一个骰子，记录点数为c，若c>甲的最终分数，则乙赢，否则甲赢.游戏结束. 问题： (1)若甲选择②（只掷1次），求甲赢的概率； (2)若甲选择①（掷2次），求甲赢的概率； (3)当甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率大于选择①的概率? 【答案】(1) (2) (3)不论甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率都不会大于选择①的概率. 【分析】（1）甲的最终分数为，乙掷骰子，根据，可求甲赢的概率； （2）设，分类讨论对应的概率，当乙掷出，概率为，进而计算可求得甲选择①时甲赢概率； （3）对于固定甲选择②时甲赢概率为：=，选择①时，甲的最终分数为，此时甲赢的概率为：=，进而对分类讨论可求得结论.． 【详解】（1）甲的最终分数为（，每个点数的概率为）， 乙掷骰子（，每个点数的概率为），甲赢的条件是， 即乙的点数不超过甲的分数，对于每一个，甲赢的概率为. 所以； （2）设， 仅当概率； 当至少一个骰子为2且无更大的点数，概率；   ，   ，   ，   ， 当乙掷出，概率为，甲选择①时甲赢概率： ； （3）对于固定甲选择②时甲赢概率为：=， 选择①时，甲的最终分数为，此时甲赢的概率为： =， 分情况讨论的值： 1、当时，，故=， ， > ； 2、当时，，计算= ， > ； 3、当，，计算= ，    > ； 4、当，，计算=， ， > ； 5、当，，计算=， ， > ； 6、当，计算=1，； 综上， ， 所以不论甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率都不会大于选择①的概率. 29．(24-25高一下·湖南永州·期末)数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且. (1)若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为. （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）接收到的两个数字中有且只有一个正确，包括数字0接收正确数字1错误和数字0接收错误数字1正确两种情况，利用事件独立性和互斥性计算即可求解； （2）（i）事件表示接收到的数据中含两个0，包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误，②数学0错误，数字1都错误，事件表示接收到的数据中含三个0，只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误，然后建立等式，将代入等式中消元，然后根据范围确定取值：（ii）理解事件包含以下三种情况：①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，分别求出概率再相加，利用换元的思想，令，利用二次函数的性质研究最值即可求解，注意需要确定的范围. 【详解】（1）记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件A，由已知， 事件包含两种情况： 第一种数字0接收正确数字1错误，概率为：， 第二种数字0接收错误数字1正确，概率为：， 所以； （2）（i）由发送的数据为“011“可知，事件表示接收到的数据中含两个0， 包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误， ②数学0错误，数字1都错误， 所以， 事件表示接收到的数据中含三个0， 只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误， 所以， 由得： ， 化简得， 又，上式可化为： 或（舍去）； （ⅱ）当发送的数据为“0101”，事件包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为， ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为， ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为 ， ， 令，则， 又且，， ， ， 记， 由二次函数的性质可知，在单调递减， 得最大值为， 即的最大值为. 30．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)在不透明的甲袋中装有相同的6个红色的乒乓球，其中个球上标有数字个球上标有数字个球上标有数字3，在不透明的乙袋中装有相同的3个白色的乒乓球，其中个球上标有数字个球上标有数字，个球上标有数字3． (1)若，分别从甲、乙袋中随机摸出一个球，求摸出两个球的数字相等的概率； (2)若，从甲袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为，再从乙袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为，求的概率； (3)若，将乙袋中的球倒入甲袋中，此时从甲袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球是否相互独立?请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是 【分析】（1）设 为从甲袋摸出的球的数字， 为从乙袋摸出的球的数字，先求出各自的分布列，然后利用独立事件和互斥事件概率公式计算得到； （2）先求出的分布列，然后比较并利用独立事件概率公式计算得到； （3）直接分析可得到,利用全概率公式计算得到,然后利用独立事件概率定义验证. 【详解】（1）给定 ，. 甲袋：6 个红球，其中标数字 1 的球有 2 个，标数字 2 的球有 2 个，标数字 3 的球有 2 个. 乙袋：3 个白球，其中标数字 1 的球有 1 个，标数字 2 的球有 1 个，标数字 3 的球有 1 个. 设为从甲袋摸出的球的数字，为从乙袋摸出的球的数字. ，，. ，，. 摸出两个球数字相等的概率为： （2）给定 ，，，. 甲袋：6 个红球，其中标数字 1 的球有 2 个，标数字 2 的球有 4 个，无标数字 3 的球. 乙袋：3 个白球，其中标数字 1 的球有 1 个，标数字 2 的球有 0 个，标数字 3 的球有 2 个. 从甲袋有放回摸两个球，数字和 ： ，. 的分布： ， ， . 从乙袋有放回摸两个球，数字和： ，，. 的分布： ， ， 。 和 独立，求 ：满足 的组合： ：， ：， ：， ：， ：. 总和： （3）给定 ，，，. 甲袋：6 个红球，其中标数字 1 的球有 2 个，标数字 2 的球有 4 个，无标数字 3 的球. 乙袋：3 个白球，其中标数字 1 的球有 1 个，标数字 2 的球有 2 个，无标数字 3 的球. 将乙袋球倒入甲袋后，总球数 9 个：标数字 1 的球有 个，标数字 2 的球有 个. 事件定义：：第一次取到红球（红球共 6 个），：第二次取到标数字 1 的球（标数字 1 的球共 3 个）. 计算概率：, ：第二次取到标数字 1 的球，由全概率公式： ，此时剩余标数字 1 的球有 2 个，总球 8 个，故 . ，此时剩余标数字 1 的球有 3 个，故 。 ：第一次取到红球且第二次取到标数字 1 的球. 有序抽取，总可能结果数：. 有利结果： 第一次取标数字 1 的红球（有 2 个），第二次取标数字 1 的球（剩余 2 个标数字 1 的球）： 种. 第一次取标数字 2 的红球（有 4 个），第二次取标数字 1 的球（剩余 3 个标数字 1 的球）： 种. 总和： 种. 验证独立性： 因为 ，所以事件 和 相互独立. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07期末压轴题 ☆5大高频考点概览 考点01函数的性质及其应用 考点02平面向量 考点03三角恒等变换及解三角形 考点04立体几何 考点05率统计 目目 考点01 函数的性质及其应用 1.(2425高一下·湖南多校联考期末)定义在R上的函数f(x)满足∫1+x)=∫(1-x),且∫(x+2)为奇函数， 已知当0≤x≤1时，f(x)=e*-1,则下列结论错误的是() A.f(x+4)=f(x) B.f(x在区间9,11上单调递减 c. D. 2f0=-1 2.（24-25高一下湖南名校联考联合体期末)若方程c2=1n在(0，+o上有唯一解1，则24+的值为 2x2 2 -x2-2x,x≤0 3.(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)已知函数f(x)= r-4x+3,x>0’8(= e,x≤0 血，x>0’若关于x 的方程g(f(x)]-1+m)g(f(x)+m=0有19个不等实数根，则实数m的取值范围是() c.(0,e D.(1,c 4.(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县期末)双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学 中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数sin()=e-。和双曲余弦函数 2 cosh(x)=e*+e- 2 (I)证明：sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y); (2)是否存在正实数t,使得2sinh(x)在a,b上的取值范围是[te-t,e-t]?若存在，求t的取值范围；若 不存在，请说明理由 (3)求证：函数h)=hx+sin子r存在唯一零点6且2 sinh sin<e-l e 1/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25高一下·湖南怀化期末)对于函数y=fx),若在其定义域内存在x,使得xf(x)=1成立，则称 函数∫(x)具有性质P.下列四个函数中具有性质P的有 (填序号) ①f()=-VF②gx)=xnx③h(x)=x-sinx④o(x=x+l 6.(24-25高一下湖南怀化期末)（多选）若f(x)是定义在R上的函数，当x>0时，fx)>0,且对任意 x,y∈R,[f(x)]-[f(y)]=f(x+y)f(x-y)恒成立，则下列说法正确的是() A.f0)=0 B.f(x)是偶函数 c2-的图象关于行0对称 D.若m>n,则fm)>fn恒成立 7.(24-25高一下·湖南长沙第一中学.期末)已知函数fx)=1+lnx,gx=e. (1)设函数F(x= f(g(x月 g(f(x))' 求F(x)在区间(0,1上的值域； (2)设函数G(x)= g(x 8(x+E,求∑c 20241 i 台（2025 的值； (3)设函数H(x=[f(x)-1]+(6-k)f(x+k+3,且x∈[e,e],x,eR,H(x)≥gx,)成立，求实数k的 取值范围。 8.(24-25高一下·湖南湘潭湘潭县第一中学月考)已知f(x)+gx)=,其中f(x)为奇函数，g(x)为偶函 数. (1)求∫(x的解析式并指出f(x)的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数x>0,都有fx2-mx+3>fm)成立，求实数m的取值范围； (3)若对于任意的实数x∈[0，+)，总存在实数，∈1,3，使得4[g(x)门-2f(x)>mx+1成立，求实数的 取值范围。 9.(24-25高一下·湖南怀化期末)若定义在R上的函数f(x)满足：存在非零实数T,对x∈R,都有 fx+T)=∫(x)+f(T),则称函数fx)是T-可分解函数. 2/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)判断函数f(x)=1-cosx是否为T-可分解函数，如果是，求出一个T的值；如果不是，请说明理由； (2)若f(x是T-可分解函数，且存在M>0,使得对xeR,都有f(x<M,求f(0),f(T); (3)对于函数f(x)=Asin(ox+p) 4>00<<4o<引： 是否存在⊙，Q,使得∫(x)是2-可分解函数？ 若存在，求出0，P;若不存在，请说明理由。 目目 考点02 平面向量 102425腐-下漠育怀化期为已期0为ABC的外心，满足0=m丽+aC,若m+n的最大值为子 则c0sA= 11.(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区期末)在ABC中，已知AB=4,AC=8,∠BAC=60°，M为线段 BC的中点，N为线段AC上一动点，则MN.BN的最小值为 12.(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县期末)如图，设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为 BC边上的中线，b=4且2 ccB+b2-a2=bc,cos∠BAD= 4 7 (1)求边c的长度： (2)求∠BAC; (③)设E,F分别为边B,4C上的动点，线段EF交AD于G,且△AEF的面积为ABC面积的}，求 AG.EF的取值范围. 目目 考点03 三角恒等变换及解三角形 13.Q425高一下湖南怀化期末村已知a-B=号aa-amB=2,则cosa+B)的值是（） A.3-1 B.3+1 C.3+1 D.3-1 2 2 4 4 14.(24-25高一下湖南名校联考联合体·期末)（多选）在ABC中，三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 其外接圆的半径为R,若b2=aC,则() A.ABC的面积为 4R B.B≤号 3/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.a+c<2b D.-1+5b1+5 2a2 15.(24-25高一下，湖南多校联考期末)圆内接四边形有诸多良好的性质，其中托勒密定理极其优美，即在 圆内接四边形ABCD中，AB·CD+AD·BC=AC·BD,试利用该定理解决下列问题： (I)设正三角形ABC内接于圆O,点D在劣弧AC上（不与点A,C重合），证明：BD=AD+CD. (②)在圆内接四边形ABCD中，4B=a,BC=d,CD=b,AD=c,p=a+b+c+d, ,证明： 2 (i)AC2=(ab+ed)(ac+bd) ad bc (i)四边形ABCD的面积S=Vp-a)(p-b)(p-c(p-d) 目目 考点04 立体几何 16.(2425高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)（多选)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，P为线段A,B上的动点 (不包含端点)，则() A.存在点P,使得平面PD,A⊥平面PA4 B.不存在点P,使得平面APD∥平面BDC C.存在点P,使得直线PD,与AC所成角为 3 D.平面APD,截正方体所得的截面可能是等腰三角形 17.(24-25高一下·湖南永州·期末)（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中， AP=PD=2,AB=V6,CD=1,∠ADC=∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD,E是棱PA的中点，且BEI平 面PCD,则() E A.AP⊥平面PCD B.异面直线BE与PD所成角的正切值为2 C.三棱锥P-ACD的外接球的表面积为36π D.底面四边形ABCD内（包含边界）有一动点Q,PQ=V3,则动点Q的轨迹长度为刀 4/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 18.(24-25高一下湖南岳阳岳阳楼区期末)如图1，在直角梯形ABED中，AB=AD=2,DE=4, AD⊥DE,BC⊥DE,以BC为轴将梯形ABED旋转18O°后得到几何体W,如图2，其中GF,HE分别为 上下底面直径，点P,Q分别在圆弧GF,HE上，且PF‖HQ Q B G 图1 图2 (1)证明：HQ⊥平面PGH; (2)若直线G0与平面PGH所成角的余弦值等于V5,求P到平面BH0的距离， 3 (3)若平面BHQ与平面BEQ夹角的正切值为2√2，求HQ的长度 19.(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)（多选）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称 之为鳖懦，如图，在鳖腸P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=2,若鳖懦P-ABC外接球的体积 为？元，则当此登擂的体积最大时，下列结论正确的是( A.PA=BC=26 B,鳖懦P-ABC体积的最大值为2 C.点A到面PBC的距离是2西 D.鳖需P-ABC内切球的半径为5-v6 3 20.(2425高一下湖南长沙雅礼教育集团期末)（多选）如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，P为 BC的中点，Q为线段CC上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的 是() 5/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D C A B C B A.直线AP与直线CD所成角的正切值为号 B.当CQ 时 截面S的形状为等腰梯形 C.当C0 时，S与CD交于点R,则C,R= D.当，<CQ<1时，直线P四与平面ACC,4的夹角正弦值的取值范围是而， 2 102 21.(24-25高一下湖南长沙第一中学期末)（多选）如图，若正方体ABCD-A,B,CD的棱长为2，点M是 正方体ABCD-A,B,CD,在侧面BCCB,上的一个动点（含边界），点P是棱AA,的中点，则下列结论正确的 是() D C B A ·M D A.平面PCD截该正方体的截面面积为√5 B.若PM=2V反，则点M的轨迹长度为 C.若M为B,C的中点，则三棱锥P-DCM的体积为1 D.AM与平面DPC所说角的正孩简的取值花国为0引 22.(24-25高一下湖南郴州期末)（多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M为线段 CC上的动点，动点P在平面A,BD内，则下列说法中正确的是() 6/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B M C B A.当M为线段CC中点时，平面BMD,截正方体所得的截面为平行四边形 B,当四面体ABMD的顶点在一个体积为不的球面上时，CM C.当P∈A,B时，PA+PC取得最小值2W2+√2 D.C,P+PM的最小值为 3 23.(24-25高一下·湖南长沙浏阳·期末)（多选）如图，正三棱台ABC-A,B,C,的上、下底面边长分别为1和 3,侧棱长为2，则下列说法正确的是( A B A.该三棱台的体积为 4 B.若点P在棱BB,上，则AP+CP的最小值为3√3 C.该三棱台内半径最大球的体积为√π D.若过点C的平面a与平面ABB,A平行，则平面a截该三棱台所得的截面面积为√5 24.(24-25高一下，湖南长沙长郡中学期末)如图，四棱锥P-ABCD的各个顶点均在球0的表面上，且 AB=AD=2,BC⊥CD,PB⊥平面PAD 7/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4· B (I)证明：平面PAB⊥平面ABCD; (2)求四棱锥P-ABCD体积的最大值； (3)当5PA·PB=6√2时，求直线PC与平面ABCD所成角的余弦值的最大值 25.(24-25高一下，湖南怀化期末)祖堩是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原 理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任 何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等. (1)现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为'，'2，'，判 断V,'2,',三者之间的关系，并说明理由； R R R--- (2)如图，过半径上一点A,且平行于半球犬圆（过球心的平面与球面相交所形成的圆）的平面将半球分割 成两部分，位于上方的部分称为“球缺”，己知半球的半径为R,当点A为半径中点时，求截得的“球缺”的体 积： (3)《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱（圆柱的上下底面为正方体的上下底面，圆 柱的侧面与正方体侧面相切)的公共部分组成的几何体为“牟合方盖”，显然，正方体的内切球也是“牟合方 盖”的内切球.若正方体棱长为6，求“牟合方盖”体积. 8/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B 26.(24-25高一下·湖南长沙第一中学期末)球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特 别是三角形)的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直 径的两个端点称为球的一对对径点，过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆，易知：球的任意两个大 圆均可交于一对对径点，如图1的A和A'.球面上两个对径点和以这两点为端点的两个半大圆所围成的球 面图形称为球面二角形.对于球面上不在同一个大圆上的点A,B,C，过任意两点的大圆上的劣弧 AB,BC,CA所组成的图形称为球面三角形ABC,记其面积为S球面△c·若球面上A,B,C，的对径点分别为 A,B,C,则球面aA'B'C'与球面ABC全等. 图1 图2 (1)如图1，已知球0的半径为R,两个半大圆所成的锐二面角为O,用0，R表示球面二角形的面积S: (2)如图2，已知球0的半径为R,圆弧AB和AC所在平面交成的锐二面角B-A0-C的大小为a,圆弧BA 和BC所在平面、圆弧CA和CB所在平面交成的锐二面角的大小分别为B,Y. (i)若平面OAB,平面OAC,平面OBC两两垂直，求球面ABC的面积S球面△BC; (ⅱ)用，B,Y,R表示球面ABC的面积. 目目 考点05 概率统计 27.(24-25高一下湖南衡阳衡南县期末)某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生 进行了一次测试.己知参加此次测试的学生的分数xi=1,2,…,300)全部介于45分到95分之间，学校将所 有分数分成5组：[45,55)，[55,65)，，[85,95]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组 9/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 数据的中间值作为代表)· 频率组距 0.036 0.020 0.014 0.006 0455565758595测试分数 (1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x: (2)学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由 四舍五入保留一位小数)； (3)试估计这300名学生的分数x,i=1,2,,300)的方差s2,并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成 绩是否进入到了[x-S,x+s]范围内？ （参考公式：-1∑x-,其中万为各组频数，参考数据：29≈114). n 28.(24-25高一下·湖南岳阳华容县期末)甲、乙两人在校园运动会“趣味数学挑战”中玩骰子游戏规则如下： 准备两个相同的六面骰子（点数1,2,3,4,5,6），甲先掷第一个骰子，记录点数为a(每次掷骰子后骰子独立， 即后续掷骰子不受前次影响)此时甲有两种选择： ①再掷一次骰子，记录点数为b,甲的最终挑战分数取两次中的较大值（即max{a,b}); ②直接结束，甲的最终挑战分数为α 随后乙掷一个骰子，记录点数为c,若c>甲的最终分数，则乙赢，否则甲赢游戏结束 问题： (1)若甲选择②（只掷1次)，求甲赢的概率； (2)若甲选择①（掷2次），求甲赢的概率： (3)当甲第一次掷出的点数α为多少时，甲选择②赢得游戏的概率大于选择①的概率？ 29.(24-25高一下湖南永州期末)数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和 1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字发送数字0时，收到的数字是0的概率为p,(0<p<1), 收到的数字是1的概率为1-P；发送数字1时，收到的数字是1的概率为P2(0<P2<),收到的数字是0 的概率为1-P,假设每次数字的传输相互独立，且户×P,=2 1 2 3 ()若发送的数据为01，且A=了，B=4,求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率， 10/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为(X),如X=“O01”,则n(X)=2,对应的概率记为 pn(X）=2) (i)若发送的数据为：“011”，且2P(nX)=2)=13P(nX)=3,求P2; (ii)若发送的数据为0101”，求P(n(X)=2)的最大值 30.(24-25高一下·湖南名校联考联合体期末)在不透明的甲袋中装有相同的6个红色的乒乓球，其中Q个球 上标有数字1，b个球上标有数字2,6-α-b个球上标有数字3，在不透明的乙袋中装有相同的3个白色的乒乓 球，其中m个球上标有数字1，n个球上标有数字2,3-m-n个球上标有数字3. (1)若a=b=2,m=n=1,分别从甲、乙袋中随机摸出一个球，求摸出两个球的数字相等的概率； (2)若a=2,b=4,m=1,n=0,从甲袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为p,再从乙袋中有放回地 随机摸出两个球，记下数字之和为9，求p<9的概率； (3)若a=2,b=4,m=1,n=2,将乙袋中的球倒入甲袋中，此时从甲袋中不放回地依次取2个小球，每次取1 个，记事件M={第一次取到的是红球}，事件N={第二次取到了标记数字1的球}，M,N是否相互独立？请 说明理由. 11/11