专题04 立体几何小题综合（6大考点）（期末真题汇编，湖南专用）高一数学下学期

**基本信息** 立体几何小题综合汇编，涵盖湖南多地高一下期末试题，聚焦6大高频考点，注重基础计算与空间动态问题结合，融入数学文化。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）、填空|40题|斜二测画法、空间位置关系、表面积体积、球体、空间角、动点截面|结合《九章算术》“方亭”“鳖臑”考查体积（题15、24）；多选题考查综合辨析（题16、35）；动态问题（翻折、动点轨迹，题29、34）提升空间想象|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04立体几何小题综合 ☆6大高频考点概览 考点01斜二测画法中有关量的计算 考点02空间中点线面位置关系的渊判断 考点03侧面积、表面积、体积的计算 考点04球体 考点05空间角的计算 考点06动点、截面、轨迹、最值 目目 考点01 斜二测画法中有关量的计算 1.(24-25高一下·湖南郴州期末)如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的 直观图，其中A'B'=2,B'C'=4,则原四边形ABCD的周长为() A /0'B C A.12 B.28 C.8+210 D.20 目目 考点02 空间中点线面位置关系的判断 2.(24-25高一下·湖南多校联考·期末)己知m,n是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题正确的 是() A.若m/1a,m⊥n,则n⊥a B.若m⊥a,m⊥n,则nl/a C.若m/la,n上a,则m⊥n D.若m/1a,nlla,则mlin 3.(24-25高一下·湖南怀化期末)已知平面a⊥B,直线1aa,则1∥a”是“1⊥B”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高一下·湖南邵阳新邵县期末)已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题 中正确的是() A.若m11a,n/1B,a/1B,则m∥n B.若m/la,m⊥n,n⊥B,则a/B 1/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.若m⊥B,n⊥a,m∥n,则a/B D.若⊥阝，mca,ncB,则m⊥n 5.(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县期末)已知空间中两条不同的直线m,1和三个不同的平面α、B、y,满足 a⊥y,B⊥y,a∩B=1,则“m∥1”是“m⊥y”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 目目 考点03 侧面积、表面积、体积的计算 6.(24-25高一下·湖南永州期末)已知圆锥的底面周长为6m,高为5，则该圆锥的体积为 7.(24-25高一下湖南郴州期末)某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（) A.3π B.√3π C.3 D 8.(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)己知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则 此正四棱锥的体积为 9.(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)己知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的 表面积等于() A.2V2π B.3π C.23n D.4π 10.(2425高一下湖南衡阳衡南县期末)底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的；，则该圆柱的高 为 11.(24-25高一下·湖南郴州期末)在正三棱台ABC-AB,C,中，AB=2,A,B,=1,棱台的高为√3，则该棱 台的体积为 12.(24-25高一下·湖南娄底部分普通高中期末)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7， 圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为() A.8 B.7 C.5 D.4 13.(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知一个圆台形容器的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3， 装满水后再全部倒入一个底面半径为2，高为3的圆柱形容器中，则水深为 14.(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)己知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 √3，则圆锥的表面积为() A.9n B.6V3π C.(9+63)π D.18+6V5)π 2/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 15.(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县期末)《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长 为2，下底面边长为6，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为() A.104V2 B.92v2 C.80W2 D.68V2 3 3 16.(24-25高一下·湖南名校联考联合体期末)（多选）若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊 接成底面半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密圆柱、上下底面半径分别为，，高为2的一个 密闭圆台及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是() A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台 17.(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A, C的动点，S0=4AC,AB=BC,E为线段AB上的动点，当(SE+CE)=2(V5+1时，圆锥的体积等 于 S K.Q 目目 考点04 球体 18.(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)若半径为2的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接 球的体积为 19.(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直 径2R相等，下列结论不正确的是（) A.圆柱的侧面积为4元R B.圆锥的侧面积为√5πR2 C.圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和D.三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 20.(24-25高一下湖南衡阳第一中学.期末)已知长方体ABCD-A,B,CD,的体积V=12,AB=3,若四面体 A-B,CD,的外接球的表面积为S,则S的最小值为 21.(24-25高一下·湖南郴州期末)在三棱锥C-ABD中，△ABD和△BCD均为边长为2√5的等边三角形， 二面角A-BD-C的大小为60°，则三棱锥C-ABD的外接球的表面积为 22.(24-25高一下·湖南多校联考期末)己知正方形ABCD的边长为4，将ABC沿对角线AC翻折，使二面 3/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 角B-AC-D为 ,则平面BCD截三棱锥B-ACD的外接球所得截面的面积为() 2π A.16x 3 B.32x C.8π D.9π 5 23.(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)己知直三棱柱ABC-AB,C1,AB⊥BC,AB=6,BC=8, 44=8,设该直三棱柱的外接球的表面积为S,该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为S,则三=(） S, A号 B. 27 c 4 D. 24.(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)（多选）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称 之为鳖懦，如图，在鳖懦P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=2,若鳖懦P-ABC外接球的体积 为 3,则当此鳖稠的体积最大时，下列结论正确的是() A.PA=BC=2√6 B.鳖牖P-ABC体积的最大值为2 C.点A到面PBC的距离是2西 D.鳖精P-ABC内切球的半径为5-6 3 目目 考点05 空间角的计算 25.(24-25高一下湖南怀化期末)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，A,B与AD所在直线所成的异面角的大小 为 26.(24-25高一下·湖南郴州期末)在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2√3，AD=AA,=2,则直线AC和 直线BC所成角的大小为() A.30° B.45 C.60° D.90° 27.(24-25高一下湖南名校联考联合体期末)如图，在棱长均为2的正四面体A-BCD中，F,F分别为 4/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 CD,BC的中点，则AE,EF所成角的余弦值为() D A.5 B.33 6 C.1 6 3 D.-② 6 28.(24-25高一下，湖南名校联考联合体·期末)如图，已知球0的半径为1，两个大圆面PAQ,PBQ互相垂 直，∠400=∠B0Q-行，若平面40B与平面PB0的夹角为a,则() A.1B=6 tand =2 .ana B.4B=6 5 C.4B= 2,tana=2 D.4B=1,tanc=2 1 29.(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M为BC的中点， 将△ABM沿直线AM翻折成△AB,M,连接B,C和B,D,N为B,D的中点，连接CN.则在翻折过程中，AB,与 CN的夹角为 B 习D B M 30.(24-25高一下·湖南永州期末)如图1，己知四边形PABC是直角梯形，AB11PC,AB⊥BC, PC=24B=2BC,D是线段PC中点将△P4D沿AD翻折，使∠PDC-号，连接PB,PC,如图2所示， 则PB与平面ABCD所成角的正弦值是() 5/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 P D A 图1 图2 A.10 B.V6 C.v6 D.3 4 4 3 3 31.(24-25高一下·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, AB⊥BC,AB=BC=2,PA=2√5，以AB为直径的圆弧AI在平面PAB内，点D是三角形PAB内圆弧 AI上（不含边界）的动点，则三棱锥C-ABD的体积最大值是，异面直线CD与AB所成角的余弦 值范围是一· Q D 32.(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)（多选）在如图所示的三棱锥0-ABC中，OA=1,OC=OB=2, 011平面08C,∠B0C-号下列结论正确的为() A A.直线AB与平面OBC所成的角为45° B.二面角0-BC-A的正切值为 3 C.0到面ABC的距离为 2 D.两条异面直线0C与AB所成的角的余弦值为5 33.(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团期末)（多选）如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，P为 6/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 BC的中点，Q为线段CC,上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的 是() D B D A.直线AP与直线CD所成角的正切值为号 B.当CQ=二时，截面S的形状为等腰梯形 C.当CQ=时，8与CA交于点，则CR=号 A 当CO<山时，直线O与平面4CC4的突角正弦值的取值范围是地 目目 考点06 动点、截面、轨迹、最值 34.(24-25高一下湖南多校联考期末)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A,BCD,中，M为棱DD上一点， 满足MD=1,F为正方形AA,D,D内一动点（含边界），且满足BF11平面BC,M,则线段BF长度的取值 范围为· D A D B 35.(2425高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)（多选）在正方体ABCD-A,B,C,D,中，P为线段A,B上的动点 (不包含端点)，则() A.存在点P,使得平面PDA⊥平面PAA B.不存在点P,使得平面APD,∥平面BDC 7/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.存在点P,使得直线PD,与AC所成角为 D.平面APD,截正方体所得的截面可能是等腰三角形 36.(24-25高一下·湖南多校联考·期末)（多选）如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,=2V5, AC=BC=3,点P是线段A,B的中点，点Q是棱CC,上的动点，则() A B A.AB⊥PQ B.存在点Q,使得PQ∥平面ABC C.三棱锥P-ABQ的体积为3 D.PQ+QA的最小值是√30 37.(24-25高一下湖南衡阳衡阳县期末)（多选）在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E是棱CC,的 中点，则() A.过点E有且只有一条直线与直线AB和AD都相交 B.过点E有且只有一个平面与直线AB和AD所成角相等 C.过A,D,飞点的截面把正体分成两部分，则该截面的面积为号 D.点Q是正方形BBCC内的动点，A,Q⊥BC,则Q点的轨迹长度是2√2 38.(24-25高一下湖南郴州期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M为线段 CC上的动点，动点P在平面A,BD内，则下列说法中正确的是() D A B M C B 8/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.当M为线段CC,中点时，平面BMD,截正方体所得的截面为平行四边形 B.当四面体ABMD的顶点在一个体积为名元的球面上时，CM=2 1 16 C.当PEA,B时，PA+PC取得最小值2√2+√2 D.CP+PM的最小值为3 3 39.(24-25高一下·湖南长沙浏阳·期末)（多选）如图，正三棱台ABC-A,B,C,的上、下底面边长分别为1和 3,侧棱长为2，则下列说法正确的是（) A C B A《 B A.该三棱台的体积为92 B.若点P在棱BB,上，则AP+CP的最小值为3√5 C.该三棱台内半径最大球的体积为√6π D.若过点C的平面a与平面ABB,A平行，则平面a截该三棱台所得的截面面积为√ 40.(2425高一下·湖南永州期末)（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中， AP=PD=2,AB=V6,CD=1,∠ADC=∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD,E是棱PA的中点，且BE‖平 面PCD,则() D A.AP⊥平面PCD B.异面直线BE与PD所成角的正切值为2 C.三棱锥P-ACD的外接球的表面积为36π D.底面四边形ABCD内（包含边界）有一动点Q,PQ=√3，则动点Q的轨迹长度为刀 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10/10 专题04 立体几何小题综合 6大高频考点概览 考点01斜二测画法中有关量的计算 考点02空间中点线面位置关系的判断 考点03侧面积、表面积、体积的计算 考点04球体 考点05空间角的计算 考点06动点、截面、轨迹、最值 ( 地 城 考点01 斜二测画法中有关量的计算 ) 1．(24-25高一下·湖南郴州·期末)如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（   ） A．12 B．28 C． D．20 【答案】D 【分析】根据斜二测画法及已知求出圆平行四边形的边长，即可得. 【详解】由题设，易知，则，故，， 所以，而，， 所以原四边形的周长为20. 故选：D ( 地 城 考点02 空间中点线面位置关系的判断 ) 2．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或或，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则，故C正确； 对于D：若，，则或与异面或与相交，故D错误. 故选：C. 3．(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用面面垂直的性质定理可得线面垂直，再利用线面垂直的性质定理可推线线平行，从而可推断命题的充要关系. 【详解】由平面，则在平面内存在直线， 又因为，所以， 又因为，直线，所以， 但是当，平面，并不一定能推出，    如图，在正方体中，平面平面，平面， 此时不垂直平面， 故“”是“”的必要而不充分条件, 故选：B. 4．(24-25高一下·湖南邵阳新邵县·期末)已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 5．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)已知空间中两条不同的直线m，l和三个不同的平面α、β、γ，满足，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先证明，再结合线面垂直的判定和性质及充要条件的概念判断即可. 【详解】令，，取γ内一点P使得，， 由，可得， 由可知，同理， 而，，，故． 若，，则； 若，，则， 故“”是“”的充要条件， 故选：C． ( 地 城 考点0 3 侧面积、表面积、体积的计算 ) 6．(24-25高一下·湖南永州·期末)已知圆锥的底面周长为，高为5，则该圆锥的体积为_______. 【答案】 【分析】根据圆锥底面周长求出底面半径，再结合圆锥体积公式求出圆锥体积. 【详解】已知圆锥底面周长，（其中为底面半径），解得， 已知圆锥的高，由圆锥体积公式可得：. 故答案为： 7．(24-25高一下·湖南郴州·期末)某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知圆锥底面半径，高为等边三角形的高为，再利用锥体体积公式即可求解. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形， 所以圆锥底面半径，高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 故选：C. 8．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为______. 【答案】/ 【分析】利用正四棱锥的侧面积是底面积的2倍求出侧面的高，进而求出锥体的高，代入体积公式求解即可. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为4，且侧面积是底面积的2倍， 所以，解得，所以， 所以. 故答案为： 9．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设母线长为，可得，再由圆锥的表面积公式计算可得. 【详解】因为圆锥的底面直径为2，即底面半径为， 设母线长为，则，则， 所以该圆锥的表面积为. 故选：B. 10．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 【答案】 【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】设该圆柱的高为， 则该圆柱的侧面积，表面积， 由题意可得，即，解得， 即该圆柱的高为， 故答案为： 11．(24-25高一下·湖南郴州·期末)在正三棱台中，，，棱台的高为，则该棱台的体积为________. 【答案】/ 【分析】根据台体体积公式计算可解. 【详解】， . 故答案为：. 12．(24-25高一下·湖南娄底部分普通高中·期末)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】D 【分析】设圆台上、下底面半径分别为，且，利用圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆台上、下底面半径分别为，且， 由题知，又圆台的母线长为7，侧面积为， 则，解得， 故答案为：D. 13．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知一个圆台形容器的上底面半径为，下底面半径为，高为，装满水后再全部倒入一个底面半径为，高为的圆柱形容器中，则水深为______. 【答案】 【分析】求出圆台的体积，可得出水的体积，倒入圆柱形容器后，设水深为，利用柱体体积公式可求出的值. 【详解】由题意可知，水的体积等于圆台的体积， 根据题中数据可知，水的体积为， 将水倒入一个底面半径为，高为的圆柱形容器中，设水深为， 由柱体体积公式可得，解得. 故答案为：. 14．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据侧面积相等列方程求得底面半径，进而求得圆锥的表面积. 【详解】设两者的底面半径为r，则由侧面积相等可得，解得， 故圆锥的表面积. 故选：C 15．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”．现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找到侧棱与下底面所成的角，求出侧棱长，求出正四棱台的高即可求出此方亭的体积. 【详解】如图，分别是正四棱台不相邻两个侧面的高，是一条侧棱， 过作，连接， 所以是正四棱台的高，所以， 因为，所以， 所以方亭的体积为． 故选：A． 16．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)（多选）若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为2的一个密闭圆台及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 【答案】AC 【分析】分别计算圆锥，圆柱，圆台，球的体积表面积，并求得体积与表面积之比，进行判断即可. 【详解】圆锥的体积为：，表面积为：， 所以， 圆柱的体积为：，表面积为：， 所以， 圆台的体积为：， 表面积为：， 所以， 球的体积为：， 表面积为：， 所以， 所以圆柱、球的体积与其表面积之比最大. 故选：AC 17．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，E为线段AB上的动点，当时，圆锥的体积等于_________ 【答案】/ 【分析】先将以为轴旋转到与共面，得到，结合，利用余弦定理求解得出，最后应用圆锥体积公式计算求解. 【详解】由，所以，又因为，且，所以， 所以，所以是等边三角形， 将以为轴旋转到与共面，得到，， 如图： 则，设 因为， 。 则，所以，所以， 圆锥的体积等于. 故答案为：. ( 地 城 考点0 4 球体 ) 18．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)若半径为2的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的体积为______． 【答案】 【分析】易知正三棱柱的高为4，内切球与外接球的球心重合，底面三角形的内切圆半径为2，可求出外接球半径，再利用球的体积公式求解． 【详解】易知该正三棱柱的高为， 不妨记下底面的顶点为A，B，C，易知内切球与外接球的球心重合，记为O， 显然的内切圆半径为2，记内切圆圆心为，则，， 故外接球半径， 故外接球体积， 故答案为：． 19．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 【答案】C 【分析】根据圆锥，圆柱，以及球的表面积和体积公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】 对A，圆柱的侧面积等于，A正确； 对B，圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，B正确； 对C，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 球的体积为，所以，C错误； 对D，圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 球的表面积为，由于，所以圆柱的表面积最大，D正确. 故选：C． 20．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______. 【答案】 【分析】设，由长方体体积可得，即而求出四面体的外接球的半径，结合球的体积公式以及基本不等式，即可求得答案. 【详解】设，由于，故； 结合长方体性质可知四面体的外接球即为长方体的外接球， 则外接球半径为， 则外接球的表面积为 ，当且仅当时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 21．(24-25高一下·湖南郴州·期末)在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，二面角的大小为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【分析】根据题意作出球心，利用正弦定理求得四边形外接圆直径，根据勾股定理即可求外接球半径，得到表面积. 【详解】设的外心为，过分别作平面和平面的垂线， 则垂线交点即为三棱锥的外接球的球心，设中点为， ，则就是二面角的平面角，， 又和均为边长为的等边三角形，所以， 又，所以为等边三角形，则四边形外接圆直径， 所以三棱锥的外接球半径， 则外接球的表面积. 故答案为：. 22．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知正方形ABCD的边长为4，将沿对角线AC翻折，使二面角为，则平面BCD截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为，连接，利用余弦定理求，再利用余弦定理求，进而得，由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为，最后利用正弦定理求，进而求解. 【详解】取的中点为，连接，由题意有，所以， 所以为二面角的平面角，所以，， 由余弦定理有，所以， 又由余弦定理得， 所以， 由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以该圆的面积为， 故选：B. 23．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球的性质结合条件可得直三棱柱外接球半径，然后根据直三棱柱的底面三角形内切圆半径结合条件可得内切球半径，进而得解. 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 24．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)（多选）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（    ） A． B．鳖臑体积的最大值为2 C．点到面的距离是 D．鳖臑内切球的半径为 【答案】BCD 【分析】根据外接球体积得到外接球半径，找到球心位置，设，，利用基本不等式得到体积的最值及判断AB，利用等体积法判断CD. 【详解】选项AB：设鳖臑外接球半径为， 由题意可得，解得， 因为四个面都为直角三角形，中点到四个顶点的距离都相等， 所以点是外接球的球心，， 因为平面，，， 所以， 设，，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，鳖臑体积的最大值为2，A错误，B正确； 选项C：设点到面的距离为， 因为平面，所以，， 所以，，解得， 即点到面的距离为，C说法正确； 选项D：因为， 所以，，，， 设鳖臑内切球的半径为，则， 即，解得，D说法正确； 故选：BCD ( 地 城 考点0 5 空间角的计算 ) 25．(24-25高一下·湖南怀化·期末)在正方体中，与所在直线所成的异面角的大小为______． 【答案】 【分析】利用异面直线所成角的定义及正方体的性质，即可求解. 【详解】如图，因为，则为与所成的角或其补角， 又由正方体的性质知，面，又面，所以，则， 故答案为：. 26．(24-25高一下·湖南郴州·期末)在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知找到异面直线所成角的平面角，再根据已知求其大小即可. 【详解】由长方体结构知且，则为平行四边形，故， 所以直线和直线所成角，即为或其补角，而，，， 所以，则. 故选：C 27．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)如图，在棱长均为2的正四面体中，，分别为，的中点，则，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算，然后可得，所成角的余弦值为，直接计算即可. 【详解】由题可知：， 所以，所成角的余弦值为， 故选：A 28．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)如图，已知球的半径为1，两个大圆面，互相垂直，，若平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，⊥平面，⊥，由余弦定理和勾股定理求出各边长，求出，求出，利用得到，进而求出正切值. 【详解】过点作⊥，垂足为， 因为两个大圆面，互相垂直，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，所以， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 由勾股定理得， 又，由勾股定理逆定理得⊥， 故， 在中，由余弦定理得， 故， ， 故，故. 故选：A 29．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为______. 【答案】 【分析】取的中点，连接，（或其补角）就是与CN所成的角，进而计算求解即可. 【详解】取的中点，连接， 则，则（或其补角）就是与CN所成的角， 因为M为BC的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，，所以， 因为菱形ABCD中，，所以是等边三角形，所以， 所以，即，所以， 又，所以，，， 所以， 所以，所以， 所以，所以与CN的夹角为. 故答案为：. 30．(24-25高一下·湖南永州·期末)如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【详解】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 31．(24-25高一下·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)如图，在三棱锥中，平面，，，，以AB为直径的圆弧在平面PAB内，点D是三角形PAB内圆弧上（不含边界）的动点，则三棱锥的体积最大值是______，异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得平面平面，求得点D到的距离的最大值可求最大体积；建立空间直角坐标系，利用向量法可得，进而求得范围. 【详解】因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面平面， 又因为，，所以，所以， 所以圆弧所对的圆心角为，又点D是三角形PAB内圆弧上， 所以点D到的距离的最大值为圆的半径1， 所以三棱锥的体积最大值是； 如图，在平面内过作， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图的示的空间直角坐标系， 则， 因为，， 因为，所以，所以，， 设异面直线CD与AB所成的角为， 所以， 令，，则， 又函数在上为减函数，所以， 所以异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是. 故答案为：①；②. 32．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)（多选）在如图所示的三棱锥中，，平面，，下列结论正确的为（　　） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．两条异面直线与所成的角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】根据线面角的定义判断A，取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，求解可判断B，利用等体积法求解可判断C，利用定义法求得异面直线所成的角的余弦值可判断D. 【详解】因为平面，故为直线与平面所成的角， 又，所以， 故直线与平面所成的角不是，故A不正确； 如图，取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面面，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 因为，，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以二面角的正切值为，故B正确； 因为，，所以， ，， 设到面的距离为，由，得， 所以，解得，故C正确； 如图，过分别作，交于点，连接， 则（或其补角）为异面直线所成的角， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以两条异面直线所成的角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD. 33．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期末)（多选）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．当时，截面S的形状为等腰梯形 C．当时，S与交于点R，则 D．当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，通过平移得到线面所成角，计算即得；对于B，利用面面平行的性质定理作出截面，即可判断其形状；对于C，通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即得；对于D，取中点，连接，交于点，连接，可证平面，推得即直线与平面的夹角，设，，结合图形求出，由函数的单调性即可求得其范围. 【详解】对于A，因，故即直线与直线所成角， 因，故A正确； 对于B，如图，连接，因，易得， 因平面平面，连接即为截面S与正方体的一条截线， 连接，计算易得，故截面S的形状为等腰梯形，故B正确； 对于C，如图，过点作的平行线交直线于点，连接，交于点， 因，易得，则，于是，，则， 如图，又可得，则，即，解得：，故C错误； 对于D，如图，取中点，连接，交于点，连接， 易得，则，又因平面，平面，则， 因平面，故平面， 则即直线与平面的夹角，设为，不妨设，则， 在中，， 因，则，可得，故D正确. 故选：ABD. ( 地 城 考点0 6 动点、截面、轨迹、最值 ) 34．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)如图，在棱长为3的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点（含边界），且满足平面，则线段长度的取值范围为______.    【答案】 【分析】在取点，使得，连接，分别证得平面和平面，得到平面平面，得到在线段上，根据为等腰三角形，即可求解. 【详解】如图所示，分别在取点，使得， 连接，可得， 在正方体中，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又由，且，可得为平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且为正方形内一动点，所以在线段上， 在中，可得， 在中，可得，且， 所以为等腰三角形，取的中点，连接， 在中，可得， 所以的最短距离为，最长距离为， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：.    35．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)（多选）在正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．存在点，使得平面平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与所成角为 D．平面截正方体所得的截面可能是等腰三角形 【答案】ACD 【分析】对A，利用面面垂直的判定定理即可判断；对B，当点为的中点时，证明面面平行，即可判断；对C，当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断；对D，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形. 【详解】对于A，因为在正方体中，平面， 又平面与平面是同一个平面，平面， 所以无论点在线段（不含端点）上任何位置都有平面平面，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有，平面，平面，所以平面， 同理，平面，且，平面， 所以平面平面，故B错误； 对于C，当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接， 过点作，交于，则， 又正方体中，，所以，则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故C正确； 对于D，如图，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形，故D正确. 故选：ACD. 36．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)（多选）如图，在直三棱柱中，，，点P是线段的中点，点Q是棱上的动点，则（    ） A． B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积为3 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】取的中点为，连接，即证平面，即可判断A，当为中点时，得，根据线面平行判断定理即可判断B，先证平面，得点到平面的高为，即计算即可判断C，将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，利用勾股定理计算即可判断D. 【详解】取的中点为，连接，由点P是线段的中点，所以， 在直三棱柱中有平面，所以平面， 又平面，所以，又，所以， 又，平面，平面，又平面，所以，故A正确； 当为中点时，因为，又， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 又，，所以，， 又平面，平面，所以，又，，平面， 所以平面，所以点到平面的高为，又， 所以，故C错误； 将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，由， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 37．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)（多选）在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（    ） A．过点E有且只有一条直线与直线和都相交 B．过点E有且只有一个平面与直线和所成角相等 C．过A，，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的面积为 D．点Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹长度是 【答案】ACD 【分析】利用平面的性质判断A；举例说明判断B；取中点为F，作出截面并求出其面积判断C；可证得平面，可知点Q的轨迹为线段，求出轨迹的长度判断D. 【详解】对于A选项，记点Q为上一点，与相交于点P，易知此时Q在平面上， 而直线与平面有且仅有唯一交点，故有且仅有一个点Q符合条件， 于是满足条件的直线有且仅有一条，A正确， 对于B选项，一个平面与所成角等于该平面与直线所成角. 根据正方体的对称性可知，平面，平面均符合要求，B错误， 对于C选项，取中点为F，显然， 故该截面的面积可等价为梯形的面积， 而，，， 故由平面几何知识可知该梯形的高为， 其面积，C正确， 对于D选项，因为平面，平面，所以， 因为是正方形，所以， 又，平面，平面，故平面， 又，平面，点Q是正方形内的动点， 可知点Q的轨迹为线段，长度为，D正确， 故选：ACD． 38．(24-25高一下·湖南郴州·期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，动点在平面内，则下列说法中正确的是（   ） A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时， C．当时，取得最小值 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】A应用平面基本性质画出截面，应用面面平行的性质判断；B四面体的外接球即为的外接球，利用几何关系及已知列方程求线段长判断；C将平面与平面展开到一个平面内，根据两点间线段距离最短求解判断；D在平面内，过作，交延长线于，连接，关于直线对称的直线在平面内，其中为的对称点，应用二倍角余弦公式求得，进而确定最小时的位置，再应用余弦定理求长度判断. 【详解】对于A：连接并延长，交延长线于，连接并延长，交延长线于， 连接，交于，最后连接，即得平面截正方体所得的截面， 由为线段中点，根据等比例关系有为的中点，易知， 由平面平面，截面分别交平面、平面于， 所以，故截面为平行四边形，A正确； 对于B：四面体的外接球即为的外接球，令， 由正方形的外接圆半径为，则外接球半径， 所以，则，即，可得，B正确； 对于C：将平面与平面展开到一个平面内，如下图，则最小为长度， 又，则，C错误； 对于D：在平面内，过作，交延长线于，连接， 所以关于直线对称的直线在平面内，其中为的对称点， 易知，，，且， 所以， 当时，此时在延长线上，不符； 所以，当与重合时，最小，D正确. 故选：ABD 39．(24-25高一下·湖南长沙浏阳·期末)（多选）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．该三棱台的体积为 B．若点在棱上，则的最小值为 C．该三棱台内半径最大球的体积为 D．若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 【答案】BD 【分析】利用正三棱台的结构特征，结合已知求出高，再求出体积判断A；把等腰梯形与展开置于同一平面，求出判断 B；求出体积为的球直径与棱台的高比较判断C；求出截面面积判断D. 【详解】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，连接， 则，高， ，， 则三棱台的体积，A错误； 对于D，在上分别取点，使，连接， 而，则四边形均为平行四边形，即，， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又，所以平面， 因此为平面截该三棱台所得的截面. 而，又，则为正三角形，， 截面面积，D正确； 对于B，把等腰梯形与展开置于同一平面，连接， 由选项D知，为正三角形，则，，等腰中，，则底边， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时，取得最小值，B正确； 对于C，体积为的球半径，，解得，该球的直径， 则此球不可能在正三棱台内，C错误. 故选：BD. 40．(24-25高一下·湖南永州·期末)（多选）如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点，且∥平面，则（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的正切值为2 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．底面四边形内（包含边界）有一动点Q，，则动点Q的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】由面面垂直的性质定理及线面垂直的判断定理可判断A；取中点为，连接，则可得为与所成角（或补角），由面面平的判断定理及以性质定理可得平面在直角三角形中，求解即可；由题意可得三棱锥的外接球球心为的中点，求得半径为，求出外接球的表面积，即可判断C；确定动点的轨迹是以为圆心1为半径的半圆，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为平面平面，交线为， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取中点为，连接， 因为为中点， 所以∥， 所以为与所成角（或补角）， 又平面，平面，所以∥平面， 又因为∥平面，，平面平面， 所以平面∥平面， 又平面平面，平面平面， 所以∥， 又平面， 所以平面平面， 所以，，， 所以，故B正确； 对于C，因为和为直角三角形， 所以三棱锥的外接球球心为的中点， 又因为 ， 所以，， 所以半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D，连接，则为三棱锥的高， 又，， 所以, 故， 所以动点的轨迹是以为圆心1为半径的半圆，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：C选项中，得到三棱锥的外接球球心为的中点是判断C的关键. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $