专题06 统计与概率（8大考点）（期末真题汇编，湖南专用）高一数学下学期

**基本信息** 汇集湖南多地期末真题，聚焦统计与概率8大高频考点，情境融合大运会、无人机展等社会热点，分层设计基础与综合题。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择填空|40题|随机抽样、百分位数、方差计算等|如分层抽样结合实际人数比例（题1-3），百分位数计算（题5-12）| |解答题|28题|频率分布直方图、古典概型、独立事件|如结合电影票房频率分布直方图求百分位数（题27），数据传输方案概率比较（题64）|

专题06 统计与概率 8大高频考点概览 考点01随机抽样 考点02百分位数 考点03频率分布直方图 考点04极差、平均数、方差及样本方差 考点05事件的判断 考点06古典概率 考点07互斥事件的概率公式 考点08独立事件的概率公式 ( 地 城 考点01 随机抽样 ) 1．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为108的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（   ） A．36 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】计算出高三年级学生人数的占比，乘以108可得结果. 【详解】由题意得从高三年级抽取的学生人数为. 故选：C. 2．(24-25高一下·湖南永州·期末)某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽取的学生人数为（    ） A．110 B．100 C．90 D．80 【答案】A 【分析】由题意及分层抽样知识可得答案. 【详解】样本中高一年级的学生人数为． 故选：A 3．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　） A．11，14，11 B．12，12，12 C．14，12，10 D．13，12，11 【答案】D 【分析】根据分层抽样的定义求得抽样比，分别计算每个年级被抽到的人数，可得答案. 【详解】用分层抽样在各层中的每个个体被抽到的可能性为， 则在高一年级抽取的人数是（人）， 高二年级抽取的人数是（人）， 高三年级抽取的人数是（人）， 所以高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为13，12，11, 故选：D. 4．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． (1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围； (2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据必然事件的概念和已知条件即可求出的取值范围. （2）根据随机事件的概念和已知条件即可求出的取值范围. 【详解】（1）必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件. 已知班级里有20个男生，18个女生，总人数为人. 要使女生被抽到是必然事件，意味着抽取的人数要足够多，使得在抽取个人时，不可能只抽到男生. 因为男生有20人，所以当时，就不可能只抽到男生，必然会抽到女生. 所以可知的范围是. （2）随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件. 要使女生小雪被抽到是随机事件，则抽取的人数要满足： 抽取的人数至少为1人，因为如果，则不存在抽取的情况; 抽取的人数最多为37人，因为如果，那么所有人都会被抽到， 此时小雪被抽到就是必然事件，而不是随机事件. 所以的取值范围是. ( 地 城 考点02 百分位数 ) 5．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为（    ） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】根据百分位数求解规则直接求解即可. 【详解】由题知该组数据共有10个， ， 组数据的40%分位数为. 故选：C. 6．(24-25高一下·湖南娄底部分普通高中·期末)有一组数据按从小到大排序如下：、、、、，则这组数据的分位数，分位数分别是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为，， 所以，这组数据的分位数、分位数分别是、， 故选：C. 7．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)八名学生的高考总分分别为，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．667 B．671 C．673 D．675 【答案】C 【分析】由百分位数的计算公式计算可得答案． 【详解】将这组数据由小到大排列为：， 因为，所以选取第6个和第7个数的平均数作为结果， 所以这组数据的第75百分位数是． 故选：C． 8．(24-25高一下·湖南邵阳石齐中学·期末)数据13，15，18，20，21，26，27，29，31，35的第70百分位数是（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】由百分位数计算方式可得答案. 【详解】因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个与第8个数据的平均数，即． 故选：B 9．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的第75百分位数为_____. 【答案】10 【分析】求出，根据第75百分位数定义可得答案. 【详解】由题意可得：，解得， 将数据按升序排列可得：3，4，6，6，8，10，12. 因为，所以第75百分位数为第6位数10. 故答案为：10. 10．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期末)某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为______． 【答案】86 【分析】根据百分位数的计算规则即可求解. 【详解】，故这组数据的第25百分位数为86， 故答案为：86 11．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，34，32，41，则这8人年龄的25%分位数是_______. 【答案】33 【分析】将他们的年龄从小到大排序，根据百分位数的定义即可求得. 【详解】将他们的年龄从小到大排序为：29，32，34，35，36，38，40，41. 因，故这8人年龄的25%分位数是. 故答案为：33. 12．(24-25高一下·湖南郴州·期末)已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是________. 【答案】6.5/ 【分析】首先将数据从小到大进行排序，然后根据百分位的计算公式确定其位置，最后根据位置得出第75百分位数. 【详解】对原始数据从小到大排序为： 因为， 所以第75百分位数为第6个和第7个的平均数，即， 所以这组数据的第75百分位数是， 故答案：. 13．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)（多选）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 【答案】BD 【分析】对于A，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可判断；对于B，利用频率、频数以及样本总容量的关系可判断；对C，计算出样本中支出在的频率，结合分层抽样可判断；对D，根据百分位数的定义计算. 【详解】对于A，样本中支出在元的频率为，故A错误； 对于B，由A知，故B正确； 对于C，样本支出在的频率为，则在中共需抽出人，故C错误； 对于D因为样本中支出在的频率为，所以第75百分位数位于区间内，记为， 则，解得，所以第75百分位数大约是52元，故D正确. 故选：BD. ( 地 城 考点0 3 频率分布直方图 ) 14．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识(综合安全事故､自然灾害等)网络测试，满分为100分．测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分． (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； (2)分别求图中的值与的值； 【答案】(1)0.01；85% (2)，． 【分析】（1）先求出a，再根据频率算出及格率即可； （2）根据及格率和平均值构造方程组计算即可； 【详解】（1）由题意·，，                        所以及格率为. （2）由题意可知：， 得， 平均分， 解得，． 15．(24-25高一下·湖南邵阳石齐中学·期末)某校组织学生参加交通安全知识培训，培训后进行测试（满分：100分）．现从该校参加培训测试的学生中随机抽取100名学生并统计他们的测试分数，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计该校学生这次测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）； (3)已知该校参加培训测试的学生有3500人，记测试成绩不低于90分的学生为优秀学员，估计该校这次测试的优秀学员的人数． 【答案】(1) (2)78 (3)525 【分析】（1）由频率分步直方图中所有矩形面积之和为1可得答案； （2）由（1）结合用频率分布直方图估计平均数方法可得答案； （3）由题可得不低于90分的频率，据此可得答案. 【详解】（1）由图可得，解得； （2）估计该校学生这次测试成绩的平均分为: 分； （3）由图可得测试成绩不低于90分的频率为0.15， 则该校这次测试的优秀学员的人数约为． 16．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)张先生在一家科技公司工作，每天早上自驾去公司上班.他统计了最近100次开车从家到公司的红灯等待时间并形成统计表，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. (1)求图中a的值，估计张先生最近100次红灯等候时间的平均数； (2)估计张先生红灯等待时间的上四分位数； (3)根据以上数据，估计张先生在接下来的20次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间不低于85秒的次数. 【答案】(1)，79.5 (2)87.5 (3)6次 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积为1计算可得，再根据平均数的公式求解即可； （2）利用百分位数定义计算可得结果； （3）求出红灯等待时间不低于85秒的频率，即可估计出所求次数. 【详解】（1）因为各组频率之和为1，组距为10， 所以，     解得. 平均数为. （2）因为前3组的频率为， 前4组的频率为， 所以上四分位数在第4组， 则上四分位数为. 所以红灯等待时间的上四分位数的估计值为87.5. （3）由题红灯等待时间不低于85秒的频率为， 故估计张先生在接下来的20次中红灯等待时间不低于85秒的次数为次. 17．(24-25高一下·湖南名校联盟汉寿一中等多校·期末)某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位: 分钟)， 并将样本数据分成 ，，，，，六组， 绘制如图所示的频率分布直方图. (1)若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名? (2)估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数. 【答案】(1) (2)该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为 【分析】（1）结合频率分布直方图，由频率计算概率，再计算人数即可； （2）利用频率分布直方图的平均数的计算公式可得平均数；先确定第百分位数在内，然后列式计算. 【详解】（1）由题意知不低于分钟的频率为， 所以该段日平均数学学习时长不低于分钟的学生有． （2），可知名学生的日平均数学学习时长的平均数约为． ， ， 所以第百分位数在内， 设第百分位数为，则有，解得， 所以该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为． ( 地 城 考点0 4 极差、平均数、方差及样本方差 ) 18．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)从A队30人、B队20人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.5；B队答对题目数的平均数为1.方差为0.4，则这5人答对题目数的方差为（    ） A．1.3 B．1.06 C．0.95 D．0.8 【答案】A 【分析】先求得整体平均数，然后根据总方差的计算公式求得正确答案. 【详解】显然抽取A队3人，B队2人，整体平均数， 故总方差. 故选：A 19．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（    ） A．，，…，的平均数为 B．，，…，的方差为 C．，，…，的25%分位数为 D．，，…，的极差为 【答案】C 【分析】设方差为，则，，即可判断AB，根据百分位数的定义即可判断C，利用极差的定义即可判断D. 【详解】对于A：，，…，的平均数为，故A错误； 对于B：，，…，的方差为，故B错误； 对于C：由，所以，，…，的25%分位数为，故C正确； 对于D：，，…，的极差为，故D错误. 故选：C. 20．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)已知某大厂的甲、乙车间生产的圆钢数之比为，现在要对甲、乙两个车间生产这种圆钢的直径进行误差抽检，具体要求为按比例分层抽检50根，若抽检的甲、乙车间圆钢的直径误差的平均值分别为，误差的方差分别为，则可以估计甲、乙车间的总体误差的方差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照分层抽样的方差计算公式计算即可. 【详解】由题可知：总体误差的平均数为 总体误差的方差为：. 故选：C 21．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生中抽取了一个容量为80的样本．已知该校男生人数比女生多800人，抽样结果显示：男生样本的平均身高为178，方差为200；女生样本的平均身高为162，方差为185．则下列说法中不正确的是（　　） A．抽取的样本里男生有48人 B．每一位学生被抽中的可能性为 C．估计该学校学生身高的平均值为171.6 D．估计该学校学生身高的方差为253 【答案】D 【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断各选项． 【详解】依题意可得该校女生人数为人，男生人数为人， 则该校男女生人数之比为， 对于选项A，根据分层随机抽样，则抽到男生人数为人，故选项A正确； 对于选项B，每一位学生被抽中的可能性为，故选项B正确； 对于选项C，估计该学校学生身高的平均值为，故选项C正确； 对于选项D，估计该学校学生身高的方差为，故选项D错误． 故选：D． 22．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)已知15个数，，  ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，，  ，的方差为__________． 【答案】 【分析】根据平均数和方差的公式求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以，所以剩余的10个数的平均数为． 根据方差公式， 得，， 即，， 所以， 所以剩余的10个数的方差为． 故答案为：． 23．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期末)在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为______． （参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，记总的样本平均数和样本方差为，，其中． 【答案】 【分析】根据题意，求得总体的平均数，结合分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20， 抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11， 则总体的平均数为， 则高三年级学生体重的方差为 . 故答案为：. 24．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________. 【答案】/ 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】设，，，，，， 则全班学生成绩的平均数为， 全班学生成绩的方差为， 故答案为： 25．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 【答案】(1)众数为27.5，第95百分位数为 (2)①4人，2人；②11 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，可求得众数与95百分位数. （2）利用分层抽样求出第四组、第五组抽取的人数，再利用分层抽样的方差计算公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知   众数的估计值为27.5， 由频率分布直方图可知，第95百分位数在第五组内， 设第95百分位数为， ，解得； （2）①由频率分布直方图可知，第四组的频率为0.2，第五组的频率为0.1， 第四组应该抽取人， 第五组应该抽取人； ②第四组和第五组的平均数为， . 26．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的众数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 【答案】(1) (2)众数为75，平均数为74 (3)总平均数为60，总方差为23 【分析】（1）根据各组小矩形的面积之和为1，即可求解； （2）最高小矩形中点的横坐标即为众数，根据平均数的计算公式即可求解平均数； （3）根据分层随机抽样的平均数与方差公式即可求解. 【详解】（1）各组小矩形的面积之和为1， ， . （2）由频率分布直方图可知：众数为75， 平均数为. 故估计样本成绩的众数为75，平均数为74. （3）由图可知，成绩在的人数为，成绩在的人数为， 故两组成绩合并后的总平均数为， 总方差为. 27．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本中年龄的第85百分位数. (2)从样本中年龄为，，的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差. 【答案】(1)； (2)4 (3)23；581 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为1计算可得，百分位数频率分布直方图求法计算可得第85百分位数； （2）利用分层抽样的概念求解即可； （3）由平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为， 所以第85百分位数在区间内，设第85百分位数为， 则，解得， 所以第85百分位数为； （2）由频率分布直方图可知年龄为，，的三组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取4人； （3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， . 28．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由四舍五入保留一位小数）； (3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】(1)， (2) (3)得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学的成绩未进入到区间范围. 【分析】（1）根据频率直方图，各组的频率之和为1，求出m，利用平均数的定义求出； （2）先求出90名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，利用百分位的定义求解； （3）先利用方差公式求出方差，再判断即可. 【详解】（1）由频率直方图总面积为1，可得： ， 解得， 根据频率分布直方图，各组中间值为：，对应频率为： ，所以： . （2）因为， 所以这90名学生的最低分数为该次校内测试分数的分位数. 又， 设这90名学生的最低分数为，所以， 所以分 （3） 所以， 所以，. 所以得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学成绩未进入区间范围. 29．(24-25高一下·湖南永州·期末)（多选）有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，若去除首末两个数，得到一组新的样本数据，则这两组数据的（    ） A．极差相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．平均数相等 【答案】BD 【分析】分别计算这两组数据的极差，中位数，方差，平均数比较即可. 【详解】原始数据的极差为8，中位数为5，平均数为， 方差为； 去除首末两个数余下数据极差为6，中位数5，平均数为， 方差为. 故选：BD 30．(24-25高一下·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)（多选）已知样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的6个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据，则（   ） A．样本A的极差小于样本B的极差 B．样本A的中位数等于样本B的中位数 C．样本A的平均数小于样本B的平均数 D．样本A的方差小于样本B的方差 【答案】ACD 【分析】A选项，分析两组数据，结合极差定义可判断A；B选项，利用中位数的定义可判断B；C选项，分析两组数据，结合平均数定义可判断C；D选项，样本A的离散程度小于样本B的离散程度，D正确. 【详解】A选项，由图可知样本A的最高点与最低点的高度差小于样本B的最高点与最低点的高度差， 所以样本A的极差小于样本B的极差，故A正确． B选项，因为中位数是由小到大排在中间两位数的平均数， 由图可知样本A的中间两位数的平均数小于B的中间两位数的平均数，故B不正确． C选项，由图可知样本A每个样本的数据均小于样本B的对应数据， 所以样本A的平均数小于样本B的平均数，C正确． D选项，样本A的离散程度小于样本B的离散程度，所以样本A的方差小于样本B的方差，D正确． 故选：ACD. 31．(24-25高一下·湖南怀化·期末)（多选）某学校举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（   ） A．这人成绩的中位数为分 B．这人成绩的众数约为分 C．这人成绩的平均分约为分 D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 【答案】BC 【分析】利用中位数、众数、平均数的计算方法，结合频率分布直方图，可判断出A，B和C正确，对于D，求出各组的频率比，即可求解. 【详解】对于选项A，设这人成绩的中位数为，则， 解得，所以选项A错误， 对于选项B，由频率分布直方图知，人成绩的众数在区间，约为分，所以B正确， 对于选项D，人成绩的平均分约为， 所以选项C正确， 对于选项D，由频率分布直方图知，各组频率比为， 所以成绩在区间应抽取，故选项D错误， 故选：BC. 32．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)（多选）在某次高三模拟考试后，数学老师统计了第一组的8名同学第19题的得分情况如下：7，9，5，8，5，3，3，3，第二组的8名同学第19题的得分情况如下：8，10，6，9，6，4，4，4，则（    ） A．第二组的平均数比较大 B．两组的中位数之差的绝对值为1 C．两组的众数相等 D．两组的极差相等 【答案】ABD 【分析】根据平均数，中位数，众数，极差定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】在某次高三模拟考试后，数学老师统计了第一组的8名同学第19题的得分情况如下：3，3，3，5，5，7，8，9，第二组的8名同学第19题的得分情况如下：4，4，4，6，6，8，9，10， 第一组和第二组的平均数分别是，第二组的平均数比较大，A选项正确； 第一组和第二组的中位数分别是5，6，所以中位数之差的绝对值为1，B选项正确； 第一组和第二组的众数分别是3，4，不相等，C选项错误 第一组和第二组的极差分别是相等,D选项正确； 故选：ABD 33．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)（多选）衡阳市某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ） A． B．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用比例分配的分层抽样方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生8人； C．该样本数据的中位数和众数均为85； D．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本认为该校食堂不需要整改 【答案】AB 【分析】对于A，利用各小组数据的频率之和等于1即可求得的值；对于B，根据分层抽样计算抽样比即可求得；对于C，利用频率分布直方图中求百分位数的方法计算中位数和众数即可判断；对于D，利用频率分布直方图中求平均数的公式计算即可判断. 【详解】对于A，由图可得，解得，故A正确； 对于B，由图知，评分低于80分的学生有人， 随机抽取人，抽样比为，故应选取评分在的学生人，故B正确； 对于C，因前三组的频率之和为，前四组的频率之和为：， 故中位数在第四组，中位数为，众数为，故C错误； 对于D，该样本数据的平均数为：， 根据此样本认为该校食堂需要整改，故D错误. 故选：AB. ( 地 城 考点0 5 事件的判断 ) 34．(24-25高一下·湖南永州·期末)一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断AC；利用事件独立性的定义即可判断B；列出事件的样本空间即可判断D. 【详解】设2个红球为，4个绿球为，所以 ，， ，，， 由，所以A与B不互斥，故A错误； ， 因为，所以A与C不独立，故B错误； 由，所以C与D互为对立事件，故C正确； 显然，故D错误. 故选：C. 35．(24-25高一下·湖南郴州·期末)同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（   ） A．与对立 B． C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】B 【分析】根据对立事件的定义，可判定A错误；根据古典摡型的概率计算公式，可判定B正确；利用古典摡型的概率计算公式，结合，可判定C错误；结合，可判定D错误. 【详解】对于A中，当时，，，事件与同时发生， 所以事件与不对立，所以A错误； 对于B中，因为，当时，要使得为偶数，有6种情况； 当时，要使得为偶数，则，有3种情况； 当时，要使得为偶数，有6种情况， 又由抛掷两枚骰子，共有种情形，所以，所以B正确； 对于C中，事件有：，共有5种情形，概率为， 事件“”，有 ，共有18种情形， 所以概率为，且， 则，所以与不相互独立，所以C错误； 对于D中，事件“为偶数”，事件“为奇数”， 有共9种情形， 所以概率为， 又由，，可得， 所以与不相互独立，所以D错误. 故选：B. 36．(24-25高一下·湖南邵阳邵东·期末)（多选）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是（    ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】ABC 【分析】利用互斥事件与对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与C也互斥， 但是，又， 所以与C不是对立事件，故A错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与D也互斥， 但是，， 所以与D不是对立事件，故B错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与也互斥， 又因为，， 又因为，所以与是对立事件，故C错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与也互斥， 又因为， 所以，所以A与也是对立事件，故D正确． 故选：ABC. 37．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)（多选）下列结论正确的是（    ） A．若与是互斥事件，则与也是互斥事件 B．若事件、满足，则与是对立事件 C．若与是互斥事件，则 D．若，，与相互独立，则 【答案】CD 【分析】利用韦恩图法可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用互斥事件的概率加法公式可判断C选项；利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、是互斥事件，如下图所示，则，A错； 对于B选项， 若事件、满足且，则与是对立事件，B错； 对于C选项，若与是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可得，C对； 对于D选项，若，，与相互独立，则与也相互独立， 所以， 故，D对. 故选：CD. 38．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)（多选）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（   ） A． B． C．与互斥 D．与相互独立 【答案】BD 【分析】根据题设先求出可判断C；结合古典概型、相互独立的概率公式判断AD；根据概率的基本性质判断B. 【详解】因为，，，， 所以，所以与不互斥，故C错误； 而，，， 所以，即与相互独立，故A错误，D正确； 而，故B正确． 故选：BD 39．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)（多选）据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择技术学科”，“选择一门理科学科”，“选择历史学科”，“选择一门文科学科”，以下结论正确的是（   ） A．F和G是互斥事件但不是对立事件 B．F和H是互斥事件也是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】由互斥事件和对立事件的定义和概率性质逐项分析即可求解. 【详解】对于A，事件F表示“选择一门理科学科”，事件G表示“选择历史学科”， 所以，所以F和G是互斥事件， 除了理科学科和历史学科外，还有其他文科 学科（政治、地理）， 所以（为总样本空间），即F和G不是对立事件，故A正确； 对于B，事件F表示“选择一门理科学科”，事件H表示“选择一门文科学科”， 所以，且所以（为总样本空间）， 所以F和H是互斥事件，也是对立事件，故B正确； 对于C， 事件E表示“选择技术学科”，事件H表示“选择一门文科学科” 因为技术学科是理科，所以E和H是互斥事件，所以，故C正确； 对于D，事件E表示“选择技术学科”，事件G表示“选择历史学科”，E和G是互斥事件， 但（为总样本空间），所以，故D错误. 故选：ABC 40．(24-25高一下·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BD 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 由题意，共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A： 事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. ( 地 城 考点0 6 古典概率 ) 41．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间为，共6个样本点， 设选出的两人恰好是两名女生为事件，则，共1个样本点， 故选出的两人恰好是两名女生的概率是. 故选：B. 42．(24-25高一下·湖南邵阳石齐中学·期末)现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由列举法可得录取总情况数及录用的2人性别不同的情况数，据此可得答案. 【详解】记男性应聘者分别为，女性应聘者分别为， 从这5人中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，共10种， 其中2人性别不同的情况有，，，，，，共6种，故所求概率． 故选：C 43．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)从1，2，3，5这四个数中随机取出2个不同数，则它们差的绝对值为质数的概率为______． 【答案】/0.5 【分析】先求出从四个数中随机取两个不同数的所有可能情况，再找出它们差的绝对值为质数的情况. 【详解】从1，2，3，5这四个数中随机取出2个不同数，共有种，所有可能的组合及其差的绝对值为： 若取和，，不是质数； 若取和，，是质数； 若取和，，不是质数； 若取和，，不是质数； 若取和，，是质数； 若取和，，是质数； 满足它们差的绝对值为质数的组合为、、，共3种，该事件概率为. 故答案为：. 44．(24-25高一下·湖南娄底部分普通高中·期末)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______. 【答案】 【分析】求出基本事件的个数和事件“”包含的基本事件的个数，再由古典概率公式，即可求解. 【详解】连续抛掷骰子次，基本事件的个数为， 由知，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，；当时，； 则事件“”包含的基本事件的个数为， 所以事件“”的概率为， 故答案为：. 45．(24-25高一下·湖南永州·期末)如图，在正八边形上有A，B，C，D，E，F，G，H八个顶点，每个相邻的两顶点间称为1步（例如：A到B为1步）.现有一小球起始位置在点A处，并按规则沿八边形的边进行移动，移动规则为：抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则小球按顺时针方向前进i步到达另一个顶点.若抛掷两次骰子，则小球回到顶点A处的概率为_______. 【答案】 【分析】根据题意棋子在点处，可得两次骰子点数之和为，再利用列举法以及古典概型的概率公式计算可得． 【详解】两次数字和为的有，，，，共个结果， 其中拋次骰子共有种结果， 所以游戏结束时棋子回到点处的概率. 故答案为： 46．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 【答案】(1)样本空间 (2) (3) 【分析】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c，利用枚举法可得样本空间； （2）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解； （3）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解. 【详解】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c， 则样本空间； （2）由已知可得， 则； （3）由已知可得， 则. 47．(24-25高一下·湖南永州·期末)某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数； (2)在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率. 【答案】(1)，众数为75分，中位数为64 (2) 【分析】（1）结合频率分布直方图的性质，通过矩形面积和为1求，再依据众数、中位数的定义进行求解； （2）先确定相关区间人数，再利用古典概型概率公式计算概率. 【详解】（1）因为 所以 参加这次测评学生成绩的众数为75分 由所给频率分布直方图知 100名学生成绩在的频率为0.4，在的频率为0.65， 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数在内 设中位数为，则， 解得 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数为64. （2）在抽查的100名学生中，成绩在中的学生有人， 成绩在中的学生有人， 记［80,90）中的3人为， 记［90,100］中的2人为 所有基本事件有： 共10种， 来自同一组的有：，共4种情况， 故恰好来自同一组的概率. 48．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据各个小长方形的面积之和即频率之和为1，列式计算即可求出值； （2）根据频率分布直方图求平均数的公式计算即可； （3）先根据分层抽样的特点计算出评分在，内应抽取的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能结果，再根据古典概型的计算公式计算即可. 【详解】（1）由，解得； （2）， 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为分； （3）评分在的人数为人， 评分在的人数为人， 按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在中抽取人，分别为表示； 从评分在中抽取人，分别用表示， 则从这6人中随机抽取2人的所有结果为 共15种. 则恰有1人评分在内，另1人在内的所有结果为 共8种， 所以选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率为. 49．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)2025年世界大学生夏季运动会将于7月16日至7月27日在中国成都举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于70分的人数； (2)试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； (3)若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取3人分享活动经验，求抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率． 【答案】(1)80 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中数据计算所求人数； （2）先判断第85百分位数在内，根据百分位数的概念求解即可； （3）由频率分布直方图根据比例求出三个区间上抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图中数据可知：（人） （2）成绩小于80的频率为， 成绩在的频率为，因为， 所以这100名学生成绩的第85百分位数在内． 所以随机抽取的200名学生成绩的第85百分位数为． （3）因为成绩在，，的学生人数所占比例为3：2：1， 所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人． 记抽取成绩在的3人为a，b，c，成绩在的2人为d，e，成绩在的1人为f． 从这6人中随机抽取3人的所有可能为： 共20种情况,且每种情况的发生是等可能的． 抽取的3人中至少有1人的成绩在的情况有： ．共16种等可能的情况． 所以抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率为：． 50．(24-25高一下·湖南郴州·期末)为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下： 分组 频数 频率 120 0.24 160 155 0.31 35 30 0.06 合计 500 1 (1)求和的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）； (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率. 【答案】(1)； (2)0.9小时 (3) 【分析】（1）由频率分布表，结合频率计算公式即可求解； （2）根据频率分布表，结合平均数计算公式即可求解； （3）根据分层抽样，可得组抽取3人，组抽取4人，利用列举法，可知7人中随机抽取2人，共有21种情况，其中这两人来自不同的组共有12种情况，即可求解. 【详解】（1）根据频率分布表，结合频率的计算，得，； （2）根据样本平均数公式可得 ， 所以估计该地区高中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时； （3）两组频率之比为，共抽取7人， 由分层抽样可知：组抽取3人，组抽取4人， 设组的3人分别为，，，组的4人分别为，，，， 从7人中随机抽取2人的所有基本事件有： ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，共21个， 其中两人来自不同组的基本事件有： ，，，，，，，，，，，共12个， 所以两人来自不同组的概率. ( 地 城 考点0 7 互斥事件的概率公式 ) 51．(24-25高一下·湖南邵阳石齐中学·期末)已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【答案】 【分析】由互斥事件概率加法公式可得答案. 【详解】由题意可得． 故答案为： 52．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______. 【答案】 【分析】由题意结合概率运算性质可得答案. 【详解】由概率的性质知，因此， . 故答案为：. 53．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 【答案】(1)方案二被选择的可能性更大，理由见解析 (2) 【分析】（1）列举出向上的点数所有情况和点数之差的绝对值不大于1的情况，求出概率，得到结论； （2）分三类情况，利用独立事件的概率乘法公式分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，则共有36种情况，如下： ， ， 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有： ，共16种情况， 故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，故方案二被选择的可能性更大. （2）若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概率为：； ②甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；③甲在第二局，第三局获胜，其概率为：， 因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为：. ( 地 城 考点0 8 独立事件的概率公式 ) 54．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)假设，，且A与B相互独立，则________． 【答案】 【分析】由事件的相互独立知，再根据求解即可． 【详解】由，，且A与B相互独立， 则， 所以． 故答案为：． 55．(24-25高一下·湖南湘潭·期末)体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（   ） A．0.38 B．0.56 C．0.26 D．0.52 【答案】A 【分析】借助相互独立事件的乘法公式计算即可得. 【详解】设“甲投中”，“乙投中”， 则 . 故选：A. 56．(24-25高一下·湖南长沙宁乡·期末)设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则=_____. 【答案】 【分析】先计算，而互相独立，得，再由进行求解． 【详解】因为，所以， 而互相独立，得， 则， 故答案为： 57．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】甲前两轮胜利的概率， 甲前两轮一赢一输，第三轮胜利的概率， 于是甲胜利的概率. 故选：D 58．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 59．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答.已知甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为.在每次答题中，甲和乙答对与否互不影响.两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；若答错，则继续答题.约定甲先答题，则前4次中甲恰好答题3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，前4次中甲恰好答题3次的情况有，甲甲甲乙，甲甲乙甲，甲乙甲甲，再利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】根据题意前4次中甲恰好答题3次， 则4次的答题人员情况有，甲甲甲乙，甲甲乙甲，甲乙甲甲， 所以概率. 故选：D. 60．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； （2）利用对立事件的概率关系及相互独立事件概率乘法公式即可求出的值. 【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 61．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节，其中任意一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则的值为_____，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为_____. 【答案】 /0.6 /0.6075 【分析】甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2分，是甲得0分乙得2分、甲得2分乙得0分两个互斥事件的和事件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率加法公式解方程可求的值；事件“梦队在比赛中得分不低于6分”的概率，也转化为互斥事件的和事件，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”， 由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得； 记事件“梦队在比赛中得分不低于6分”，“甲在自主投篮环节得k分”（），“乙在自主投篮环节得分”，由题意可知相互独立， 则， 且事件，，，，两两互斥，则 . 故答案为：；. 62．(24-25高一下·湖南邵阳新邵县·期末)由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是______. 【答案】 【分析】依据独立事件性质得到四个人猜对的概率，再得到乙、丙都猜对的概率. 【详解】设甲、乙、丙、丁猜对的概率依次为， 依据独立事件的性质，可得，解得， 所以，乙、丙都猜对的概率为， 故答案为：. 63．(24-25高一下·湖南怀化·期末)2025年6月10日，“2025年湖南·怀化屈原爱国怀乡诗歌文化推广季暨传统龙舟赛”在溆浦县盛大开幕．此次活动吸引了35支龙舟队参赛，线上线下观众达数十万人．怀化市某校乘势举行纪念爱国诗人屈原的挑战赛，比赛设置了三道题，三道题的分值依次为1，2，3分，每个挑战者按题目顺序依次答题，答错不停止挑战，直至答完三道题．同学甲三道题答对的概率分别为，且每道题的答题互不影响． (1)求同学甲得0分的概率； (2)若得分不低于4分可获得挑战赛纪念品，求同学甲获得纪念品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式可求； （2）分析答题得分情况，然后利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式可得. 【详解】（1）设同学甲答对三道题的事件分别为， ，同学甲得0分，则三道题都答错， 所以同学甲得0分的概率， 即同学甲得0分的概率. （2）得分不低于4分的情况有， 同学甲获得纪念品的概率 ， 所以同学甲获得纪念品的概率. 64．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）. (1)已知，. （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，试判断事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并给出理由. (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析 (2) 【分析】（1）（i）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即可求出至少收到一次0的概率； （ii）利用相互独立事件的定义判断并证明即可； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出两个事件的概率，列不等式即可求解的取值范围. 【详解】（1）（i）记事件为“至少收到一次0”，则. （ii）不相互独立，理由如下：记事件为“第三次收到的信号为1”，则. 记事件为“三次收到的数字之和为2”，则. 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”不相互独立. （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则. 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则. 根据题意可得，即. 因为，所以，即，解得， 故的取值范围为. 65．(24-25高一下·湖南郴州·期末)错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. (1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，应用独立乘法公式、互斥事件加法求概率； 【详解】（1）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，， 已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为. 情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为. 情况三：甲做对1题，乙做对1题 甲做对1题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对0题，乙做对2题的概率为. 因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题. （2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，. 已知，，，，且各事件相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对1题 甲做对2题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为. 情况二：甲做对1题，乙做对2题 甲做对1题的概率为 乙做对2题的概率为 所以甲做对1题，乙做对2题的概率为. 由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为. 66．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)在不透明的甲袋中装有相同的6个红色的乒乓球，其中个球上标有数字个球上标有数字个球上标有数字3，在不透明的乙袋中装有相同的3个白色的乒乓球，其中个球上标有数字个球上标有数字，个球上标有数字3． (1)若，分别从甲、乙袋中随机摸出一个球，求摸出两个球的数字相等的概率； (2)若，从甲袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为，再从乙袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为，求的概率； (3)若，将乙袋中的球倒入甲袋中，此时从甲袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球是否相互独立?请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是 【分析】（1）设 为从甲袋摸出的球的数字， 为从乙袋摸出的球的数字，先求出各自的分布列，然后利用独立事件和互斥事件概率公式计算得到； （2）先求出的分布列，然后比较并利用独立事件概率公式计算得到； （3）直接分析可得到,利用全概率公式计算得到,然后利用独立事件概率定义验证. 【详解】（1）给定 ，. 甲袋：6 个红球，其中标数字 1 的球有 2 个，标数字 2 的球有 2 个，标数字 3 的球有 2 个. 乙袋：3 个白球，其中标数字 1 的球有 1 个，标数字 2 的球有 1 个，标数字 3 的球有 1 个. 设为从甲袋摸出的球的数字，为从乙袋摸出的球的数字. ，，. ，，. 摸出两个球数字相等的概率为： （2）给定 ，，，. 甲袋：6 个红球，其中标数字 1 的球有 2 个，标数字 2 的球有 4 个，无标数字 3 的球. 乙袋：3 个白球，其中标数字 1 的球有 1 个，标数字 2 的球有 0 个，标数字 3 的球有 2 个. 从甲袋有放回摸两个球，数字和 ： ，. 的分布： ， ， . 从乙袋有放回摸两个球，数字和： ，，. 的分布： ， ， 。 和 独立，求 ：满足 的组合： ：， ：， ：， ：， ：. 总和： （3）给定 ，，，. 甲袋：6 个红球，其中标数字 1 的球有 2 个，标数字 2 的球有 4 个，无标数字 3 的球. 乙袋：3 个白球，其中标数字 1 的球有 1 个，标数字 2 的球有 2 个，无标数字 3 的球. 将乙袋球倒入甲袋后，总球数 9 个：标数字 1 的球有 个，标数字 2 的球有 个. 事件定义：：第一次取到红球（红球共 6 个），：第二次取到标数字 1 的球（标数字 1 的球共 3 个）. 计算概率：, ：第二次取到标数字 1 的球，由全概率公式： ，此时剩余标数字 1 的球有 2 个，总球 8 个，故 . ，此时剩余标数字 1 的球有 3 个，故 。 ：第一次取到红球且第二次取到标数字 1 的球. 有序抽取，总可能结果数：. 有利结果： 第一次取标数字 1 的红球（有 2 个），第二次取标数字 1 的球（剩余 2 个标数字 1 的球）： 种. 第一次取标数字 2 的红球（有 4 个），第二次取标数字 1 的球（剩余 3 个标数字 1 的球）： 种. 总和： 种. 验证独立性： 因为 ，所以事件 和 相互独立. 67．(24-25高一下·湖南永州·期末)数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且. (1)若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为. （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）接收到的两个数字中有且只有一个正确，包括数字0接收正确数字1错误和数字0接收错误数字1正确两种情况，利用事件独立性和互斥性计算即可求解； （2）（i）事件表示接收到的数据中含两个0，包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误，②数学0错误，数字1都错误，事件表示接收到的数据中含三个0，只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误，然后建立等式，将代入等式中消元，然后根据范围确定取值：（ii）理解事件包含以下三种情况：①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，分别求出概率再相加，利用换元的思想，令，利用二次函数的性质研究最值即可求解，注意需要确定的范围. 【详解】（1）记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件A，由已知， 事件包含两种情况： 第一种数字0接收正确数字1错误，概率为：， 第二种数字0接收错误数字1正确，概率为：， 所以； （2）（i）由发送的数据为“011“可知，事件表示接收到的数据中含两个0， 包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误， ②数学0错误，数字1都错误， 所以， 事件表示接收到的数据中含三个0， 只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误， 所以， 由得： ， 化简得， 又，上式可化为： 或（舍去）； （ⅱ）当发送的数据为“0101”，事件包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为， ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为， ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为 ， ， 令，则， 又且，， ， ， 记， 由二次函数的性质可知，在单调递减， 得最大值为， 即的最大值为. 68．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)甲、乙两人在校园运动会“趣味数学挑战”中玩骰子游戏.规则如下：准备两个相同的六面骰子（点数1,2,3,4,5,6），甲先掷第一个骰子，记录点数为a（每次掷骰子后骰子独立，即后续掷骰子不受前次影响）.此时甲有两种选择： ①再掷一次骰子，记录点数为b，甲的最终挑战分数取两次中的较大值（即max{a，b}）； ②直接结束，甲的最终挑战分数为a. 随后乙掷一个骰子，记录点数为c，若c>甲的最终分数，则乙赢，否则甲赢.游戏结束. 问题： (1)若甲选择②（只掷1次），求甲赢的概率； (2)若甲选择①（掷2次），求甲赢的概率； (3)当甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率大于选择①的概率? 【答案】(1) (2) (3)不论甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率都不会大于选择①的概率. 【分析】（1）甲的最终分数为，乙掷骰子，根据，可求甲赢的概率； （2）设，分类讨论对应的概率，当乙掷出，概率为，进而计算可求得甲选择①时甲赢概率； （3）对于固定甲选择②时甲赢概率为：=，选择①时，甲的最终分数为，此时甲赢的概率为：=，进而对分类讨论可求得结论.． 【详解】（1）甲的最终分数为（，每个点数的概率为）， 乙掷骰子（，每个点数的概率为），甲赢的条件是， 即乙的点数不超过甲的分数，对于每一个，甲赢的概率为. 所以； （2）设， 仅当概率； 当至少一个骰子为2且无更大的点数，概率；   ，   ，   ，   ， 当乙掷出，概率为，甲选择①时甲赢概率： ； （3）对于固定甲选择②时甲赢概率为：=， 选择①时，甲的最终分数为，此时甲赢的概率为： =， 分情况讨论的值： 1、当时，，故=， ， > ； 2、当时，，计算= ， > ； 3、当，，计算= ，    > ； 4、当，，计算=， ， > ； 5、当，，计算=， ， > ； 6、当，计算=1，； 综上， ， 所以不论甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率都不会大于选择①的概率. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计与概率 8大高频考点概览 考点01随机抽样 考点02百分位数 考点03频率分布直方图 考点04极差、平均数、方差及样本方差 考点05事件的判断 考点06古典概率 考点07互斥事件的概率公式 考点08独立事件的概率公式 ( 地 城 考点01 随机抽样 ) 1．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为108的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（   ） A．36 B．40 C．45 D．50 2．(24-25高一下·湖南永州·期末)某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽取的学生人数为（    ） A．110 B．100 C．90 D．80 3．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　） A．11，14，11 B．12，12，12 C．14，12，10 D．13，12，11 4．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． (1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围； (2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． ( 地 城 考点02 百分位数 ) 5．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为（    ） A．35 B．40 C．45 D．50 6．(24-25高一下·湖南娄底部分普通高中·期末)有一组数据按从小到大排序如下：、、、、，则这组数据的分位数，分位数分别是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 7．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)八名学生的高考总分分别为，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．667 B．671 C．673 D．675 8．(24-25高一下·湖南邵阳石齐中学·期末)数据13，15，18，20，21，26，27，29，31，35的第70百分位数是（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 9．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的第75百分位数为_____. 10．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期末)某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为______． 11．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，34，32，41，则这8人年龄的25%分位数是_______. 12．(24-25高一下·湖南郴州·期末)已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是________. 13．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)（多选）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） ( 地 城 考点0 3 频率分布直方图 ) 14．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识(综合安全事故､自然灾害等)网络测试，满分为100分．测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分． (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； (2)分别求图中的值与的值； 15．(24-25高一下·湖南邵阳石齐中学·期末)某校组织学生参加交通安全知识培训，培训后进行测试（满分：100分）．现从该校参加培训测试的学生中随机抽取100名学生并统计他们的测试分数，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计该校学生这次测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）； (3)已知该校参加培训测试的学生有3500人，记测试成绩不低于90分的学生为优秀学员，估计该校这次测试的优秀学员的人数． 16．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)张先生在一家科技公司工作，每天早上自驾去公司上班.他统计了最近100次开车从家到公司的红灯等待时间并形成统计表，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. (1)求图中a的值，估计张先生最近100次红灯等候时间的平均数； (2)估计张先生红灯等待时间的上四分位数； (3)根据以上数据，估计张先生在接下来的20次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间不低于85秒的次数. 17．(24-25高一下·湖南名校联盟汉寿一中等多校·期末)某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位: 分钟)， 并将样本数据分成 ，，，，，六组， 绘制如图所示的频率分布直方图. (1)若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名? (2)估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数. ( 地 城 考点0 4 极差、平均数、方差及样本方差 ) 18．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)从A队30人、B队20人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.5；B队答对题目数的平均数为1.方差为0.4，则这5人答对题目数的方差为（    ） A．1.3 B．1.06 C．0.95 D．0.8 19．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（    ） A．，，…，的平均数为 B．，，…，的方差为 C．，，…，的25%分位数为 D．，，…，的极差为 20．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)已知某大厂的甲、乙车间生产的圆钢数之比为，现在要对甲、乙两个车间生产这种圆钢的直径进行误差抽检，具体要求为按比例分层抽检50根，若抽检的甲、乙车间圆钢的直径误差的平均值分别为，误差的方差分别为，则可以估计甲、乙车间的总体误差的方差约为（    ） A． B． C． D． 21．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生中抽取了一个容量为80的样本．已知该校男生人数比女生多800人，抽样结果显示：男生样本的平均身高为178，方差为200；女生样本的平均身高为162，方差为185．则下列说法中不正确的是（　　） A．抽取的样本里男生有48人 B．每一位学生被抽中的可能性为 C．估计该学校学生身高的平均值为171.6 D．估计该学校学生身高的方差为253 22．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)已知15个数，，  ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，，  ，的方差为__________． 23．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期末)在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为______． （参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，记总的样本平均数和样本方差为，，其中． 24．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________. 25．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 26．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的众数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 27．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本中年龄的第85百分位数. (2)从样本中年龄为，，的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差. 28．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由四舍五入保留一位小数）； (3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 29．(24-25高一下·湖南永州·期末)（多选）有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，若去除首末两个数，得到一组新的样本数据，则这两组数据的（    ） A．极差相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．平均数相等 30．(24-25高一下·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)（多选）已知样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的6个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据，则（   ） A．样本A的极差小于样本B的极差 B．样本A的中位数等于样本B的中位数 C．样本A的平均数小于样本B的平均数 D．样本A的方差小于样本B的方差 31．(24-25高一下·湖南怀化·期末)（多选）某学校举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（   ） A．这人成绩的中位数为分 B．这人成绩的众数约为分 C．这人成绩的平均分约为分 D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 32．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)（多选）在某次高三模拟考试后，数学老师统计了第一组的8名同学第19题的得分情况如下：7，9，5，8，5，3，3，3，第二组的8名同学第19题的得分情况如下：8，10，6，9，6，4，4，4，则（    ） A．第二组的平均数比较大 B．两组的中位数之差的绝对值为1 C．两组的众数相等 D．两组的极差相等 33．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)（多选）衡阳市某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ） A． B．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用比例分配的分层抽样方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生8人； C．该样本数据的中位数和众数均为85； D．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本认为该校食堂不需要整改 ( 地 城 考点0 5 事件的判断 ) 34．(24-25高一下·湖南永州·期末)一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 35．(24-25高一下·湖南郴州·期末)同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（   ） A．与对立 B． C．与相互独立 D．与相互独立 36．(24-25高一下·湖南邵阳邵东·期末)（多选）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是（    ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 37．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)（多选）下列结论正确的是（    ） A．若与是互斥事件，则与也是互斥事件 B．若事件、满足，则与是对立事件 C．若与是互斥事件，则 D．若，，与相互独立，则 38．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)（多选）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（   ） A． B． C．与互斥 D．与相互独立 39．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)（多选）据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择技术学科”，“选择一门理科学科”，“选择历史学科”，“选择一门文科学科”，以下结论正确的是（   ） A．F和G是互斥事件但不是对立事件 B．F和H是互斥事件也是对立事件 C． D． 40．(24-25高一下·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 ( 地 城 考点0 6 古典概率 ) 41．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 42．(24-25高一下·湖南邵阳石齐中学·期末)现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（    ） A． B． C． D． 43．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)从1，2，3，5这四个数中随机取出2个不同数，则它们差的绝对值为质数的概率为______． 44．(24-25高一下·湖南娄底部分普通高中·期末)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______. 45．(24-25高一下·湖南永州·期末)如图，在正八边形上有A，B，C，D，E，F，G，H八个顶点，每个相邻的两顶点间称为1步（例如：A到B为1步）.现有一小球起始位置在点A处，并按规则沿八边形的边进行移动，移动规则为：抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则小球按顺时针方向前进i步到达另一个顶点.若抛掷两次骰子，则小球回到顶点A处的概率为_______. 46．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 47．(24-25高一下·湖南永州·期末)某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数； (2)在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率. 48．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 49．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)2025年世界大学生夏季运动会将于7月16日至7月27日在中国成都举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于70分的人数； (2)试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； (3)若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取3人分享活动经验，求抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率． 50．(24-25高一下·湖南郴州·期末)为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下： 分组 频数 频率 120 0.24 160 155 0.31 35 30 0.06 合计 500 1 (1)求和的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）； (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率. ( 地 城 考点0 7 互斥事件的概率公式 ) 51．(24-25高一下·湖南邵阳石齐中学·期末)已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 52．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______. 53．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. ( 地 城 考点0 8 独立事件的概率公式 ) 54．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)假设，，且A与B相互独立，则________． 55．(24-25高一下·湖南湘潭·期末)体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（   ） A．0.38 B．0.56 C．0.26 D．0.52 56．(24-25高一下·湖南长沙宁乡·期末)设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则=_____. 57．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 58．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 59．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答.已知甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为.在每次答题中，甲和乙答对与否互不影响.两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；若答错，则继续答题.约定甲先答题，则前4次中甲恰好答题3次的概率为（    ） A． B． C． D． 60．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 61．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节，其中任意一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则的值为_____，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为_____. 62．(24-25高一下·湖南邵阳新邵县·期末)由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是______. 63．(24-25高一下·湖南怀化·期末)2025年6月10日，“2025年湖南·怀化屈原爱国怀乡诗歌文化推广季暨传统龙舟赛”在溆浦县盛大开幕．此次活动吸引了35支龙舟队参赛，线上线下观众达数十万人．怀化市某校乘势举行纪念爱国诗人屈原的挑战赛，比赛设置了三道题，三道题的分值依次为1，2，3分，每个挑战者按题目顺序依次答题，答错不停止挑战，直至答完三道题．同学甲三道题答对的概率分别为，且每道题的答题互不影响． (1)求同学甲得0分的概率； (2)若得分不低于4分可获得挑战赛纪念品，求同学甲获得纪念品的概率． 64．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）. (1)已知，. （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，试判断事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并给出理由. (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 65．(24-25高一下·湖南郴州·期末)错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. (1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 66．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)在不透明的甲袋中装有相同的6个红色的乒乓球，其中个球上标有数字个球上标有数字个球上标有数字3，在不透明的乙袋中装有相同的3个白色的乒乓球，其中个球上标有数字个球上标有数字，个球上标有数字3． (1)若，分别从甲、乙袋中随机摸出一个球，求摸出两个球的数字相等的概率； (2)若，从甲袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为，再从乙袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为，求的概率； (3)若，将乙袋中的球倒入甲袋中，此时从甲袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球是否相互独立?请说明理由． 67．(24-25高一下·湖南永州·期末)数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且. (1)若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为. （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值. 68．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)甲、乙两人在校园运动会“趣味数学挑战”中玩骰子游戏.规则如下：准备两个相同的六面骰子（点数1,2,3,4,5,6），甲先掷第一个骰子，记录点数为a（每次掷骰子后骰子独立，即后续掷骰子不受前次影响）.此时甲有两种选择： ①再掷一次骰子，记录点数为b，甲的最终挑战分数取两次中的较大值（即max{a，b}）； ②直接结束，甲的最终挑战分数为a. 随后乙掷一个骰子，记录点数为c，若c>甲的最终分数，则乙赢，否则甲赢.游戏结束. 问题： (1)若甲选择②（只掷1次），求甲赢的概率； (2)若甲选择①（掷2次），求甲赢的概率； (3)当甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率大于选择①的概率? 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $