专题03 复数（8大考点）（期末真题汇编，湖南专用）高一数学下学期

**基本信息** 复数专题期末试题汇编，覆盖运算、几何意义等8大高频考点，精选湖南多地高一下期末真题，基础与综合题梯度分布，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|18题|复数的实部虚部（第3题）、模长（第12题）|立足基础，直接考查核心概念| |填空|1题|纯虚数（第6题）|简洁考查定义辨析| |多选|6题|复数性质（第23题）、方程的根（第25题）|多角度综合，体现知识关联性| |解答|1题|复数与向量（第26题）|结合几何意义，考查数学建模能力|

专题03 复数 8大高频考点概览 考点01复数的运算 考点02复数的实部与虚部 考点03纯虚数 考点04复数的几何意义 考点05复数的模长 考点06复数的性质 考点07复数范围内方程的根 考点08复数与向量 ( 地 城 考点01 复数的运算 ) 1．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)已知是虚数单位，则_______. 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算求解. 【详解】. 故答案为：. 2．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)已知复数，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数除法法则计算出答案. 【详解】，. 故选：B. ( 地 城 考点02 复数的实部与虚部 ) 3．(24-25高一下·湖南湘潭·期末)的实部为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】借助复数运算法则计算后即可得. 【详解】，其实部为. 故选：A. 4．(24-25高一下·湖南长沙芙蓉高级中学·期末)复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据复数的概念即得． 【详解】复数的虚部即． 故选：A． 5．(24-25高一下·湖南郴州·期末)已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. ( 地 城 考点0 3 纯虚数 ) 6．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)设，为纯虚数，则______． 【答案】 【分析】根据复数乘法运算化简，再根据纯虚数的知识求得 【详解】，由其为纯虚数可知， 解得. 故答案为： ( 地 城 考点0 4 复数的几何意义 ) 7．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)已知i为虚数单位，则复数（   ） A． B．i C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算法则计算求解即可. 【详解】. 故选：B. 8．(24-25高一下·湖南怀化·期末)设复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据条件，利用复数的运算及复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，则复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 9．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第四象限． 故选：D. 10．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的除法法则化简，再结合共轭复数的定义及复数的几何意义即可求出. 【详解】，则， 则对应的点在第二象限. 故选：B 11．(24-25高一下·湖南娄底部分普通高中·期末)已知，，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论. 【详解】因为，，则复数， 故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. ( 地 城 考点0 5 复数的模长 ) 12．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)若，则（    ） A．12 B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】根据复数的模直接计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：D 13．(24-25高一下·湖南永州·期末)复数（i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题可根据复数的模的计算公式来求解. 【详解】根据复数模的计算公式可得： . 故选：B 14．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算先求复数，最后求复数的模即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 15．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)已知为虚数单位，复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的性质直接求解即可. 【详解】由题意有，则，所以． 故选：D． 16．(24-25高一下·湖南怀化·期末)设为复数，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用模长为的复数的三角表示形式，借助复数模的运算来求最小值即可. 【详解】因为，所以可设， 则， 当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 多选题 17．(24-25高一下·湖南郴州·期末)已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（   ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【分析】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案 【详解】对于A，由可得其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由可得其共轭复数为，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 18．(24-25高一下·辽宁辽阳·期末)已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法计算，判断A；根据复数的模的概念判断B；计算，根据虚部的概念判断C；计算，根据复数的几何意义判断D. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为，故B错误； 对C：因为，所以的虚部为，故C正确； 对D：，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误. 故选：AC 19．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期末)已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．复数， D．若复数满足，则的最大值为6 【答案】AD 【分析】对于A，利用虚数单位的计算即得；对于B，利用复数的四则运算与复数的几何意义即可判断；对于C，利用复数的四则运算化简复数，求其模长即可；对于D，利用复数的几何意义数形结合即可得到. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由，则， 则复平面内对应的点位于第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C错误； 对于D，由可知复数对应的点表示以原点为圆心，半径为1的单位圆， 而则可以理解为点到该圆上的点的距离， 故该距离最大值为.故D正确. 故选：AD. 20．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A．z的虚部为 B． C．z的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限 D．若复数满足，则的最大值为8 【答案】BCD 【分析】由题知，根据复数的乘法运算可求，利用复数的相关概念可判断ABC选项，对于D，利用复数减法的几何意思，可得复数在复平面中对于点的轨迹为圆，然后求点到圆上距离的最大值即可. 【详解】由题知，所以z的虚部为，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为位于第三象限，故C正确； 对于D，复数满足，即， 所以复数在复平面中对应点的轨迹为，以为圆心，半径为1的圆上， 表示复平面中对应的点到的距离， 所以距离的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 21．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　） A． B．复数的虚部为 C．若，则复平面内对应的点位于第三象限 D．已知复数z满足，则z是纯虚数 【答案】AC 【分析】利用复数加减及幂运算即可判断A选项，根据复数的概念判断选项B，先化简复数，写出它的共轭复数对应点的坐标即可判断选项C，设复数代入中求出的值即可判断. 【详解】由 ， 故A选项正确； 复数的虚部为，故B选项不正确； 由， 所以对应点为 所以复平面内对应的点位于第三象限，故C正确； 设复数， 则， 即 所以，的值不确定，有可能为0， 故D不正确； 故选：AC. ( 地 城 考点0 6 复数的性质 ) 22．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】将“∃”与“∀”互换，“＝”与“≠”互换， 可得否定命题为：、，都有. 故选：D． 23．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）已知，为复数，则下列命题正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】令，则求出和，即可判断选项A；设，则根据共轭复数的概念及复数的模长公式即可判断选项B，C；根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，而则表示复数在复平面内对应的点到点的距离，求出圆上的点到点的最大距离，即可判断选项D. 【详解】令，则，，显然，故选项A错误； 设，则，所以， 所以，故选项B，C正确； 根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而则表示复数在复平面内对应的点到点的距离， 故的最大值即为圆上的点到点的最大距离，即，故选项D正确. 故选：BCD. ( 地 城 考点0 7 复数范围内方程的根 ) 24．(24-25高一下·辽宁辽阳·期末)已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用实系数一元二次方程两虚根共轭，得到方程另一根，最后利用韦达定理得到答案. 【详解】是方程的一个根，是方程的另一个根. 则由韦达定理得：，解得：， 故选：B 25．(24-25高一下·湖南湘潭·期末)（多选）已知复数，是方程的两个根，且在复平面内，对应的点在对应的点的上方，为坐标原点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，计算出方程的两根，从而得到；A正确；B选项，，利用向量数量积公式计算；C选项，计算得到，利用模长公式进行求解；D选项，计算出，利用复数的乘方运算法则求解. 【详解】A选项，方程的判别式， 的两根为， 两根对应的点分别为，故，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，，， 故，C正确； D选项，，故，D正确. 故选：ACD ( 地 城 考点0 8 复数与向量 ) 26．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)已知，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数运算的几何意义可得点的坐标，即可求出，即可求得其模长； （2）由平行四边形性质可得，结合向量坐标运算即可求得D点坐标；利用向量夹角的坐标形式，即可求得的值. 【详解】（1）由题意知， 故， 则，故； （2）因为四点A、B、C、D组成平行四边形，故， 设，则，即， 解得，即； 又，则， 即. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03复数 ☆8大高频考点概览 考点01复数的运算 考点02复数的实部与虚部 考点03纯虚数 考点04复数的几何意义 考点05复数的模长 考点06复数的性质 考点07复数范围内方程的根 考点08复数与向量 目目 考点01 复数的运算 1.(24-25高一下湖南岳阳岳阳楼区期末)已知i是虚数单位，则(1+i)(3-)= 2Q45商-下满病长沙长形中学期未已知复数：，无么《) A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 目目 考点02 复数的实部与虚部 3.(24-25高一下湖南湘潭·期末)3-i)的实部为() A.1 B.3 C.-1 D.-3 4.(24-25高一下·湖南长沙芙蓉高级中学.期末)复数z=-1-2i,则复数z的虚部是（) A.-2 B.2 C.-1 D.1 5.(24-25高一下·湖南郴州期末)已知a,b为实数，a+2i=-3+bi(i为虚数单位)，则() A.a=-3,b=-2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=2 D.a=3,b=-2 目目 考点03 纯虚数 1/4 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县期末)设a∈R,(1-i(2+ai)为纯虚数，则a= 目目 考点04 复数的几何意义 7.(2425高一下湖南沉遭共同体期未木已知i为虚数单位，则复数+ () A.-i B.i C.0 D.1 8.(24-25高一下湖南怀化期末)设复数z=(1+5)i,则在复平面内z对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)已知z1=-2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.(24-25高一下湖南衡阳第一中学期末)已知复数2=1-31 1+i (i是虚数单位)，则2对应的点在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.(2425高一下湖南娄底部分普通高中期末)已知z=2-i,22=1+2i,则复数z=z1·z2在复平面内对应 的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 目目 考点05 复数的模长 12.(24-25高一下湖南名校联考联合体期末)若z=-3+4i,则2z=() A.12 B.1 C.5 D.5 13.(24-25高一下湖南永州期末)复数z=1+i(1是虚数单位)，则z=() A.1 B.√2 C.5 D.2 424-25高一下测南长沙第一中学期木复数z=，则C A.1 B.5 C.2 D.5 15.(24-25高一下湖南岳阳湘阴县期末)已知i为虚数单位，复数z满足z2+i)=1,则z=() A.5 B.3 C.3 3 D.vs 16.(24-25高一下湖南怀化期末)设z为复数，若z-21=1,则z的最小值为() 2/4 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.2 C.3 D.4 多选题 17.(24-25高一下·湖南郴州期末)已知复数z=2-i(i为虚数单位)，则以下说法正确的有() A.复数z的虚部为i B.|=5 C.复数z的共轭复数为z=2+i D.复数z在复平面内对应的点在第一象限 18.(24-25高一下·辽宁辽阳·期末)已知复数z1=4-3i,z2=2+i,则() A.322=11-2i B.z2=5 C.+22的虚部为-2 D.-22在复平面内对应的点位于第二象限 19.(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团期末)已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是() A.i+i2+i3+i4=0 B.若z=(1+2i,则复平面内2对应的点位于第二象限 c,复数=5 D.若复数z满足z=1,则z-3+41的最大值为6 20,Q425高一下潮南多校联考期末利已如复数：满足千；=3+，则下列结论正确的是〈) A.z的虚部为7i B.|z=52 C.z的共轭复数2在复平面内对应的点位于第三象限 D.若复数o满足o+=1,则o-z的最大值为8 21.(24-25高一下湖南岳阳华容县.期末)己知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是() A.i2023+i2024+i2025+i2026=0 B.复数z=3-i的虚部为-i C.若z=1+2i),则复平面内2对应的点位于第三象限 D.己知复数z满足z-1=2+1,则z是纯虚数 目目 考点06 复数的性质 3/4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县期末)己知命题p:3z、22∈C,使得z·z2=z1+z2,则命题p的否定为 () A.3z,22∈C,使得z1z2≠31+22 B.3z1、22C,使得z22≠21+22 C.2,22∈C,都有2122=31+2D.%、22∈C,都有3·22≠31+22 23.(24-25高一下湖南长沙长郡中学·期末)（多选）己知z,22为复数，则下列命题正确的是() A.子=到 B.若=22，则z2=2 C.若=五，则= D.若z=1,则3-1-i的最大值为√2+1 目目 考点07 复数范围内方程的根 24.(24-25高一下·辽宁辽阳期末)已知2-i是关于x的方程x2+mx+5=0在复数范围内的一个根，则实数 m=() A.4 B.-4 C.2 D.-2 25.(24-25高一下·湖南湘潭·期末)（多选）己知复数z,w是方程x2-2x+2=0的两个根，且在复平面内， z对应的点M在w对应的点N的上方，O为坐标原点，则() A.z=1+i B.OM.ON=1 2025 C.z-2wW=10 D =i 目目 考点08 复数与向量 26.(2425高一下·湖南衡阳第一中学期末)已知21=1-i,22=2-i,在复平面内，复数+2,3-22,31·z2 对应的点分别为A,B,C (1)求1BC1: (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形ABCD,求D点坐标以及cos∠ABC的值 4/4