专题01 三角函数与正余弦定理解三角形（8大考点）（期末真题汇编，湖南专用）高一数学下学期

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形8大高频考点，汇编湖南多地高一下期末真题，基础巩固与综合应用并重。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约25题|考点01-08，如任意角三角函数（第1题钟表时针弧度）、正弦定理边角互化（第15题）|结合生活情境（第32题测量湖泊直径）、真题汇编（湖南名校联考等）| |填空|1题|考点04（第17题角A最大值）|聚焦核心公式应用| |解答|16题|考点02图象性质（第10题单调区间与最值）、考点08范围综合（第38题面积最小值）|分层设问（第29题三问递进）、实际应用（第33题休闲区域设计）|

专题01 三角函数与正余弦定理解三角形 8大高频考点概览 考点01任意角的三角函数 考点02三角函数的图象与性质 考点03三角恒等变换 考点04正弦定理边角互化 考点05正弦定理求值及判断三角形解的个数 考点06余弦定理解三角形 考点07解三角形的实际应用 考点08范围与最值综合 ( 地 城 考点01 任意角的三角函数 ) 1．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 2．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)与405°角终边相同的角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据终边相同的角定义判断. 【详解】由于， 故与405°终边相同的角应为或． 故选：BC 3．(24-25高一下·湖南怀化·期末)如图，角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为， 所以. 故选：B 4．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)若A是的内角，且，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的基本关系中的平方关系求解即可，，的根据条件求，再将齐次式化简求值. 【详解】由可得， 即， 即,, ①，所以； 所以， 所以. ②，所以； 所以， 所以. 故选：A 5．(24-25高一下·湖南湘潭·期末)已知平面向量，. (1)若⊥，求的值； (2)若，且与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据向量垂直得到数量积为0，得到，齐次化变形，代入求值； （2）计算出，利用夹角为锐角，得到且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）⊥，故， 故， ； （2），，， 与的夹角为锐角，故， 解得， 且与不同向共线，即，即， 综上，且； ( 地 城 考点02 三角函数的图象与性质 ) 6．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，结合正切函数的对称中心运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数图象的对称中心坐标为. 故选：C. 7．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像的平移变换得，由为奇函数，即，解出即可. 【详解】由题意有， 又为奇函数，所以， 解得，当时，， 故选：A. 8．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．把函数的图象平移个单位后关于y轴对称，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的周期性求得，利用特殊点求得，也即求得的解析式，再结合三角函数图象变换来确定正确答案. 【详解】对于A选项，由图象可得，解得，A正确. 对于B选项，由可得， 且由，和可得，B错误. 对于C选项，显然，故，C正确. 对于D选项，，由偶函数性质可得，， 于是，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ACD． 9．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)（多选）已知函数，则（） A．函数的最小正周期为 B．是的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数图象与直线有3个交点 【答案】AD 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，可求出最小正周期；B选项，代入验证；C选项，换元，令，转化成在对应区间上的单调性问题；D选项，同一坐标系内画出两函数图象，数形结合可得到答案. 【详解】A选项， ， 故的最小正周期为，A正确； B选项，， 故不是的一个对称中心，B错误； C选项，，令， 由于在上不单调，故在上不单调，C错误； D选项，同一坐标系内画出与，如下： 可以看出两函数有3个交点，D正确． 故选：AD 10．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的最值及相应x的值． 【答案】(1)， (2)当时，取最大值为，当时，取最小值为 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后利用整体代入法求得函数的单调递增区间； （2）根据三角函数最值的求法求得的最值及相应x的值． 【详解】（1）（1）因为 ， 所以令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：，， （2）因为，所以， 令，则函数在单调递增，在单调递减； 所以时，； 时，； 所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为． ( 地 城 考点0 3 三角恒等变换 ) 11．(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由题可知：， 所以，又， 所以. 故选：C 12．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数图象的对称性得，再利用诱导公式和二倍角的正弦公式及同角公式求解. 【详解】由，，得，且， 则，， 所以. 故选：C 13．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式转化为同一形式的正弦函数，再利用正弦函数相等的条件，结合两个角的取值范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以原式变为：， 根据正弦函数性质可得：① 或②， 对于①，当时，，即，此时 能使上式成立， 对于②，因为，故， 而，不存在整数k使得，故舍去； 故选：B 14．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)已知均为第一象限的角，且 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，然后根据两角和的正弦公式计算即可； （2）先计算，然后利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）由均为第一象限的角，， 所以， 所以， 所以 （2）， 所以， 所以 ( 地 城 考点0 4 正弦定理边角互化 ) 15．(24-25高一下·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的正弦及正弦定理可得，进而利用余弦定理可得的值. 【详解】由，可得， 由正弦定理可得， 又因为，所以，所以， 在中，，由余弦定理可得， 所以. 故选：D. 16．(24-25高一下·湖南永州·期末)（多选）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则是锐角三角形 【答案】ABC 【分析】可根据正弦定理以及三角函数的性质对选项逐一进行分析. 【详解】对于选项 A， 若，根据正弦定理可得，故A正确； 对于选项 B，在中， 若，则或， 又因为，所以不成立，即，故B正确； 对于选项 C，根据二倍角公式可得 ， 由正弦定理可得， 因为，可得，即，所以，即，故C正确； 对于选项 D，若，则，但仅根据为锐角不能确定是锐角三角形， 例如，，，此时，但是直角三角形，故选项D错误. 故选：. 17．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)若的角所对边，且满足，则角A的最大值为_____ 【答案】 【分析】首先由诱导公式二倍角公式得，进一步结合正弦定理以及两角和正弦公式有，在这里进一步有，进而可得，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，即，所以， 从而，即， 所以，显然， 又因为，所以，从而，所以， 所以， 所以， ， 当且仅当，即等号成立， 此时，因为，所以角A的最大值为. 故答案为：. 18．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A的大小； (2)若且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，最后由余弦定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式得，由余弦定理得，进而得，化简即可求解. 【详解】（1）由题意：， 由正弦定理有： ，即， 由余弦定理有：， 又，所以； （2）由，所以， 由余弦定理有：， 所以，即， 所以， 所以的周长为. 19．(24-25高一下·湖南长沙明德中学·期末)已知在中，角、、所对的边分别为、、，若，,，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理求得，再由平方关系和商数关系即可求得的值； （2）由余弦定理即可求解． 【详解】（1）因为， 则由正弦定理得， 所以， 所以， 故． （2）由余弦定理得， 所以， 解得或， 又因为，所以． 20．(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)若点是边上的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式化简得，再利用诱导公式即可求出； （2）根据得出，再利用余弦定理和基本不等式求出即可. 【详解】（1）由和正弦定理可得，， 化简得， 因，则，则，即， 因，故， 又由且， 可得． （2）因为点是边上的中点，所以， 平方得， 又由余弦定理得， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以. 所以的最大值为. 21．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. （2）（i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. ( 地 城 考点0 5 正弦定理求值及判断三角形解的个数 ) 22．(24-25高一下·湖南永州·期末)在中，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦定理分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定结果. 【详解】已知在中，，， 根据正弦定理，可得：， 因为，所以，又因为，所以或， 即“”不能推出“”； 已知在中，，，， 根据正弦定理，将，，代入可得： ， 即“”可以推出“”； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 23．(24-25高一下·湖南郴州·期末)的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（   ） A．16 B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理整理等式，再根据正弦和角公式求得角的正弦值，利用同角三角函数关系式求得角的正弦值，再结合正弦定理，可得答案 【详解】由，则， 即，由，则， 由，则， 因为,所以， 所以. 故选：B. 24．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)（多选）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若中C为钝角，则 D．若，，，则解的个数为2 【答案】ABD 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，由正弦定理可得，然后由可判断选项正误. 【详解】对于A，， 则，因A，B为三角形内角，则， 从而，则为等腰三角形，故A正确； 对于B，，由余弦定理， ，故B正确； 对于C，因C为钝角，则. 则，因正弦函数在上递增， 则，故C错误； 对于D，由正弦定理， 因，且，则， 使，即解的个数为2，故D正确. 故选：ABD 25．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为，设，则，由勾股定理求得．由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动，故，可得的范围． 【详解】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为， 在中，设，则，得， 于是，解得，，． 由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动， 故，可得， 故选：B． ( 地 城 考点0 6 余弦定理解三角形 ) 26．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据两角互补余弦值之和等于，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得，， 所以，， 又，且是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 所以最大值为. 故选：C. 27．(24-25高一下·湖南邵阳邵东·期末)已知在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【分析】根据题意，结合三角形的性质和余弦定理，求得和，即可得到答案. 【详解】因为，且，可得, 由余弦定理，可得， 所以，即，解得， 所以为等边三角形. 故选：B. 28．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期末)（多选）在中，三个角所对的边分别为，其外接圆的半径为，若，则（    ） A．的面积为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理、三角形面积公式结合条件可判断A；由余弦定理结合，利用基本不等式可得，从而得到的范围即可判断B；利用基本不等式及条件得到，即可判断C；设，则，，代入，解得的范围即可判断D. 【详解】对于A，在中，由正弦定理得，所以， 所以的面积为故A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得，当且仅当时等号成立，又因为，所以，故B正确； 对于C，因为，即，仅当时等号成立，又，所以，故C不正确； 对于D，设，则， 由，得，即， 因为，解得. 即，故D正确. 故选：ABD. 29．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，且，． (1)求边c的长度； (2)求； (3)设E，F分别为边，上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件利用余弦定理求解； （2）在和△ADC中，分别利用正弦定理，求得．分为情况讨论：为钝角，为锐角，结合余弦定理求解； （3）设，，，可得，由E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得，由数量积的运算可得，的面积为面积的，利用三角形面积公式可得．从而化简，求解范围即可. 【详解】（1）∵， 由余弦定理：， ∵，∴． （2）∵，，可知， ∴． 在中，由正弦定理可得： ① 在中，由正弦定理可得：， ∵，②， 将①②两式相除可得：． 若为钝角，则， 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得：， 又，∴， ，显然与已知矛盾． ∴为锐角，．∴， 又，． ∴， ∵为三角形内角，∴． （3）设，，（λ，） ∴，， ， ∵E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得， ， ． ∴ ， ∵，而， ∴， ∴． 30．(24-25高一下·湖南长沙长郡中学·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求角； (2)若为线段上一点，且，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，由余弦定理得，求出； （2）求出，平方得，从而得到的长度. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 即，由余弦定理得， 而，所以. （2）由，得，故， 又，，由（1）知. 则， 故，所以的长为. 31．(24-25高一下·湖南长沙雅礼中学·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，，求的值； (2)若，且的面积，求a和b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，利用余弦定理即可求解； （2）由三角恒等变换和正弦定理得到，结合求出，由三角形面积得到方程，求出，从而求出a和b的值. 【详解】（1），，，故， 由余弦定理得； （2），由半角公式得 ， 即， 即，， ， 由正弦定理得， 因为，所以，解得，故， 的面积，故， 联立与得. ( 地 城 考点0 7 解三角形的实际应用 ) 32．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得，且测得米，米． (1)求该人工圆形湖泊的直径； (2)若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于两点），求四边形周长的取值范围． 【答案】(1)该人工圆形湖泊的直径为 (2)四边形周长的取值范围为（米） 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径； （2）在中，利用余弦定理，结合基本不等式求得的范围，求得四边形的取值范围. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 即，故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R，故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． （2）因为A，B，C，D四点共圆，，所以， 在，由余弦定理可得，， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，又，又，， 所以四边形周长的取值范围为（米）． 33．(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）在三角形中，由余弦定理求解即可； （2）若选①，先求出，再由展开可求出，再由面积公式得出结果，若选②，在中由余弦定理得，再由三角形面积公式得解. 【详解】（1）∵，∴， ∴. ∵，， ∴由余弦定理得： ， ∴. （2）若选①： 在中，由正弦定理得 ∵，∴. 由（1）知.代入上式可得， 解得， ∵ . ∴. ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 若选②：∵，∴. 在中，由余弦定理得： ∴① ∵，∴② ①-②得： ∴ ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 34．(24-25高一下·湖南永州宁远一中崇德学校·期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点P. (1)若，求； (2)若，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案； （2）设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【详解】（1）设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； （2）设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以. 35．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)如图，在中，角的对边为为三角形的面积，已知角满足． (1)求； (2)若分别在边上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理代入，可得，然后可求； （2）由题知可解，由，可求，设，又代入可求，同理设，再利用余弦定理可求，然后根据三角形面积计算公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理， 所以， 即， ，. （2），，，， ，， 又，， ，， 设，又，所以， 即， 设，又， 所以，解得，即， ， 所以的面积为. 36．(24-25高一下·湖南郴州·期末)在2025年斯诺克世界锦标赛中，中国选手赵心童展现了卓越的球技，成为首位获得世锦赛冠军的中国选手，同时也是亚洲首位斯诺克世锦赛冠军.假设在一次模拟的斯诺克比赛中，球桌的尺寸为矩形，斯诺克选手需要从一个特定角度击球，使球从点出发，经过点，最终进入袋口，如图所示.其中，，，，足够长. (1)若，求； (2)若，交于点，设，，其中，，求的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）若，则，在中，根据余弦定理即可求出； （2）法一，由三点共线的推论，列出向量的等式，又由、、三点共线，得到的关系式，变形得，进而得到的表达式，再利用基本不等式，即可求出最大值； 法二，由三点共线的推论，列出向量的等式，又由、、三点共线，得到的关系式，变形可得，利用上式拼凑出的表达式，再利用基本不等式，即可求出最大值； 【详解】（1）因为，所以， 又因为，， 在中，由余弦定理可知， 即. 整理可得，解得或. （2）法一：因为，所以. 又因为，，所以. 因为、、三点共线，所以，变形得. 所以 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为. 法二：因为，所以. 又因为，，所以. 因为、、三点共线，所以， 变形得. 因为，，所以， 所以. 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 37．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)圆内接四边形有诸多良好的性质，其中托勒密定理极其优美，即在圆内接四边形ABCD中，，试利用该定理解决下列问题： (1)设正三角形ABC内接于圆O，点D在劣弧AC上（不与点A，C重合），证明：. (2)在圆内接四边形ABCD中，，，，，，证明： （i）； （ⅱ）四边形ABCD的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）直接根据托勒密定理证明即可； （2）（i）根据余弦定理，诱导公式和圆的内接四边形对角互补即可证明； （ii）把四边形的面积分解成两个三角形进行计算，利用余弦定理求出，再求，最后再利用三角形面积计算公式即可证明； 【详解】（1）由托勒密定理可知：，又因为，所以； （2）（i）由圆的内接四边形可得：， 由余弦定理及诱导公式可得：， 即； （ii）由余弦定理可得：， 则 ， 所以 . ( 地 城 考点0 8 范围与最值综合 ) 38．(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若角A的平分线交BC边于D且，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角变换公式和三角形内角和公式，可求，进而确定角的值. （2）根据余弦定理探索边满足的条件，再结合基本不等式和三角形的面积公式求面积的最小值. 【详解】（1），由正弦定理可得 所以 所以 ， 因为，所以 所以， ， . （2）如图：    由 得 由 得 （当时等号成立） 故的面积的最小值为. 39．(24-25高一下·湖南娄底部分普通高中·期末)在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到； （2）方法一：由为锐角三角形，得到的范围，三角形面积公式表示出的面积，整理成关于的函数，根据的范围得到面积的范围； 方法二：根据直角三角形的临界条件，得到为锐角三角形时面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以； （2）方法一：因为是锐角三角形，又， 所以，解得， ， 因为，∴，则， 从而. 方法二： 若为锐角三角形， 所以， 因为，，所以， 所以， 又因为， 所以. 40．(24-25高一下·湖南怀化·期末)如图，在平面四边形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求四边形面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出，在中，由余弦定理求解； （2）在，中，分别由余弦定理结合求解； （3）根据，结合（2），利用三角函数性质求最大值. 【详解】（1）因为，若， 则， 在中，由余弦定理可得. （2）由，得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， ，即， 解得. （3）由题，， ， 由（2）， 两式平方相加得， 所以， 当时，此时，取得最大值为， 所以四边形面积S的最大值为. 41．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，且其外接圆的半径，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式及和差角公式以及正弦定理得到，进而可求得，从而得解； （2）由正弦定理得到，，即可得到，再由内角和定理及三角恒等变换公式将式子转化为的三角函数，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）由已知可得 即 即 则 ，，，， ，，； （2）由正弦定理得 ，， ，， 又由已知ABC为锐角三角形，可得， ，， 的取值范围为 42．(24-25高一下·湖南永州·期末)在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】利用正弦定理将边转化为角可得，然后计算即可； 利用余弦定理可得，然后将边转化为角可得，然后确定角度范围，使用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）依题意，由正弦定理 得 即 又在锐角中，有，所以， 所以，所以； （2）结合（1）可得， 由，则根据正弦定理有， 得， 根据余弦定理有，得， 又为锐角三角形，则有，得， ，. 故 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 三角函数与正余弦定理解三角形 ☆8大高频考点概览 考点01任意角的三角函数 考点02三角函数的图像与性质 考点03三角恒等变换 考点04正弦定理边角互化 考点05正弦定理求值及判断三角形的个数 考点06余弦定理解三角形 考点07解三角形的实际应用 考点08范围与最值综合 目目 考点01 任意角的三角函数 1.(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转 过的弧度数为() A.i B. 3 C. 6 D.5 2元 2.(24-25高一下.湖南长沙第一中学期末)与405°角终边相同的角是(). A.-45+k.360°，k∈Z B.405+k360°，k∈Z C.45°+k.360°，k∈Z D.45°+k180,k∈Z 3.(24-25高一下·湖南怀化期末)如图，角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，它的终边与单位圆 0相交于点P,且点P的横坐标为？，则cosa的值为() 3 A B c D 4.(24-25高一下湖南沅澧共同体期末)若A是ABC的内角，且sin4-c0s4=17, /205snA+4c0sA的值可了 5sinA-7cosA 1/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 以为() A.8 9 B.8 19 C._16 D.16 5 5.(24-25高一下·湖南湘潭期末)已知平面向量a=(2,3,b=(sinx,cosx) (若a1石，求nr-3cosr的值： cosx+2sinx (2)若x=0,且a与ā+mb的夹角为锐角，求m的取值范围 目目 考点02 三角函数的图象与性质 6.(24-25高一下·湖南名校联考联合体期末)函数f(x)=3tan 2xr+π 6 图象的对称中心坐标为() A. km-元，0(keZ 212’ B. kπ-π，0(keZ 230 k☑ c. D. k_，0keZ) 46’ 2π 7.(24-25高一下湖南多校联考期末)将函数f(x)=cos2x+ 的图象向右平移0p>0)个单位长度后， 3 所得图象对应的函数为奇函数，则P的最小值为() A音 B. 8.(24-25高一下湖南衡阳衡阳县期末)（多选）已知函数f(x)=2cos(ωx+p) @>0,p<的部分图象如 2 图所示，则() 13πx 12 A.0=2 B.0-I 6 c. D.把函数y=八国的图象平移个单位后关于y挂对称。则的的最小值为号 9.(24-25高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)（多选）已知函数f(x)=V3 sinxcosx+sinx,则() 2/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.函数f(x)的最小正周期为刀 B.(合0)是八国的一个对称中心 C. 函数f1在0 上单调递增 D.函数y=fx)-,图象与直线x-3y=0有3个交点 10.425商一下满南有阳商阳县期未已知函数f到=sm(行+4+m(4:一引 (1)求函数f(x)的单调递增区间； ②当xe0 时，求函数f(x)的最值及相应x的值 目目 考点03 三角恒等变换 1.(2425高一下湖南衡阳第一中学期末已知sina-马= ,则cos2005-2a)=（) 41 2 2 A月 B.-V3 c月 D.3 2 1 12.(24-25高一下湖南衡阳衡南县期末已知0<，<名<2，c0s,=cos,=-3,则sn(-名)=（） B. C.-4v2 D.4 9 9 1B.Q425育-下湖府长沙第一中学期末已知u〔-引p(引且su+oa=sm0-cp, 则() Aa-B-号 B.B-a=I 2 Ca+B-号 D.a+B=-I 14Q425有一下潮商名校联考联合体期村已知a-号号-B药为第一象医的角。且 sin a-=3 cos 7 (1)sin 3(a-B的值； 2 (2)cos(a+B)的值. 目目 考点04 正弦定理边角互化 3/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 15.(24-25高一下·湖南长沙湖南师范大学附属中学期末)己知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,若bsin2A=asin B，且c=2b,则4等于() b A.2 B.3 C.2 D.5 16.(24-25高一下.湖南永州期末)（多选）已知ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列 说法正确的是() A.若a>b,则sinA>sinB B.若sinB=sinC,则B=C C.若A<C,则cos2A>c0s2C D.若tanA>0,则ABC是锐角三角形 17.(2425高一下湖南岳阳华容县期末若aABC的角4,8，C所对边a,bc,且满足a-2b+4bsin4+B=0, 2 则角A的最大值为 18.(24-25高一下，湖南多校联考期末)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (sin A-sin B)(a+b)=(sinC-3sin B)c (1)求A的大小 (2)若a=√7且ABC的面积为√3，求ABC的周长 19.(24-25高一下湖南长沙明德中学期末)已知在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,若 sinC=sin2B,b=3,c=4,且a≠b. (I)求tanB的值； (2)求a的值 20.(2425高一下·湖南岳阳湘阴县·期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, cosA=-a,a+6cos(B+C)=0. cosC 2b-c (1)求角A和边a: (2)若点M是边BC上的中点，求AM的最大值， 21.(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 bsin B-csin C+(c-a)sin A=0. 4/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 夕 (I)求角B: (2)如图，∠ABC的角平分线交AC于点D,且a=3,c=4, (i)求BD的长度； (i)若AB边上的中线CE与BD相交于点F,求∠DFE的余弦值. 目目 考点05 正弦定理求值及判断三角形解的个数 2.425商-下湖商水州期末刺在48c中，4=名8C=万，则48=6是C-号的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 23.(24-25高一下湖南郴州期末)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知 ac0sB+bc0sA=4cinC,cosA=-4,则a=(】 A.16 B.15 c.4 D.4 24.(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)（多选）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,下列说法 中正确的是() A.若cos2A=cos2B,则ABC为等腰三角形 B.若AB.AC=2,a=2,则b2+c2=8 C.若ABC中C为钝角，则sinA>cosB D.若b=75,c=8,B=于，则ABC解的个数为2 25.(24-25高一下湖南衡阳衡阳县·期末)ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=3, amA=4时，当角C有两解时，边a的取值范围为() 2 A.(0,7) B.(7,3 C.(7,+o D.3,+0) 目目 考点06 余弦定理解三角形 26.(24-25高一下·湖南岳阳华容县·期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,BC边 5/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 上中线AD长为1，则bc最大值为() A.3 B.√5 C.2 D.2√2 27.Q4-25高一下湖南邵阳邵东期末已知在4BC中，A+C=2元.B=ac,则4BC的形状是(） 3 A.等腰三角形B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 28.(24-25高一下·湖南名校联考联合体期末)（多选）在ABC中，三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 其外接圆的半径为R,若b2=aC,则() A.4BC的面积为 4R B.B号 C.a+c<2b D.-1+5b1+5 2a2 29.(24-25高一下，湖南衡阳衡阳县·期末)如图，设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为 8C边上的中线，=4且2acos8+公-a2-c,cos4D= 7 D (1)求边c的长度； (2)求∠BAC; (③设E,F分别为边B,4C上的动点，段EF交4D于G,且△4EF的面积为48C面积的，求 AG.EF的取值范围. 30.(24-25高一下·湖南长沙长郡中学期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=1, c=3,(b-c)(sinB+sinc)=(sinA-sinc)a. (1)求角B: (2)若D为线段AC上一点，且AD=3DC,求BD的长度 31.(24-25高一下湖南长沙雅礼中学期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 a+b+c=16. (1)若a=4,b=5,求cosC的值； ②若sin cos号+s5 sin Bcos=2sinC,且ABC的面积S=18sinC,求a和方的值. 2 目目 考点0☑ 解三角形的实际应用 6/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.(24-25高一下湖南衡阳衡南县期末)某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的 方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点 处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的 帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米. D (1)求该人工圆形湖泊的直径： (2)若D为人工圆形湖泊优弧AC上一动点（异于A,C两点），求四边形ABCD周长的取值范围， 33.(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府 决定新增若干休闲区域如图，某休闲区域ABCD是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便 观赏，中间穿插了步道AC,已知∠D=2LB,AD=,CD=4,c0sB= D (1)求步道AC的长； (2)若 ；求花卉种植区域总面积 从①∠BC1=聋，②AB-BC=6这两个条件中仁选一个，补充在上面间题中并作答 34.(2425高一下·湖南永州宁远一中崇德学校期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个 有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交 于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角△ABC外接 圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC三边翻折后交于点P. 7/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)若AB=3,求sin∠PAC: (2)若AC:AB:BC=6:5:4,求PA+PB+PC的值 35.(24-25高一下湖南长沙第一中学期末)如图，在ABC中，角A,B,C的对边为a,b,,S为三角形的面积， 己知角A满足S=b2+c2-a2-besinA. D B (1)求c0sA; (②若b=3coB-手EF分别在边4B.C上，将△8EF沿者线段EF对折顶点B恰好落在边4C上的D点， 当AD=DC时，求DEF的面积. 36.(24-25高一下·湖南郴州期末)在2025年斯诺克世界锦标赛中，中国选手赵心童展现了卓越的球技，成 为首位获得世锦赛冠军的中国选手，同时也是亚洲首位斯诺克世锦赛冠军假设在一次模拟的斯诺克比赛中， 球桌的尺寸为矩形ABCD,斯诺克选手需要从一个特定角度O击球，使球从E点出发，经过点P,最终进入 袋口B,如图所示其中，BP=4而，BE=5,AB,BC足够长 D B E (1)若0=135°，求PE: (2)若BF=3BP,CF交PE于点O,设BE=ABC,EO=uEP,其中元，u∈0,1)，求+u的最大值 4 37.(24-25高一下.湖南多校联考期末)圆内接四边形有诸多良好的性质，其中托勒密定理极其优美，即在 圆内接四边形ABCD中，AB·CD+AD·BC=AC·BD,试利用该定理解决下列问题： 8/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)设正三角形ABC内接于圆O,点D在劣弧AC上（不与点A,C重合），证明：BD=AD+CD. (2②在圆内接四边形ABCD中，AB=a,BC=d,CD=b,AD=c,D=a+b+C+d,证明： 2 (i)AC2= (ab+cd)(ac+bd) ad +bc (ii)四边形ABCD的面积S=Vp-a)(p-b)(p-c)(p-d) 目目 考点08 范围与最值综合 38.(24-25高一下·湖南岳阳华容县期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 3(acosC-b)=3csin A (1)求角A: (2)若角A的平分线交BC边于D且AD=2,求ABC的面积的最小值 39.(24-25高一下·湖南娄底部分普通高中·期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知 √ a=bcosC+ -csin B 3 (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形，且边c=2V5,求ABC面积的取值范围 40.(24-25高一下湖南怀化期末)如图，在平面四边形ABCD中，AB=4,BC=3,CD=2,AD=5. (I)若AB⊥BD,求cosC的值； (2)若A+C=180°，求cosC的值； (3)求四边形ABCD面积S的最大值. 41.(24-25高一下·湖南沅禮共同体·期末)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2V3 a cos(B-C csin B-a cos A (1)求角A: (2)若ABC是锐角三角形，且其外接圆的半径R=√2，求b2+C2的取值范围. 9/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 42.(24-25高一下湖南永州期末)在锐角ABC中，角A,B,C所对应边分别为a,b,c, 2sinA(ccosB+bcosC)=3a (1)求A: (2)若a=√5，求b2+c2+bc的取值范围 10/10