10.2.2 加减消元法-导学案 2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦加减消元法，通过问题探究引导学生观察方程组中未知数系数关系，从回顾代入法过渡到发现新消元方法，以探究提示和分情况实例为支架，帮助学生理解方法步骤。 资料以问题驱动培养数学抽象能力，分情况实例覆盖不同系数类型提升运算能力，结合《九章算术》问题渗透模型意识，达标检测多样化，助力学生自主学习与教师教学评估。

姓名: 学科: 日期: 10.2.2加减消元法 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年5月19日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历问题探究，理解与掌握利用加减消元法解二元一次方程组的方法与步骤，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 问题探究 （一）问题1 前面我们用代入法求出了方程组 的解. 这个方程组的两个方程中,的系数有什么关系?利用这种关系你能发现新的消元方法吗? 探究1：注：②-①就是用方程②的左边减去方程①的 ,再用方程②的右边减去方程①的 . 由观察可知，这两个方程中未知数的系数 , 利用等式基本性质，用方程 可以消去未知数,得 把代人①,得 解得 所以这个方程组的解是 （二）问题2 联系上面的解法,想一想怎样解方程组 探究2： 由观察可知，这两个方程中未知数的系数互为 , 利用等式基本性质，用方程 可以消去未知数,得 解得 ， 把代人①,得 解得 所以这个方程组的解是 2、 加减消元法 （1） 定义 从上面两个方程组的解法可以看出,当二元一次方程组的两个方程中 未知数的系数互为 或 时,把这两个方程的两边分别 或 ,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法,简称 法. （2） 实例运用 例1．用加减法解方程组 （3） 提升演练 1.情况一：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数是整数，但既不相等也不互为相反数时. 例2．用加减法解方程组 2.情况二：当二元一次方程组中未知数的系数是分数或小数，或二元一次方程组中含有括号时. 例3．（1）用加减法解方程组 （2）用加减法解方程组 （3）用加减法解方程组． 3.情况三：当二元一次方程组中出现了相同的含有未知数的代数式时. 例4.小明同学在解方程组时，发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，聪明的他想到通过换元可以简化运算．以下是他的解题过程： 解：令，则原方程组可化为解得 所以解得 所以原方程组的解为 请你参考小明同学的方法，解方程组： （四）用加减消元法解二元一次方程方法小结 1.当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相等时，把这两个方程的两边分别相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程. 2. 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，把这两个方程的两边分别相加,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程. 3. 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数是整数，但既不相等也不互为相反数时，利用等式基本性质，将某一未知数的系数的绝对值变成它们的最小公倍数，从而实现两个方程中这一未知数的系数变得相同或互为相反数的目的. 4.当二元一次方程组中未知数的系数是分数或小数，或二元一次方程组中含有括号时，先利用等式基本性质与去括号的法则，将二元一次方程组转化成未知数的系数为整数的二元一次方程组，再求解. 5.当二元一次方程组中出现了相同的含有未知数的代数式时，则利用整体思想和换元法，将复杂方程转化为简单方程，再求解. 三、用加减消元法解决实际问题 （一）实例分析 例5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 【分析】由于每头牛和每只羊的价格分别相等,所以根据"5买头牛、2只羊,共值金 两;2头牛、5只羊,共值金 两"可列得方程组. 【详解】解：设每头牛值金 两，每只羊值金 两． 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值金 两，每只羊值金 两． （二）用加减消元法解决实际问题的步骤 1.一 ：通过认真审题，弄清楚题目的已知量、未知量与相等关系. 2.二 ：根据题意设出两个未知数； 3.三 ：列二元一次方程组； 4.四 ：用 消元法解二元一次方程组； 5.五 . （三）变式训练 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 四、达标检测 1．用加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 2.解方程组： 3．我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 4．甲、乙两名同学同时解关于的二元一次方程组，甲正确地解出，而乙因为看错了的值，得出，试求的值． 五、课堂小结 经历问题探究，理解与掌握了利用加减消元法解二元一次方程组的方法与步骤，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 10.2.2加减消元法 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年5月19日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历问题探究，理解与掌握利用加减消元法解二元一次方程组的方法与步骤，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 问题探究 （一）问题1 前面我们用代入法求出了方程组 的解. 这个方程组的两个方程中,的系数有什么关系?利用这种关系你能发现新的消元方法吗? 探究1：注：②-①就是用方程②的左边减去方程①的左边,再用方程②的右边减去方程①的右边. 由观察可知，这两个方程中未知数的系数相等, 利用等式基本性质，用方程②-①可以消去未知数,得 把代人①,得 解得 所以这个方程组的解是 （二）问题2 联系上面的解法,想一想怎样解方程组 探究2： 由观察可知，这两个方程中未知数的系数互为相反数, 利用等式基本性质，用方程①+②可以消去未知数,得 解得 把代人①,得 解得 所以这个方程组的解是 2、 加减消元法 （1） 定义 从上面两个方程组的解法可以看出,当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法,简称加减法. （2） 实例运用 例1．用加减法解方程组 【详解】解： 得： 解得， 把代入①得： 解得， ∴原方程组的解为 ． （3） 提升演练 1.情况一：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数是整数，但既不相等也不互为相反数时. 例2．用加减法解方程组 【详解】解： ①得 ②③得 解得：， 将代入①得， 解得：， 原方程组的解为． 2.情况二：当二元一次方程组中未知数的系数是分数或小数，或二元一次方程组中含有括号时. 例3．（1）用加减法解方程组 解：原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）用加减法解方程组 解：原方程组可化为， ，得 ，得， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为． （3）用加减法解方程组． 解：原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 3.情况三：当二元一次方程组中出现了相同的含有未知数的代数式时. 例4.小明同学在解方程组时，发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，聪明的他想到通过换元可以简化运算．以下是他的解题过程： 解：令，则原方程组可化为解得 所以解得 所以原方程组的解为 请你参考小明同学的方法，解方程组： 解：原方程组可化为 解得 ∴ 解得 ∴原方程组的解为 （四）用加减消元法解二元一次方程方法小结 1.当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相等时，把这两个方程的两边分别相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程. 2.当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，把这两个方程的两边分别相加,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程. 3.当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数是整数，但既不相等也不互为相反数时，利用等式基本性质，将某一未知数的系数的绝对值变成它们的最小公倍数，从而实现两个方程中这一未知数的系数变得相同或互为相反数的目的. 4.当二元一次方程组中未知数的系数是分数或小数，或二元一次方程组中含有括号时，先利用等式基本性质与去括号的法则，将二元一次方程组转化成未知数的系数为整数的二元一次方程组，再求解. 5.当二元一次方程组中出现了相同的含有未知数的代数式时，则利用整体思想和换元法，将复杂方程转化为简单方程，再求解. 三、用加减消元法解决实际问题 （一）实例分析 例5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 【分析】由于每头牛和每只羊的价格分别相等,所以根据"5买头牛、2只羊,共值金10两;2头牛、5只羊,共值金8两"可列得方程组. 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两． 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值金3两，每只羊值金1两． （二）用加减消元法解决实际问题的步骤 1.一审：通过认真审题，弄清楚题目的已知量、未知量与相等关系. 2.二设：根据题意设出两个未知数； 3.三列：列二元一次方程组； 4.四解：用加减消元法解二元一次方程组； 5.五答. （三）变式训练 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设有x人，物价为y钱，根据“每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱”列出方程组并求解． 【详解】解：设有x人，物价为y钱， 由题意可得，， 解得． 答：有5人，物价为28钱． 四、达标检测 1．用加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）根据加减消元法求解即可； （4）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 即； （2）解：， 得：， 将代入得：， 解得：， 即； （3）解：， 整理得， 得， 解得：， 将代入②得， 解得：， 即； （4）解：， 整理得， 得， 解得：， 将代入②得， 解得：， 即． 2.解方程组： 【详解】（1）解：令． 原方程可化为 解得 ∴解得 ∴原方程组的解为 3．我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 4．甲、乙两名同学同时解关于的二元一次方程组，甲正确地解出，而乙因为看错了的值，得出，试求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代入方程组中，得到关于与的二元一次方程与的值，将代入方程组中的中得到关于与的二元一次方程，联立组成关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值即可． 【详解】解：将代入方程组 得即 将代入，得．② 将①②联立，得方程组 ①②，得， 解得．将代入①， 得． 故的值分别为． 5、 课堂小结 经历问题探究，理解与掌握了利用加减消元法解二元一次方程组的方法与步骤，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $