10.2.2 第2课时 加减消元法解复杂的二元一次方程组 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组 10.2 消元解二元一次方程组—加减法3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程，要求规范书写步骤，师生共同评价，肯定优点，指出步骤中的错误和不足，对思路清晰、步骤规范的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固两种消元法的应用。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么方法解二元一次方程组？解题的核心思想是什么？”，让学生自主发言，梳理代入消元法和加减消元法的解题步骤，强调“消元思想”是解二元一次方程组的核心，两种方法的本质都是将二元转化为一元。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调两种方法的适用场景：代入消元法适合有一个未知数系数为1或-1的方程组；加减消元法适合有一个未知数系数相同或互为相反数的方程组，鼓励学生根据方程组特点选择合适的方法，同时提醒学生注意解题步骤规范和计算准确性，避免常见错误。 3. 布置作业：让学生课后巩固两种消元法的解题方法，完成基础计算题（每种方法各2道），并解决1道实际应用题（列出方程组并求解），要求规范书写解题步骤，下节课上台展示，进一步强化技能，深化对消元思想的理解。 整个教学过程注重实操性和逻辑性，层层递进，从思想讲解到方法演示，再到实操练习和拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点和运算能力水平，确保学生能掌握代入消元法和加减消元法，能熟练解简单的二元一次方程组，同时培养学生的运算能力、逻辑推理能力和规范书写习惯。 本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的解的概念，能判断一个数对是否为方程组的解，培养学生的方程思想和抽象思维能力。教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展应用—总结收获”五个环节展开，注重实例引导、师生互动和分层教学，突出概念的逻辑性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求，确保学生能扎实掌握二元一次方程组的核心概念。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“我们之前学过一元一次方程，谁能说出一元一次方程的定义？”，引导学生回忆——只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，随后板书例题：2x+3=7、5y-1=0，让学生快速判断并说明理由，唤醒旧知，强调“一元一次方程的核心是‘一个未知数、次数为1’”。2. 情境导入：展示实际问题：“现有鸡和兔共8只，它们的脚共有26只，问鸡和兔各有几只？”，引导学生思考：若设鸡有x只，兔有y只，可列出两个关系式：x+y=8、2x+4y=26，提问“这两个方程和我们之前学的一元一次方程有什么不同？”，进而引出课题——二元一次方程组，明确本节课学习任务：理解二元一次方程、二元一次方程组及解的概念，能判断方程类型和数对是否为方程组的解。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究二元一次方程组的相关概念，注重实例分析、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。 1. 二元一次方程的定义：结合导入环节的两个方程x+y=8、2x+4y=26，讲解二元一次方程的定义——含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。强调三个关键条件：① 含有两个未知数（如x和y）；② 未知数的项的次数都是1（不含平方、立方等次数）；③ 等号两边都是整式（分母不含未知数）。举例说明：3x+2y=5是二元一次方程，而x²+y=3（未知数次数为2）、1/x + y=2（分母含未知数）都不是二元一次方程，通过正反例对比，帮助学生准确理解定义。 2. 二元一次方程组的定义：讲解“把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组”，强调“合在一起”的含义——两个方程共同含有两个相同的未知数，且每个方程都是二元一次方程。 【学习目标】 1. 用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组.(重点) 2. 如何灵活运用加减消元法.(难点) 3. 能选择适当的方法解二元一次方程组.(难点) 【自主学习】 请观察下面的方程组：： 问题1：直接加减是否可以消去一个未知数? 为什么? 问题 2：能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同? 提问：如何用加减法消去 y ?（思考） 【合作探究】 探究点1：加减消元法解较复杂的二元一次方程组 例1 用加减法解方程组： 例2 用加减法解方程组： 总结： [练一练] 1. 用加减法解方程组：（1） （2） [归纳总结] 用加减消元法解二元一次方程组的步骤： ①变形：找同一未知数(系数绝对值小的)系数的最小公倍数，将方程两边乘对应数. ②加减：同一未知数系数相反则相加，相等则相减 ③求解：解消元后的一元一次方程. ④回代：将结果代入原方程组简单方程. ⑤写解：用大括号联立两未知数的值. 探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法 思考： 下面的方程组选择哪一种消元的办法更简便. （1） （2） （3） （4） 观察方程组： 讨论1：观察方程组中各未知数系数的特点，能直接用加减法消去一个未知数吗? 讨论 2：分别用代入法和加减法解上面的方程组，讨论什么样的方程适合用代入法，什么样方程组适合用加减法. 方法归纳： 解二元一次方程组的方法选择： 1. 优先代入法：任意一个未知数系数为 1 或 -1 时； 2. 优先加减法：同一个未知数系数系数相等(或相为相反数)或成整数倍. [练一练] 2.解下列方程组：(1) (2) [典型例题] 例3 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何? 意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两? [练一练] 3. 在某路段建设工程中，有甲、乙两种车辆参与土方运输.已知 5 辆甲种车和 2 辆乙种车一次可运土 64 m3；3 辆甲种车和 4 辆乙种车一次可运土 72 m3. 甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米? 课堂检测 1.解方程组：①②③④比较适宜的方法是(　　) A.①③用代入法，②④用加减法 B.①②用代入法，③④用加减法 C.②③用代入法，①④用加减法 D.②④用代入法，①③用加减法 2.用加减消元法解方程组的最佳策略是(　　) A.②－①×3，消去x B.①×9－②×3，消去x C.①×2＋②×7，消去y D.①×2－②×7，消去y 3.已知二元一次方程组用加减消元法解方程组正确的是(　　) A.①×5－②×7 B.①×2＋②×3 C.①×7－②×5 D.①×7＋②×5 4.解方程组： (1)(2) 5.[教材变式]《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱.问上、下禾每束价各几何？ 参考答案 【自主学习】 问题1：同一未知数的系数绝对值不相同无法通过直接加减消去未知数 问题 2：根据等式的性质，在等式的两边同时乘以一个相同的数，等式仍成立 【合作探究】 探究点1：加减消元法解较复杂的二元一次方程组 例1 解：①×2，得6x－4y＝8.③ ②＋③，得13x＝26，x＝2. 把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1. 所以这个方程组的解是 例2 解：①×3，得 6x＋9y＝9. ③ ②×2，得 6x＋4y＝22. ④ ③－④，得 5y＝－13，解得 y＝－. 把 y＝－ 代入①，得 2x－＝3，解得 x＝ . ∴ 这个方程组的解为 [练一练] 1. （1）解：①×3 得6x + 9y = 36. ③ ②×2 得6x + 8y = 34. ④ ③－④ 得 y = 2. 把 y＝2 代入 ①，解得 x＝3. 所以原方程组的解是 （2）解：整理得 ①×3－②×2，得 y＝－2， 将 y＝－2 代入①，得 x＝0， ∴原方程组的解为 探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法 （1） 代入消元法（2）加减消元法 （3）加减消元法 （4）加减消元法 讨论1 不能直接加减消去，因为系数不同而且不互为相反数 讨论2 可以根据同一个未知数的系数情况来判断 [典型例题] 例3 答：每头牛和每只羊分别值金 两和 两. [练一练] 3. 答：每辆甲种车一次可运土8 m3 ，每辆乙种车一次可运土12 m3. 课堂检测 1.　A　2.　A　3.　D　 4.解：(1)(2) 5.解：设上禾每束x钱，下禾每束y钱.根据题意， 得解得 答：上禾每束10钱，下禾每束8钱. 学科网（北京）股份有限公司 $