甘肃陇南市西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，以乡村振兴旅游宣传、校庆观影座位安排等真实情境为载体，通过导数应用、排列组合、函数极值与零点等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算、排列组合、概率|结合课表安排（题2）考查分步计数原理| |多选题|3/18|导数运算、分配问题|作品分配（题10）考查分类讨论思想| |填空题|3/15|曲线距离、对数值、切线|圆与曲线公切线（题14）考查数形结合| |解答题|5/77|排列组合应用、导数切线、函数单调性与零点|校庆观影座位（题15）多问设计，从相邻到不相邻考查逻辑推理；函数极值与零点证明（题19）体现数学思维严谨性|

参考答案 1.答案：B 解析：依题意，lim f(4+△x-f4-1im 2△x 4+-f9-f4=-l )△r→0 △x 2.答案：B 解析：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有A4A,=8种排法， 再排其余4节，有A4=24种排法」 根据乘法原理，共有8×24=192种排法， 故选B 3.答案：A 解析：由f(x)=x2+a2,得到f'(x)=2x, 又因为f(2)=f'(2),所以22+a2=2×2, 解得a=0 4.答案：C 解析：确定冠军人选：有A,=3种选法， 确定乙的名次：有A,=3种选法 安排剩余3人的名次：有A；=3!=6种排法， 所以总排列数为：3×3×6=54. 5.答案：D 解析：：f(-x)+f(x)=0,即f(-x=-f(x,故函数f(x为奇函数， 设g(x=f(x)e+f(x)e=f(x)e+e）,则 g'(x=[f'(x+f(x]e*+[f'(x)-f(x]e, 由题意，当x>0时，g'(x)=[f'(x)+f(x)]e+[f'(x-f(x]e>0, “gx)=f(x)(e+e在(0，+o)上单调递增， 又：e+ex为偶函数，故gx)为奇函数， g(x)=f(x)(e+e)在(-o,0)上单调递增，gx)图象连续不断且g(0)=0, :g(x)=f(x(e+e）在R上单调递增， ∴.当x>0时，e+e>0,8x)>0,f(x)>0;同理当x<0时，∴fx<0 对于A,g(e=f(e)e+e),g(-e=f(-e(e+e),'g(e>g-e),∴f(e)>f(-e, 故A错误 对于B,当x>0时，f(x)>0,则f(x)>0,故B错误 对于C,由于函数f(x)的单调性未知，故该选项不确定，故C错误 对于D,当x>0时，fx)>0,当x<0时，f(x<0,且f(0)=0,f(x)有且只有一个零点， 故D正确. 6.答案：B 解析：因为圆C:x-3)+y-4)=9关于直线1：ax+by-2=0(a>0,b>0)对称 所以直线1过圆心3,4)，即3a+4b=2,因为a>0,b>0, 4b 3a =2 4b_3a,即a= 当且仅当3046 6=时，等号成立所以+ ,的最小值是2 故选B 7.答案：B 解析：由题可得，恰有2个村是派游示范村的概率为P=CC-_18 C35 故选：B. 8.答案：C 解析：由对勾函数的单调性可知，函数y=x+4在区间(0,2)上单调递减，在2，+) 上单调递增， 因为函数f()在R上为增函数，所以函数f(x)=x+4在a,+∞上为增函数， 则a,+0)s2,+0),即a≥2， 又因为函数到=+4在（一）上为增函数，且函数在R上为增函数， 则有子a+4≤a+4,因a≥2，则可得(3a-4a-4到≥0，解得a≥4， 故实数a的取值范围是4，+oo),即a的最小值为4. 9.答案：BC 解析：对于A,因cos2是常数，故(cos2'=0,故A错误； 对于B(yB正确 2V√x 对于C sinx e*cosx-e*sinx_cosx-sint,故C正确； er (e)2 e 对于D,因(Insinx)=cosx,故D错误 sin x 故选：BC 10.答案：BD 解析：先从4件作品中选出2件作为一组，有C?=6种选法，再将这三组分配到三个展区， 共有CA=6×6=36种方案，故A错误； 若作品A单独在甲展区，则剩余3件作品分配到乙、丙两个展区且每个展区至少1件，共 有CA?=6种方案，故B正确； 若作品B与作品C必须在同一展区，则它们必须捆绑成一个整体，共有A?=6种方案， 故C错误： 甲展区恰好获得2件作品有C?=6种选法，剩余2件分配给乙、丙各1件有A?=2种选法， 共有6×2=12种方案，故D正确 11.答案：BCD 解析：依题意，y=f(2x+1)是偶函数，则有f(2x+)=f(-2x+1), 则y=f(x)的图象关于直线x=1对称，故f(2-x)=f(x), 又f(-x)=-f(x-2),即f(x)=-f(-x-2),因此有f(2-x)=-f(-x-2), 即f(x+4)=-f(x),于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 所以函数f(x)的周期T=8, 对于A,f2025)=f(253×8+1)=f(I)=0≠1，故A错误： 对于B,由y=f(x)的图象关于直线x=1对称，且当x∈-1,1时，f(x)=-x2+1, 作图如下，故B正确： 对于C,f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3), 所以y=f(x+3)为奇函数，故C正确； 对于D,在同一平面作出函数y=f(x)的图象与y=g(x+1)的图象，如图， y=f(x) y=lg(x+1) 可得方程f(x)=g(x+1)有6个不同的实数解，故D正确. 故选：BCD 12.答案：√5 解析：y=x2-lnx的定义域为0，+oo), 求导得y=2x-1令y=1得2x-1=1, 即2--1-0解得x=1或x=号 (舍去)， 当x=1时，y=1,此时切点为1,1)， 所以曲线y=x2-lnx上的点到直线y=x-2距离的最小值 即为切点(1,1)到直线y=x-2的距离， 即为-1-2-5 √1+1 13.答案：1 解析：由于1只能作真数，从其余个数任取一个数作底数，对数值均为0， 从除1以外的其余各数任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成8×7=56个对数 式， l0g,4=l0g:9,l0ga 2=10go 3,l0g:2 10go 4,10g,3 l0ga9, 因此，不同的对数值的个数为1+56-4=53. 故答案为：53 14.答案： 十00 解析：由于y=a+a>0),则y=a-, 则曲线y=ax+(a>0)在点(，6)的切线方程为y- *a- 即a-1 x-y+2=0 又因为此切线也为圆x2+y2=4的切线， 2 Xo 则圆心(0,0)到切线的距离d =2 + 两边平方，化简为2=a- 1)2 设1无则=(a-+1,即-(2a++a+1=0, 因为存在4条切线，所以上述一元二次方程有两个不同的正实根时x,有4个解， (2a+1)2-4a2+1>0 则2a+1>0 解得a>4 a2+1>0 所以e的取位范周是得 15.答案：(1)24 (2)12 (3)24 解析：(1)先将3名男生排在一起，有A=6种排法， 再将2名女生排在一起，有A2=2种排法 将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有A?=2种排法， 由分步乘法计数原理可知，共有A;×A3×A?=6×2×2=24种排法 (2)先将3名男生排好，共有A=6种排法， 再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有A?=2种排法， 再由分步乘法计数原理，共有A?×A?=6×2=12种排法」 (3)先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有A?=2种排法， 由于甲乙相邻，则有A?=2种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中， 共有A=6种排法， 由分步计数原理，共有A?×A×A?=2×2×6=24种排法， 16.答案：(1)a=-1,b=-4 (2)3x+y+3=0或3x+4y+3=0 解析：)f(x=b1nr-2x2+a,fx)=b-4x, 由曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为8x+y-5=0, 切点为1，-3)，斜率k=-8, 可得a-2=-3,即a=-1, f'(1=b-4=-8,解得b=-4 (2)曲线C:y=-x3-1,求导得y=-3x2, 设曲线与过点(-1,0)的切线相切于点Ax,-x。-1, 则切线的斜率k=-3x, 所以切线方程为y--x-1=-3x(x-x), 由于切线过点(-1,0)，得0-（-x-1=-3x6(-1-x), 化简为2+3X-1=0,即化+P2x-》=0解得=1或=方 故所求的切线方程为3x+y+3=0或3x+4y+3=0. 17.答案：(1)x+2y-2ln2+1=0 (2)见解析 (3)m≥1 解析：(1)依题意f(x)=ln(x+1)-x, 所以f)=-1,f0=}1=- x+1 2 又f)=ln2-1 函数在，0)处的切线方程为y-a2-1)=×x-)。 即x+2y-2ln2+1=0. (2)当x>0,fx=1,x+12ax+)-(ar2+-ar2+0-2ax x+1 (x+1)2 (x+1)2 ①当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+o)单调递增， ②当a≥时.f<0,在0+w)单调還减 ③当0<a<时，令f'(x)=0,解得x=1-2 则当x02时.f>0,当x(日2 时，f'(x)<0, 所以f在02 单调递增，在 2w 单调递减， 综上可知， 当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增； 当0<a<时，在0，2 上单调递增，在 1-2,t 上单调递减， a 当a≥时，)在0，+w)上单调递减 (3)由(2)可知， ga=s-f合-2j=hl-a)-ha-2+4aao ga=+4-2a-少<0. a-1 a a(a-1) 枚go在0 单调递减 又因为a→时，ga→0， 所以g>g】 即ga>0, 因为，对x∈(0，+o),关于a的不等式g(a)>lnx-mxe+x+1恒成立， 所以，对x∈(0，+oo),lnx-mxe*+x+1≤0恒成立， 即x∈(0，+o,m≥血x+x+成立， xe* 令h(x)=血x+x+1 xe" (I+1xe'-(x+x+1)(e'+xe) h'(x)= x2e2x -(x+l)e*-e"(x+1)(Inx+x+1) x'e2r -(x+1)(-Inx-x) x2e" =-(x+l)(lnx+x) x2er 因为x>0,x+1>0,x2e*>0 令u(x)=lnx+x,u(x)在(0，+oo)上单调递增 因为得-1+0a0=h1+1=0 e 所以，由零点存在定理，可知3x。∈ ,使得u(xo)=0,即lnx+x=0. 当x∈(0，xo)时，u(x)<0,h'(x)>0 当x∈(x,+oo)时，u(x)>0,h'(x)<0 所以h(x)在(0，xo)上单调递增，在(xo,+∞）上单调递减 所以h(x)ax=h(x)=血+x+1-1 roeto e61, 所以m≥1 18.答案：4)极大值点为x=号，极小值点为x=2. (2)-00,4] ()05-4i2 解析：(1)当m=5时，f(x)=x2-5x+2lnx,定义域为(0，+o, /=2x-5+2_2-5x+2_2x-1x-2(x0. 1 f=0,得x=25=2, 当)<x<2时，到<0)在22上单调递减： 当0<x<或x>2时.f>0,f八到在0和2，+网上单调递增 因此极大值点为：号极小值点为x=2. (2)函数f(x)=x2-mx+2lnx的定义域为(0，+oo). 2 对f(x)求导得f'(x)=2x-m+ 因为f(x)在其定义域内单调递增，所以f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立， 即2x-m+2≥0在(0，+o)上恒成立 移项可得m≤2x+2在(0，+o)上恒成立 根据基本不等式a+b≥2√ab(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)， 对于2x+2,其中a=2x,6-是则2x+名2222=4， 当且仅当2x=2,即x=1时等号成立 所以m≤4，即实数m的取值范围是(-0,4 6)油2知f=2-m+2,因为fx)有两个零点，5， 所以x,x2是方程2x2-mx+2=0的两个不相等的正实数根. 根据韦达定理，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， b 西根有+宝花 a 则在方程2x2-mx+2=0中，：+x,= 2,2=1. 因为0<<无所以0<1<且m=25+=25+ 已知4<m<5,即4<2 5样不等式4<月 两边同时除以2，得2<x+二，移项得x-2x+1>0,即(x-1)2>0, 因为0<x<1,所以该不等式恒成立 解不等式2x+ <5,两边同时乘以x(x>0)得2x-5+2<0, X 因式分解得(2-川5-2<0，解得<写<2，结合0<<1，可得x<1 f(x)-f(x)=x2-mx+2lnx-（x号-mx2+2lnx2) =(xi-x2)-m(x-x2)+2(Inx-Inx2) =(x-x)-2(x+x2)(x-x2)+2n4 X2 =(x号-x)+2ln当 、/ +4nx 设创到=京+4nx号x1, 州-2-2x任2-20断以时在号 上单调递减。 x 则<Ma<分a-=京-户+4a1=0, 所以0<华-4h2,即fx-fx)的取值花国是0，号-4h2 19.答案：(1)证明见解析； (2)(i)证明见解析； (ii)m≤e-l. 解析：（)解法一函数到的定义域0，+，f八=e-a, 令gx=e--a,因为g'(=e+>0, 所以g(x)=e-1-a在(0，+o)单调递增，即f'(x)=e--a在(0，+o)单调递增 又x→0，f(x)=c--a<0:x→+m,f'(x)=e-1-a>0. 所以存在唯一的实数，使得f()=0,即e-1=a. 当x∈(0，x)时，f'(x)<0,所以f(x)单调递减： 当x∈(xo,+o时，f'(x)>0,所以f(x)单调递增： 故x=x。为f(x)的极小值点，即f(x)有唯一的极值点； 解法二：同法1得到f'(x=e--a在(0，+o)单调递增。 1 由于f八+e+i i__1-a=emci-(lal+e+l)-a 1 a+e+l <e-(a+e+1)-a<-a-a-1<0, f'(lal+2=e2-1 a+2a>4+2+1a+2a>0, 所以存在唯一的实数x,∈ 2*2 1 使得f"川x)=0,即e-1=a, 当x∈(0，x)时，'(x)<0,所以f(x)单调递减： 当x∈(x,+0时，f'(x)>0,所以fx)单调递增； 故x=x为f(x)的唯一极值点. (2)(i)解法一：由(1)，得f()极小值=f(xo)。 ①当f(x)≥0时，f(x)至多一个零点，不合题意，舍去； ②当f(xo)<0,即e-lnx-ax-1<0时， e6、 -=a, 由 消去a得，1-x)e-lnx。<0, e*o-Inxo-axo-1<0, p(x)=(1-x)e*-Inx(x>0), 因为px=-xe-1<0,所以px)=1-x)e-lnr为减函数， 又因为p1)=0,所以1-xo)e-lnx,<0的解集为(1，+oo. 又y=e-在(1，+o单调递增，所以a=e-e-l,w. xo 又x→0，fx>0;x→+0，f(x>0. 此时f(x)有两个不同的零点，即a>e-1. 解法二同法1得到a=e-1∈c-l,+o). 此时fe）=e°-lne-aea-l>l+a-ae-l=a1-ea）>0 f(a+1=ea1-ln(a+1)-a(a+1-1>(a+1)2-(a+1-1-aa+l-1=0 又a+1-=e--6+1>0,则c”<x,<a+1, Xo 由零点存在性定理，存在x∈e,x),x2∈(xo,a+l),使得f(x)=f(x)=0. 综上，可得a>e-1. eb、 (i)解法一：由于∈(1，+o),所以>l血可化为m≤ xo-Inxo e'-1 令hx)=又 ,x∈(1，+oo), x-Inx a》e必- (x-Inx) ex-n时--》x-n+- (x-Inx) e--12x-- (x-Inx)2 设(x)=x-1-ln,x>1,则x)=->0,则(x)>1=0, 则x-l-lhx>0,即x-lnx-1>0,从而x-lnx-1+1>1>0. 令p(x)=2x-nx-1,p'(x)=2-1>0,所以o(x)在(1，+o单调递增， 所以px)>p(1)=2-n2-1=1-ln2>0,所以2x-lnx-1>0, --(--1 >0? (x-Inx) 所以h'(x)>0,所以h(x在(1，+oo)单调递增. 所以h(x>h(1=e-1,故m≤e-1. 解法二：将e-1=a代入整理得e-1≥mx,-lnx,） Xo 令h=e-1-m(x-lnr, 当m≤0时，因为x>l,所以e-1>0,x>1nx, 所以h(x)=e-1-m(x-lnx>0,显然成立： 当>0时=+草-心+女-川小 令4(=e+mx-刂，则(=(x+e-m. 显然'(x在(1，+oo)单调递增，所以μ(x)>2e-1-m. ①当m≤2e-1,则u'x>2e-1-m≥0， 此时ux)=xe+-m(x-)在（山，+o)单调递增， 所以ux>e+1>0,即h'x)>0. 所以hx)在(1，+oo)单调递增，所以h(x)>h(1=e-1-m, 欲使h(x)>0,只需e-1-m≥0，即m≤e-1. 即0<m≤e-1时，符合题意 ②当m>2e-1时，则h(1=e-1-m<0, 又2到=c2-m2-n2, 若h2≥0，则h1)h(2)≤0， 又hx)=e--m(x-lnx)在1，+o连续， 则存在x。∈(1,2)，使得h(x)<0,这与h(x)≥0矛盾； 若h(2)<0,则h(x)≥0显然不恒成立 综上，实数m的取值范围为m≤e-1. 解法三将e-=a代入整理得e-↓≥m(x-1x) Xo 令hlx)=e'-1-m(x-ln ①当m>e-l时，h(1=e-1-m<e-1-(e-l)=0. 又42=e-ml2-n2l: 若h2)≥0，则h(1h(2)≤0， 又=e一士m(x-n在L四)的图象是连续不断的 故存在x∈(1,2)，使得h(xo)<0,这与h(x)≥0矛盾； 若h(2)<0,则h(x)≥0显然不恒成立 所以m>e-1时，h()=c-1-m(x-1nx>0不恒成立. ②当m≤e-1,因为x>Inx,h(x)≥e-1-(e-1(x-lnx), v(x)-e'---(e-1)(x-Inx).v(1)-0 又=e+e-- 因为x>l,所以e>e 所以v(>e+-e-1-++1>0 所以v(x)在(1，+o)单调递增， 所以v(x)>v(1)=0 综上，实数m的取值范围为m≤e-1. 绝密★启用前 2025-2026年西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学高二下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．已知函数的导函数为,若,则的值为(      ) A. B. C.2 D.4 2．某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,不同的排法种数是(      ) A.96 B.192 C.384 D.768 3．若函数的导函数为,且,则(      ) A.0 B.2 C.4 D.1 4．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”. 从以上回答分析,5人的名次排列有________种不同情况(   ) A.9 B.18 C.54 D.108 5．已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线,且,若当时,,则(      ) A. B. C.存在极值点 D.有且只有一个零点 6．已知圆:关于直线对称,则的最小值是(      ) A.1 B.2 C.4 D.8 7．国家提出“乡村振兴”战略,各地纷纷响应.某县有7个自然村,其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游,被评为“旅游示范村”.现要从该县7个自然村里选出3个作宣传,则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为(      ) A. B. C. D. 8．已知函数为增函数，则a的最小值是(      ) A. B.2 C.4 D.5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列求导运算正确的是(      ) A. B. C. D. 10．某校科技节共有4件不同的作品,需要分配到甲、乙、丙三个展区进行展示,每个展区至少获得1件作品,所有的作品都需要展示.下列选项正确的有(      ) A.不同的分配方案总数为12种 B.若作品A必须单独在甲展区,则不同的分配方案有6种 C.若作品B与作品C必须在同一展区,则不同的分配方案有18种 D.若甲展区恰好展示2件作品,则不同的分配方案有12种 11．设函数的定义域为R,且满足是偶函数,,当时,,则下列说法中正确的是(      ) A. B.当时,的取值范围为 C.为奇函数 D.方程有6个不同的实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．曲线上的点到直线距离的最小值为______. 13．从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个,其中一个作为底数,另一个作为真数,则可以得到不同对数值的个数为____________. 14．若存在4条不同的直线既是圆的切线,也是曲线的切线,则a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（14分）为庆祝校庆,5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》,他们的座位在同一排且连在一起.（列出算式并计算结果） （1）若男生必须坐在一起,女生必须坐在一起,共有多少种不同坐法? （2）若所有男生互不相邻,且所有女生也互不相邻,共有多少种不同坐法? （3）同学甲和同学乙必须相邻,且他们都不与同学丙相邻,共有多少种不同坐法? 16．（14分）已知,其中为实数,曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若曲线,l是曲线C的切线,且l经过点,求l的方程. 17．（18分）设函数. （1）当时,求曲线在点处的切线方程; （2）当时,讨论的单调性; （3）在（2）的条件下,记的最大值为,若对任意的,使得关于a的不等式恒成立,求实数m的取值范围. 18．（13分）已知函数 (1)若,求函数的极值点； (2)若在其定义域内单调递增,求实数m的取值范围； (3)若,且设,有两个零点,,其中,求的取值范围. 19．（18分）已知函数. （1）证明:有且只有一个极值点; （2）若恰有两个零点. （i）证明:; （ii）记的极值点为,若,求m的取值范围. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $