精品解析：甘肃兰州市第六十中学2025-2026学年第二学期期中高二数学试卷

兰州市第六十中学2025–2026–2学期期中试卷 高二数学 命题人：李慧丽 审核人：负海仁 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.考试范围：湘教版选修性必修第二册. 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知向量，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 3. 已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C 4. 如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可. 【详解】由为的中点，得， 所以. 故选：A 5. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得曲线在点处的切线，再根据直线与抛物线相切求解即可. 【详解】由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由，得， 所以，解得. 故选：D. 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 7. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果. 【详解】设平面的法向量为， 则，即， 令，可得，，则. . 设与平面所成的角为：则. 故到平面的距离为，即四棱锥的高为. 故选：D. 8. 若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，数形结合可解. 【详解】函数在内有两个不同的零点， 即在内有两个不等实根. 设，，则， 由解得， 所以为上的减函数，为上的增函数. 则， 而当且时，；当时，. 如下图： 由题可知和有两个不同交点，所以有. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 当时，的值域为 C. 只有一个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】由条件得： 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故B错误； 选项C：由于在上单调递减，在和上单调递增， 即， 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：因为， 所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：ACD. 10. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出各点坐标，转化几何问题为向量问题，再通过向量运算解决几何问题，验证选项的正确性. 【详解】 过作，垂足为，则，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则： ，，，，，，即： ，，，，，所以： 选项A：，故，故A正确； 选项B：， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 选项C：设平面的法向量为，则： 令，得：， 设直线与平面所成角，则： ， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 选项D：设点到的距离为， 因为， ，， 则：， 即点到直线的距离为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的单调递减区间为 B. 存在，使得有三个零点 C. 当时，的极小值点为 D. 当时，曲线的对称中心为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，代入求导，通过导函数的正负区间，即可判定；选项B，通过求导判断函数的单调性，得函数的极大值和极小值都小于0，故可以判断不存在，使得有三个零点；选项C，通过求导判断函数的单调性，得为函数极小值点；选项D，通过图像的平移性质即可判断. 【详解】由，得， 对于A，当时，，令，即， 解得或， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，， 所以不存在，使得有三个零点，故B错误； 对于C，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，是函数的极小值点，故C错误； 对于D，当时，函数，曲线， 因为的对称中心为，曲线的图像可由的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 根据函数图像的平移性质，曲线的对称中心为，故D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的减法运算及模运算求解. 【详解】,则. 故答案为: 13. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为. 故答案为： 14. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式求，再利用平方关系求即可. 【详解】设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量， 设直线与平面所成角为，所以， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数： （1）； （2） （3） （4）； （5）； （6） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】根据求导公式、四则运算法则及复合函数求导的方法，逐一求解，即可得答案. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 由为常数，得. 【小问3详解】 由，得. 【小问4详解】 由，得. 【小问5详解】 由，得. 【小问6详解】 由，令，得， 则. 16. 已知函数． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为，． 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数，确定切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程即可得到切线方程； （2）求得导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间． 【小问1详解】 由题意可得，此时， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 已知，，函数定义域为， 令，即，得或， 令，即，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，． 17. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【小问1详解】 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为；递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性求最值. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． （1）若，证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则,， 则,， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即，令，得， 所以，解得或（舍） 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第六十中学2025–2026–2学期期中试卷 高二数学 命题人：李慧丽 审核人：负海仁 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.考试范围：湘教版选修性必修第二册. 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，且 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知向量，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 当时，的值域为 C. 只有一个零点 D. 曲线关于点对称 10. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的单调递减区间为 B. 存在，使得有三个零点 C. 当时，的极小值点为 D. 当时，曲线的对称中心为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 14. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数： （1）； （2） （3） （4）； （5）； （6） 16. 已知函数． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． （1）若，证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $