2026年中考数学三轮押题03：一次函数与反比例函数（全国通用）

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数，以全国考情为导向，覆盖基础概念、综合应用及实际建模，突出数形结合与转化思想，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数基础|10题|定义、图像、性质、解析式，含符号判断与平移|从概念到图像性质，衔接待定系数法，奠定函数基础| |一次函数与方程不等式综合|10题|交点意义、解集图像化、含参范围|代数综合，体现函数与方程不等式的转化，强化读图能力| |反比例函数基础|10题|定义、图像、k的几何意义，含面积与点坐标关系|核心函数性质，衔接几何意义，深化数形结合| |一次函数与反比例函数综合|10题|交点、面积、最值、存在性，解答压轴|代数压轴，综合函数性质与几何，提升综合分析能力| |函数实际应用|10题|行程、利润、方案等建模，含分段函数与最值|实际问题转化，培养建模能力，体现数学应用价值|

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题03:一次函数与反比例函数 押题依据 猜押考点 2025 年考查省份 考情分析 押题依据 一次函数（定义、图像、性质、解析式） 全国所有省份（必考）：北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆 基础 + 中档题，选择 / 填空 / 解答，5–8 分；考查 k、b 符号、图像过象限、增减性、待定系数法；2025 重点：k、b 符号判断、图像平移、解析式求法。 函数入门核心，中考必考基础模块；衔接方程、不等式、几何，命题稳定、重数形结合。 一次函数与方程、不等式综合 江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、云南、广西 中档高频题，解答题，6–8 分；交点意义、不等式解集（图像高低）、方程组解；2025 侧重：图像交点与解集、含参范围、实际应用。 代数综合核心，考查数形结合；2025 真题高频，重转化思想与读图能力。 反比例函数（定义、图像、性质、k 的几何意义） 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档必考题，选择 / 填空 / 解答，6–10 分；k≠0、双曲线、增减性、k 的几何意义（面积）；2025 侧重：k 值求法、面积问题、点坐标与函数关系。 中考核心函数，衔接一次函数、几何；2025 真题高频，重几何意义与数形结合。 一次函数与反比例函数综合 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档压轴题，解答压轴，8–12 分；交点、图像比较、面积、最值、存在性；2025 侧重：交点坐标、面积计算、不等式解集、几何综合。 中考代数压轴核心，综合度高；2025 真题高频，重综合分析与数形结合能力。 函数实际应用（一次 / 反比例） 全国所有省份（必考）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档必考题，解答题，6–10 分；行程、方案、利润、工程、反比例建模；2025 侧重：分段函数、最值问题、方案选择、建模能力。 中考核心应用，考查建模；2025 真题稳定考查，重实际问题转化能力。 押题预测 题型一、一次函数（定义、图像、性质、解析式） 1．（2026·江西·三模）下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选取点和代入得： ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴当时，则；当时，则； ∴选项C在该一次函数图象上，而选项D不在这个一次函数图象上． 2．（2026·江苏南京·一模）无论取何值，点不在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：设点坐标为，由题意得， 若点在第二象限，需满足且 当时， 不可能为正数，因此点不可能在第二象限． 同理可得，时点在第一象限，时点在第三象限，时点在第四象限． 3．（2026·安徽池州·二模）已知两个非负实数a、b满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：∵ 是非负实数，且， ∴， 又， ∴， 将代入得：， ∵， ∴的值随的减小而减小， ∴当取最小值时，取得最小值， 把代入得，最小值为． 4．（2026·湖南怀化·一模）将一次函数的图象向上平移4个单位后经过点，则（   ） A．10 B．4 C．2 D．0 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移4个单位， ∴函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， ∴． 5．（2026·安徽阜阳·二模）已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象经过不同的两点和， ∴，且， ∴得， ∵， ∴， ∴随的增大而增大，观察四个选项，选项A符合题意． 6．（2026·山东济宁·二模）已知函数（）的图象在第一、三、四象限内，点和都在函数上．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数（）的图象在第一、三、四象限内， ∴，， ∴， ∴函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x值的增大而增大， ∴当时，， ∴． 7．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知下列四种变换：①沿x轴翻折：②向下平移6个单位长度：③绕原点按逆时针方向旋转：④沿的图象翻折．其中可以使函数的图象经过一次变换后与轴的正半轴有交点的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：函数为，与坐标轴交点坐标为，，逐个分析四种变换： ①沿轴翻折后，如图1， 由图可知：沿轴翻折后与y轴交点在负半轴，不符合题意． ②向下平移6个单位，如图2， ∴向下平移6个单位后与y轴交点是，在负半轴，不符合题意． ③绕原点逆时针旋转，如图3， 经过一次变换后与y轴交点是，交点在y轴正半轴，符合题意． ④沿的图像翻折，如图4， 翻折后与y轴交点在y轴正半轴，符合题意． 综上所述：四种变换中可以使函数的图象经过一次变换后与轴的正半轴有交点的是，共2个． 8．（2026·山西忻州·一模）若点，，在一次函数的图象上，且，则，，和0用“”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴随的增大而增大． 当时，代入得 ， 又∵ ， 根据增减性可得 ． 9．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）将交点和代入，得， 解得． ∴，． （2）由(1)得原函数为， 根据题意，当时，不等式组 ，对所有恒成立； ∵， ∴， 当时，， 要对所有成立，得​； ∵， ∴， 若，左边随增大而增大，当足够大时，，不满足恒成立； 若，恒成立，满足要求． 综上，的取值范围是． 10．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴将点代入函数：，即， ∴原函数为， 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为， 则：， ∴， ∴函数的“关联函数”表达式为； （2）解：函数在上向上平移m个单位后， 解析式为：， 它的“关联函数”为， ∵两个函数有交点，即方程在范围内有解， 解方程：，得， ∴， 解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴的取值范围是，则的最小值为． 题型二、一次函数与方程、不等式综合 11．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于点和点，并与正比例函数的图像平行，下列说法不正确的是（    ） A．点的坐标是 B．点在函数图像上 C．的周长是 D．关于的方程的解是 【答案】B 【详解】解：∵一次函数的图像与正比例函数的图像平行， ∴， ∵一次函数的图像与轴交于点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 把代入得：， ∴点的坐标是，故A正确，不符合题意； ∵把代入得：， ∴点不在函数图像上，故B不正确，符合题意； ∵， ∴的周长是，故C正确，不符合题意； ∵一次函数的图像与轴交于点， ∴关于的方程的解是，故D正确，不符合题意． 12．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 【答案】C 【详解】解：A、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； B、方程的解是，原选项不符合题意； C、∵一次函数经过点，点， 解得： ∴一次函数解析式为，当时，， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； D、当时，，原选项不符合题意． 13．（2026·广西梧州·一模）已知一次函数与的图象如图所示，当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由图象可得，当时，． 14．（2026·陕西安康·一模）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 点在直线上， 把，代入，得 解得 直线与的交点为 直线可化为，直线可化为， 方程组的解就是两直线交点的坐标，即 15．（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【详解】解：直线中，，经过一、二、三，不经过第四象限， 因为直线与直线的不相等，所以两直线必有一个交点， 又因为交点必在直线上，所以交点不可能在第四象限， 故选项D符合题意． 16．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线，直线， ∴直线与y轴的交点纵坐标为2， ∴两条直线与y轴所围成的三角形面积为． 17．（2026·陕西汉中·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）相交于点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 关于的方程解，是直线与交点的横坐标. 又∵ 直线与相交于点，交点的横坐标， ∴ 方程的解为． 18．（2026·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)4 (3)或 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，则， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 将点，点代入一次函数，则， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：将代入，则，将点代入，得，解得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，则点的横坐标为， 将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵点，点， ∴， ∵点在轴上， 设， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为或． 19．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值又小于，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴，解得：； （2）解：由（1）可得函数， 由题意可得：当时，，且， 对，整理得， 当，即时，，需，解得， 当时，不等式恒成立，即； 当，即时，，不满足题意， 综合可得； 对，整理得， 当时，，需，解得， 当时，，不满足题意， 综合可得； 综上所述，． 20．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：由题意，得， ， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）设直线与轴交于点， ， ∴当时，， ∴点的坐标为， 设点的横坐标为，则， 的面积， 整理得， 解得， ∴点的坐标为或． 题型三、反比例函数（定义、图像、性质、k 的几何意义） 21．（2026·山东淄博·一模）已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：∵点在上，∴， ∴反比例函数为． ∵点在上，∴， ∵点在上，∴． ∵，∴ 即， 当时：不等式两边同乘，不等号方向不变，得， ∴； 当时：不等式两边同乘，不等号方向改变，得， ∴，该不等式恒成立，即都满足条件． 综上，的取值范围是或． 22．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 23．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：函数，的图象都经过点， ，， 正比例函数与反比例函数都关于原点对称， 两函数的另一交点为，如图所示， 由图象可知，当或时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方，即， 当时，的取值范围是或． 24．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 25．（2026·江苏徐州·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则下列结论：①k的值可以为；②；③若点，则的解集是或；④．其中结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：结论①：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，，反比例函数图象在第一、三象限， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限， ，故不可能为．①错误； 结论②：∵正比例函数与反比例函数图象的交点，关于原点对称，．②正确； 结论③：，点与点关于原点中心对称， 点， 当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方， 此时，或．③正确； 结论④：，两点关于原点对称， ，， 把代入反比例函数解析式得：，．④正确． 26．（2026·河北唐山·二模）函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，则m可能为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】D 【详解】解：根据题意，得， 所以， 故符合要求的是0， 故选：D 27．（2026·山东临沂·一模）已知点，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， 点在反比例函数图象上， 代入得， ，即 ， 点在第二象限， ， 第二象限内随增大而增大，， ， 综上，的取值范围是． 28．（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵，∴， ∴在每个象限内，随着的增大而减小，随着的增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是，∴，， 把代入，得，解得，∴； （2）解：如图， 由（）可得，，， 当时， ，， ∴，， ∴， ∴． 29．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，经过点，，， 如图，画出的图象， 由图可知：和之间（不含边界）有4个优点． （2）解：矩形内部（不含边界）的整数点为： ， ， ， ． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 情况一：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 情况二：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 综上，的取值范围为或． 30．（2026·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． (1)若，求点的坐标； (2)连接，若，求反比例函数解析式． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：点在上， 设点的坐标为， 过点C作轴于点E， ∴， 又点在线段上，且， ∴， 点的坐标为， 轴于点， 点的坐标为， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在反比例函数上， ， 反比例函数解析式为， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：由(1)可知，点的坐标为，点的坐标为， ， 直线的方程为，点的坐标为， 点到直线的距离为， ， ， ， ， ， 反比例函数解析式为． 题型四、一次函数与反比例函数综合 31．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 若，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 只有C选项符合． 32．（2026·江苏苏州·一模）已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 点是一次函数与反比例函数的交点， 将代入两个函数解析式，得， 整理得 ，， 整理得 ， 对所求代数式变形，得， 将，代入，得， 因此答案选. 33．（2026·北京平谷·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】解：一次函数，则， ，解得或， ，则， ，，故①正确； 由题可知四边形为直角梯形，且， 四边形的面积为，故②错误； ∵点A与点B关于直线对称，反比例函数关于对称， ∴当的解析式为时，的长度最大， 解方程组得或， ∴此时M点的坐标为，故③正确； 当的长度最大时，求对应的点的坐标， 得 此时N点的坐标为，故④错误． 34．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 联立方程组得，整理得， 设，， ∴，， 当时，方程为即， ∴， 解得，， ∴，， ∴,,， 此时，所以①说法错误；②正确； ， 当时，即时，， 所以③正确； ， ∴， ∴④正确． 35．（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 36．（2026·重庆北碚·二模）如图，菱形的对角线相交于点，，，是线段上的点（不与，重合），连接，过点作直线交线段于点，用表示线段的长度，点与点之间的距离为，与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)图象见解析，性质：当时，有最小值（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：； （2）解：函数图象如图： 函数的性质有：当时，有最小值等； （3）解：由图象可得，当时，． 37．（2026·河南省直辖县级单位·一模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，其中点的坐标为，点的纵坐标为，一次函数 的图象与轴交于点． (1)求m和n的值； (2)根据图象，当时，请直接写出x的取值范围______； (3)将线段绕着点逆时针旋转得到线段，点恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或 (3)点． 【详解】（1）解：∵把点代入一次函数得： ，解得， 即． 又在反比例函数上 ∴． （2）解：当时，，即交点为，结合图象可得：当时，x的取值范围为或， （3）解：当时，，即， 过点作轴，过点作，过点作， ∴， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点． 38．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与反比例函数的图象交于点，已知点，点在反比例函数的图象上，直线交轴于点． (1)求直线的表达式及的值； (2)当时，求的面积； (3)点在点左侧运动时，是否存在点使得与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)5或9 (3)存在，点的坐标为 【详解】（1）解：直线是过原点的直线， 设直线的表达式为， 将点代入中，得，解得， 直线的表达式为； 点在直线上， ， ， ∴ 点在反比例函数的图象上． ； （2）解：如图所示，当点在点的左侧时， ， 是的中点， ∵点C在y轴上， ∴点P的横坐标为， 由（1）得反比例函数的表达式为， 在中，当时，， 点， ∴，即， ∴； 如图所示，当点P在点A右侧时，过点A和点P分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为3， 在中，当时，， ∴； 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为5或9； （3）解：∵，且， ∴与相似时，与是对应角，即只存在这种情况， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 解得或（舍去）， ∴； 设直线的表达式为， 则， 解得， 直线的表达式为． 联立，得， ，是方程的两实数根， ， ， 在中，当时，， 点的坐标为． 39．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点 在反比例函数的图象上，纵坐标为2. (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接、,求四边形的面积； (3)在的图像上有一点满足 ,直线向下平移个单位，恰好经过点,请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)10 (3)15 【详解】（1）解：求反比例函数表达式， 将代入，得： ， 解得， 反比例函数的表达式为； 设直线解析式为， 将、代入得：， 解得， 直线解析式为， 当时，， 点的坐标为． （2）解：点在上，纵坐标为， ， 解得，即， ， ， ， ． （3）解： ， ， 设，则， 整理得， 解得或， ， 或， 时为点，舍去， 故， 直线向下平移个单位后解析式为， 将代入得：， 解得． 40．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点，点P是反比例函数图象上一动点，且不与点A重合，过点P作轴交直线于点Q．设点P的横坐标为t，且，连接． (1)求k，b，n的值； (2)当的面积为6时；求点P的坐标； (3)当点P在点A的右侧时，设的中点为点C，D为x轴上一点，E为平面直角坐标系内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，直接写出点P所有可能的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或或 【详解】（1）解：将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得（舍去）或或（舍去）或， 当时，； 当时，； 综上，或； （3）解：∵，的中点为点C，且， ∴； ①当时，符合题意，如图所示，过点作轴于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴当时，； ②当时，符合题意，如图所示，过点作轴于点，于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，； ③当时，符合题意，如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当时，； ④当时，符合题意，过点作轴于点，于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去） 当时，； 综上，或或． 题型五、函数实际应用（一次 / 反比例） 41．（2026·贵州遵义·二模）某实践小组进行溶液反应实验，向一定量的甲溶液中逐滴加入乙溶液，反应生成白色沉淀．实验发现：生成沉淀的质量（）与反应后剩余甲溶液的质量（）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 剩余甲溶液的质量 2 4 5 10 20 沉淀的质量 10 5 4 2 1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由表格可知，为定值， ∴与之间是反比例函数关系， ∴． 42．（2026·山西吕梁·一模）名教师和若干名学生到某景区春游．该景区成人票每张元，学生票每张元．师生总票款（单位：元）与学生人数之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意， ∵学生人数为，学生票每张元， ∴学生总票款为元， ∵共有名教师，成人票每张元， ∴教师总票款为元， ∴师生总票款． 43．（2026·广东深圳·二模）图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点的压强（单位：）与其离水面的深度（单位：）的函数解析式为，为常数且，其图象如图2所示．根据图中信息分析数据，下列选项错误的是（    ） A．水库水面大气压强为 B．与的函数解析式为 C．水库水深处的压强为 D．函数中自变量的取值范围是 【答案】B 【详解】解：A．∵ ∴当时， ∴水库水面大气压强为，故A正确； B．将点代入得， 解得 与的函数解析式为，故B错误； C．当时，， ∴水库水深处的压强为，故C正确； D．∵水库最深处， ∴函数中自变量的取值范围是，故D正确． 44．（2026·广东深圳·二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 【答案】B 【详解】解：由题可知：甲从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，起飞时甲、乙高度不相同，故A不正确； 速度路程时间，由两图像交点知，相同时间内，甲上升的距离大于乙上升的距离，甲无人机的上升速度更快，故B正确，C不正确，D不正确． 45．（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【答案】D 【详解】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了，故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为， 将和代入， 得，解得 故加热一壶水时，与的函数表达式为． 当时，， 解得．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后与的函数关系式为（为常数，且）， 将代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得， （分钟）， 若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，故D不正确，符合题意． 当时，，解得， 当时，，解得， 该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟， 故C正确，不符合题意． 46．（2026·河南周口·一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【答案】B 【详解】解：∵每斤利润为元，月销售量， ∴， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元． 47．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续上升，乙无人机继续匀速上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1)联合表演前，甲无人机的速度为_____，乙无人机的速度为_____，联合表演时长为_____； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)请直接写出两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间． 【答案】(1)4米/秒，2米/秒，30秒 (2) (3)2秒或10秒或14秒 【详解】（1）解：根据图象，得到甲无人机6秒飞升了24米，乙无人机6秒飞升了12米， 故甲无人机的速度为：（米/秒）；乙无人机的速度为：（米/秒）； 设的解析式为，把代入解析式，得， 解得， 故解析式为， 当时，， 解得， 故联合表演时长为：（秒）； （2）解：设的解析式为，把代入解析式， 得， 解得， 故的解析式为 因为甲无人机是匀速飞升的， 故，不妨设线段所在直线的函数解析式为， 根据（1）得，代入解析式，得， 解得， 故线段所在直线的函数解析式为； （3）解：根据题意，当时，得， 整理，得， 解得（秒）； 设，根据题意，得，解得， 故甲无人机表演时间为（秒）， 当甲无人机在表演，乙无人机飞升8米时，也是符合要求的，此时乙无人机飞升的距离为 米， 因为的解析式为， 故， 解得（秒）； 当甲无人机表演完毕，继续飞升，根据题意，得， 解得（秒）； 故（秒）； 表演完毕以相同的速度返回，此时两架无人机没有距离差； 综上所述，两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间为2秒或10秒或14秒． 48．（2026·云南·一模）根据以下素材，探究完成任务1和任务2． 主题：方案选择与最低费用 6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶． 素材1 已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元． 素材2 已知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元． 素材3 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半． 问题解决 (1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价． (2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？ 【答案】(1)甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元 (2)购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用为7360元 【详解】（1）解：设甲型号新型垃圾桶单价为元，乙型号新型垃圾桶单价为元． 根据题意可得 解得 答：甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元． （2）解：设购买甲型号垃圾桶个，总购买费用为元，则购买乙型号垃圾桶个． 由题意得 解不等式得 因为是非负整数， 所以的最大取值为66． 总费用 因为， 所以随的增大而减小． 当时，最小， 此时，（元） 答：购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用是7360元． 49．（2026·天津滨海新区·一模）已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.6，3，1.6；②1.4；③当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式 (2) 【详解】（1）解：①小华在最初的内的速度为， 当时，， 当时，， 当时，； ②书店到超市的距离为； ③由图象可知，当时，， 当时，图象经过点，， 设函数解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴函数解析式为， ∴当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式． （2）解：小华的哥哥从书店到家所用时间为， ∴小华的哥哥从书店出发时的时间为，到家的时间为， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象经过点，， 设与x之间的函数关系式为， 将点，代入得： ，解得， ∴与x之间的函数关系式为：， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象如下： 当时，令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意， ∴当时，． 50．（2026·广东深圳·二模）【综合实践】 【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况． 【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票总价收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人． 【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会． 乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏． 公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏． 根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）． 【问题解决】 (1)根据图中信息填空： ①写出图（a）的函数解析式：__________； ②由图（a）可知，乘客量达到______万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是______万元； ③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图______． (2)若同时采用乘客代表（成本降低m万元，）和公交公司（票价提高n元，）的方案．设收支平衡时（即公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本）的乘客量为（万人），则m，n，满足的数量关系为__________． (3)若与n满足函数关系，且当时，；当时，， ①求a，b的值； ②在（2）的方案下，当时，则m的取值范围是__________． 【答案】(1)①；②0.5，1；③c (2) (3)①；② 【详解】（1）解：①图（a）是一次函数，故设一次函数解析式为， 由图可知：直线过和， 把和代入得： ，解得：， 所以，一次函数解析式为：； ②由不亏损得，∴， 解得， ∴当时不亏损； 令，则，即乘客量为0时，运营成本是1万元； 所以，乘客量达到0.5万人时不亏损；运营成本是1万元； ③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图(c)的特征；公交公司希望提高票价、不降低成本，对应票价提高、运营成本不变，符合图(b);图(a)是原方案．所以反映乘客代表意见的是图(c)． （2）解：根据题意得，成本降低m万元，票价提高n元，则新函数解析式为， 由收支平衡得，即， 整理得：； （3）解：①把，和，分别代入，得： ，解得； ②∵，∴， 又，∴，即， ∴， ∵， ∴， 解：， ∵， ∴， ∴， 解得； ∴； 解， ∴， ∴， 综上，的取值范围为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题03:一次函数与反比例函数 押题依据 猜押考点 2025 年考查省份 考情分析 押题依据 一次函数（定义、图像、性质、解析式） 全国所有省份（必考）：北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆 基础 + 中档题，选择 / 填空 / 解答，5–8 分；考查 k、b 符号、图像过象限、增减性、待定系数法；2025 重点：k、b 符号判断、图像平移、解析式求法。 函数入门核心，中考必考基础模块；衔接方程、不等式、几何，命题稳定、重数形结合。 一次函数与方程、不等式综合 江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、云南、广西 中档高频题，解答题，6–8 分；交点意义、不等式解集（图像高低）、方程组解；2025 侧重：图像交点与解集、含参范围、实际应用。 代数综合核心，考查数形结合；2025 真题高频，重转化思想与读图能力。 反比例函数（定义、图像、性质、k 的几何意义） 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档必考题，选择 / 填空 / 解答，6–10 分；k≠0、双曲线、增减性、k 的几何意义（面积）；2025 侧重：k 值求法、面积问题、点坐标与函数关系。 中考核心函数，衔接一次函数、几何；2025 真题高频，重几何意义与数形结合。 一次函数与反比例函数综合 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档压轴题，解答压轴，8–12 分；交点、图像比较、面积、最值、存在性；2025 侧重：交点坐标、面积计算、不等式解集、几何综合。 中考代数压轴核心，综合度高；2025 真题高频，重综合分析与数形结合能力。 函数实际应用（一次 / 反比例） 全国所有省份（必考）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档必考题，解答题，6–10 分；行程、方案、利润、工程、反比例建模；2025 侧重：分段函数、最值问题、方案选择、建模能力。 中考核心应用，考查建模；2025 真题稳定考查，重实际问题转化能力。 押题预测 题型一、一次函数（定义、图像、性质、解析式） 1．（2026·江西·三模）下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·一模）无论取何值，点不在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·安徽池州·二模）已知两个非负实数a、b满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2026·湖南怀化·一模）将一次函数的图象向上平移4个单位后经过点，则（   ） A．10 B．4 C．2 D．0 5．（2026·安徽阜阳·二模）已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 6．（2026·山东济宁·二模）已知函数（）的图象在第一、三、四象限内，点和都在函数上．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知下列四种变换：①沿x轴翻折：②向下平移6个单位长度：③绕原点按逆时针方向旋转：④沿的图象翻折．其中可以使函数的图象经过一次变换后与轴的正半轴有交点的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·山西忻州·一模）若点，，在一次函数的图象上，且，则，，和0用“”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围． 10．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 题型二、一次函数与方程、不等式综合 11．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于点和点，并与正比例函数的图像平行，下列说法不正确的是（    ） A．点的坐标是 B．点在函数图像上 C．的周长是 D．关于的方程的解是 12．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 13．（2026·广西梧州·一模）已知一次函数与的图象如图所示，当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 14．（2026·陕西安康·一模）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 16．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 17．（2026·陕西汉中·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）相交于点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值又小于，直接写出m的取值范围． 20．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标． 题型三、反比例函数（定义、图像、性质、k 的几何意义） 21．（2026·山东淄博·一模）已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 22．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 23．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 24．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 25．（2026·江苏徐州·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则下列结论：①k的值可以为；②；③若点，则的解集是或；④．其中结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 26．（2026·河北唐山·二模）函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，则m可能为（   ） A．1 B．2 C． D．0 27．（2026·山东临沂·一模）已知点，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 28．（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 29．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 30．（2026·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． (1)若，求点的坐标； (2)连接，若，求反比例函数解析式． 题型四、一次函数与反比例函数综合 31．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 32．（2026·江苏苏州·一模）已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 33．（2026·北京平谷·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 34．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 35．（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 36．（2026·重庆北碚·二模）如图，菱形的对角线相交于点，，，是线段上的点（不与，重合），连接，过点作直线交线段于点，用表示线段的长度，点与点之间的距离为，与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 37．（2026·河南省直辖县级单位·一模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，其中点的坐标为，点的纵坐标为，一次函数 的图象与轴交于点． (1)求m和n的值； (2)根据图象，当时，请直接写出x的取值范围______； (3)将线段绕着点逆时针旋转得到线段，点恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 38．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与反比例函数的图象交于点，已知点，点在反比例函数的图象上，直线交轴于点． (1)求直线的表达式及的值； (2)当时，求的面积； (3)点在点左侧运动时，是否存在点使得与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点 在反比例函数的图象上，纵坐标为2. (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接、,求四边形的面积； (3)在的图像上有一点满足 ,直线向下平移个单位，恰好经过点,请直接写出的值． 40．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点，点P是反比例函数图象上一动点，且不与点A重合，过点P作轴交直线于点Q．设点P的横坐标为t，且，连接． (1)求k，b，n的值； (2)当的面积为6时；求点P的坐标； (3)当点P在点A的右侧时，设的中点为点C，D为x轴上一点，E为平面直角坐标系内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，直接写出点P所有可能的坐标． 题型五、函数实际应用（一次 / 反比例） 41．（2026·贵州遵义·二模）某实践小组进行溶液反应实验，向一定量的甲溶液中逐滴加入乙溶液，反应生成白色沉淀．实验发现：生成沉淀的质量（）与反应后剩余甲溶液的质量（）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 剩余甲溶液的质量 2 4 5 10 20 沉淀的质量 10 5 4 2 1 A． B． C． D． 42．（2026·山西吕梁·一模）名教师和若干名学生到某景区春游．该景区成人票每张元，学生票每张元．师生总票款（单位：元）与学生人数之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 43．（2026·广东深圳·二模）图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点的压强（单位：）与其离水面的深度（单位：）的函数解析式为，为常数且，其图象如图2所示．根据图中信息分析数据，下列选项错误的是（    ） A．水库水面大气压强为 B．与的函数解析式为 C．水库水深处的压强为 D．函数中自变量的取值范围是 44．（2026·广东深圳·二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 45．（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 46．（2026·河南周口·一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 47．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续上升，乙无人机继续匀速上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1)联合表演前，甲无人机的速度为_____，乙无人机的速度为_____，联合表演时长为_____； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)请直接写出两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间． 48．（2026·云南·一模）根据以下素材，探究完成任务1和任务2． 主题：方案选择与最低费用 6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶． 素材1 已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元． 素材2 已知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元． 素材3 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半． 问题解决 (1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价． (2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？ 49．（2026·天津滨海新区·一模）已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 50．（2026·广东深圳·二模）【综合实践】 【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况． 【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票总价收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人． 【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会． 乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏． 公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏． 根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）． 【问题解决】 (1)根据图中信息填空： ①写出图（a）的函数解析式：__________； ②由图（a）可知，乘客量达到______万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是______万元； ③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图______． (2)若同时采用乘客代表（成本降低m万元，）和公交公司（票价提高n元，）的方案．设收支平衡时（即公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本）的乘客量为（万人），则m，n，满足的数量关系为__________． (3)若与n满足函数关系，且当时，；当时，， ①求a，b的值； ②在（2）的方案下，当时，则m的取值范围是__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $