专题 一次函数与反比例函数（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题 一次函数与反比例函数 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.一次函数的图像与性质 2025年北京：选择第 7 题：反比例函数增减性（同一象限） 解答第24题：反比例 + 一次函数综合（交点、面积、参数范围， 2025年成都：选择第 8 题：k 的几何意义（面积）（4 分） 解答第 3题：反比例 + 一次函数综合（解析式、面积、相似 2025年深圳：选择第5题：一次函数图像与性质 选择第8题：一次函数平移、对称 解答第19题：一次函数应用题 · 2026年中考重基础、强综合、贴情境、爱动态、考表达 · 一次函数：8–12 分，中档为主，解答题必考 · 反比例函数：8–12 分，填空压轴 + 解答压轴高频。 2.一次函数的图像变换 3.一次函数的实际应用 4.一次函数与方程、不等式结合 5.一次函数与几何综合 6.反比例函数的图像与性质 7.一次函数与反比例函数综合 8.反比例函数与几何综合 题型1 一次函数的图像与性质 1.增减性：只看k 若k>0 递增；k<0 递减。 2.象限判断：组合看 、 正负，直接秒判。 3.坐标轴交点：y 轴交点：直接写 (0,b)x 轴交点：令 y=0，解方程求 x。 4.取值范围：利用增减性 + 图像端点，数形结合直接写区间。 【例1】（2026·安徽阜阳·二模）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型2 一次函数图像的变换 1.平移口诀：上加下减（针对b），左加右减（针对x） 2.对称解法：关于y轴对称：k变号，b不变；关于x轴对称：、 全部变号 3.翻折：先找关键点对称点，再用待定系数法求解析式。 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 【变式2】（2026·天津河北·一模）已知直线向上平移4个单位后经过点，则m的值为________． 【变式3】（2026·湖南怀化·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 一次函数的应用 1.行程问题：横轴 = 时间，纵轴 = 路程；交点为相遇点；斜率 = 速度。 2.分段收费：以分界点为界限，分段设解析式，分段计算。 3.方案选择：联立两个函数解析式，求交点；分区间判断谁大谁小，选最优方案。 4.最值问题：一次函数单调变化，最值取端点自变量代入计算。 【例3】（2026·陕西渭南·一模）2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭成功将8颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，购入A、B两种火箭模型共200件，这两种火箭模型每件的进价和售价如下表所示： A种模型 B种模型 进价（元/件） 50 60 售价（元/件） 80 100 设购入A种火箭模型x件，所购进的两种火箭模型全部卖出后获得的总利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若购入A、B两种火箭模型的总费用不超过11200元，那么该网店如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 【变式1】（2026·江苏泰州·一模）如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开． (1)直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【变式2】（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 【变式3】（2026·吉林·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 (1)【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． (2)【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 题型4 一次函数与方程、不等式结合 1.一元一次方程：两直线交点横坐标 = 对应方程的解。 2.不等式解法：看图解题：图像在上方，函数值更大，直接写 x 取值范围。 3.方程组：联立两条直线解析式，加减消元求解。 【例4】（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【变式1】（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为________． 【变式2】（2026·陕西西安·一模）已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型5 一次函数与几何综合 1.平行：k 值相等，b 不等。 2.垂直：两条直线 k1·k2​=−1。 3.线段长度：坐标作差，用勾股 / 距离公式。 4.面积计算：割补法、铅垂高 × 水平宽，快速求值。 【例5】（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，的长是一元二次方程的两个实数根，点关于原点的对称点为点，过点作直线的垂线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)点的坐标为，设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q． (1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标； (2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积． 【变式2】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． (1)求直线的解析式； (2)若，求点M的坐标． 【变式3】（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 题型6 反比例函数的图像与性质 1.解析式：，xy=k 2.象限：k>0 一、三象限；k<0 二、四象限 3.增减性：必须强调同一象限内 k>0，每一象限内y随x增大而减小 k<0，每一象限内y随x增大而增大 【例6】（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时， B．点和在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1】（2026·山西朔州·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 【变式2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式3】（2026·天津和平·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型7 一次函数与反比例函数综合 1.求交点：联立一次、反比例解析式解方程 2.不等式解集：看图高低，双曲线在上侧为对应范围 3.图形面积：割补法、铅垂高、分割成两个三角形 【例7】（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式1】（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式2】（2026·广西南宁·一模）如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点P作轴于点A，连接，下列结论错误的是（    ） A．的面积是3 B． C．当时， D．点在上，当时， 题型8 反比例函数与几何综合 1.利用平行、等积、中点、相似，结合k不变量解题 2.同双曲线所有点横纵坐标积相等，是隐藏条件 【例8】（2026·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，，点为反比例函数图象上位于点上方的一点，直线与轴，轴分别交于D，E两点． (1)求反比例函数解析式； (2)若，求点坐标． 【变式1】（2026·重庆大渡口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【变式2】（2024·江苏淮安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D在线段上，过点D且平行于x轴的直线交于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 1．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏无锡·一模）已知一次函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D．4 3．（2026·江苏无锡·一模）把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知点，点和点在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时，I的取值范围是 D．当时， 6．（2026·江苏无锡·一模）请你写出一个函数表达式，满足以下条件：函数值y随x的增大而增大，且图像经过点，那么这个函数的表达式可以是________． 7．（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 8．（2026·山东日照·一模）如图八个边长为的正方形摆放在平面直角坐标系中，若直线绕点旋转，至某一时刻直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为________． 9．（2025·江苏宿迁·三模）若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______． 10．（2026·山东临沂·一模）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 11．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标． 12．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求和直线的解析式； (2)点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标． 13．（2026·黑龙江佳木斯·一模）A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离C站的路程（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象． (1)客车的速度为_______，货车的速度为_______； (2)求货车出发后，距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出货车出发多长时间，两车相距． 14．（2026·广东汕尾·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为反比例函数图象的一部分），其中段的关系式为． (1)求出曲线所在的函数关系式； (2)通过计算比较：开始上课后，第时与第时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 一次函数与反比例函数 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.一次函数的图像与性质 2025年北京：选择第 7 题：反比例函数增减性（同一象限） 解答第24题：反比例 + 一次函数综合（交点、面积、参数范围， 2025年成都：选择第 8 题：k 的几何意义（面积）（4 分） 解答第 3题：反比例 + 一次函数综合（解析式、面积、相似 2025年深圳：选择第5题：一次函数图像与性质 选择第8题：一次函数平移、对称 解答第19题：一次函数应用题 · 2026年中考重基础、强综合、贴情境、爱动态、考表达 · 一次函数：8–12 分，中档为主，解答题必考 · 反比例函数：8–12 分，填空压轴 + 解答压轴高频。 2.一次函数的图像变换 3.一次函数的实际应用 4.一次函数与方程、不等式结合 5.一次函数与几何综合 6.反比例函数的图像与性质 7.一次函数与反比例函数综合 8.反比例函数与几何综合 题型1 一次函数的图像与性质 1.增减性：只看k 若k>0 递增；k<0 递减。 2.象限判断：组合看 、 正负，直接秒判。 3.坐标轴交点：y 轴交点：直接写 (0,b)x 轴交点：令 y=0，解方程求 x。 4.取值范围：利用增减性 + 图像端点，数形结合直接写区间。 【例1】（2026·安徽阜阳·二模）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，先将已知点代入正比例函数解析式求出k的值，再得到一次函数解析式，根据一次函数的斜率与截距判断其经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：将点代入得：， 解得， 将代入得：，即， 在中，斜率，与y轴的交点为，截距为， 则的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【变式1】（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一次函数的增减性求解，先根据一次项系数判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可推出y值的大小关系. 【详解】解：∵直线的一次项系数. ∴随的增大而减小. ∵，可得. ∴， 即. 【变式3】（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 题型2 一次函数图像的变换 1.平移口诀：上加下减（针对b），左加右减（针对x） 2.对称解法：关于y轴对称：k变号，b不变；关于x轴对称：、 全部变号 3.翻折：先找关键点对称点，再用待定系数法求解析式。 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先求出平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：由平移规则可知，直线向上平移个单位长度后，解析式为． ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数， ∴， 解得， 结合选项可知，只有D选项的7满足条件． 【变式1】（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 【答案】5 【分析】根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再根据正比例函数的定义，令常数项为，即可求解的值． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后的函数的解析式为， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴，解得． 【变式2】（2026·天津河北·一模）已知直线向上平移4个单位后经过点，则m的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数图象的平移变换，根据平移规律“上加下减”得到平移后的直线解析式，将点的坐标代入解析式即可求出的值，掌握平移规律是解题的关键. 【详解】解：直线向上平移个单位后得到的直线解析式为：， 把代入解析式得：， 整理得：， 解得：． 【变式3】（2026·湖南怀化·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐一分析每种变换后，函数的图象是否经过点． 【详解】解：①函数沿轴翻折后的解析式为， ∴， 当时，代入得，， ∴函数的图象沿x轴翻折后不过点； ②对于，当时，， ∴直线与轴的交点的坐标为； 设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴, 当时，， ∴点在函数的图象， ∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点； ③∵点 ∴ ∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P(2,2)； ④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点 所以，正确的结论有2个． 题型3 一次函数的应用 1.行程问题：横轴 = 时间，纵轴 = 路程；交点为相遇点；斜率 = 速度。 2.分段收费：以分界点为界限，分段设解析式，分段计算。 3.方案选择：联立两个函数解析式，求交点；分区间判断谁大谁小，选最优方案。 4.最值问题：一次函数单调变化，最值取端点自变量代入计算。 【例3】（2026·陕西渭南·一模）2026年3月16日，快舟十一号遥七运载火箭成功将8颗卫星送入预定轨道，再次彰显了我国的航天实力，也让全民的“航天梦”在实干中愈发清晰．某网店为了满足广大航天爱好者的需求，购入A、B两种火箭模型共200件，这两种火箭模型每件的进价和售价如下表所示： A种模型 B种模型 进价（元/件） 50 60 售价（元/件） 80 100 设购入A种火箭模型x件，所购进的两种火箭模型全部卖出后获得的总利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若购入A、B两种火箭模型的总费用不超过11200元，那么该网店如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)（，为非负整数） (2)购进A种模型80件，B种模型120件时获利最大，最大利润为7200元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式，根据题意列出不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）购入A种火箭模型件，则购入B种火箭模型件，结合每件利润计算总利润，整理得到w与x的函数关系式，同时确定自变量的取值范围； （2）根据总费用不超过11200元列出一元一次不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，判断取得最大值时的取值，进而得到最大利润和对应进货方案． 【详解】（1）解：由题意可知，购入A种火箭模型件，则购入B种火箭模型件， 根据题意得：， 整理得：， 因此，w与x之间的函数关系式为：（，为非负整数） （2）解：由题意得， 整理得：， 解得：， 由（1）知，则， 在函数中， 由于， 则随的增大而减小， 当时，取得最大值，即最大利润为元， 此时件， 答：购进A种火箭模型80件，B种火箭模型120件时获利最大，最大利润为7200元． 【变式1】（2026·江苏泰州·一模）如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开． (1)直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意：，分点P在上，点P在上，点P在上，求解即可； （2）利用分类思想解答，确定最终要计算的表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意：． 因为，，， O为BC中点， ． 当点P在上时，； 当点P在上时，，此时最长时间为， 故； 当点P在上时，，此时最长时间为，故； 综上所述，． （2）解：当展开的画面面积达到电子屏面积的时，此时面积为， 若，解得，不在范围内，舍去； 若，解得，在范围内，符合题意，此时开始播放广告语，因为播放时间持续，结束时间为，此时满足， 故求面积时，应该选择第三阶段的表达式，此时． 【变式2】（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，14 (2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟 (3) 【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为； （2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系； 注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化， 此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为． （2）解：如图， 设的解析式为， 将点代入得： ，解得， 的解析式为， 设的解析式为，将点代入得： ， 解得， 的解析式为， ， 解得， 答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同． （3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为． 【变式3】（2026·吉林·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 (1)【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． (2)【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 【答案】(1)， (2)分钟 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为； ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）当时，， 行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， 解得， 答：电动汽车在服务区充电分钟． 题型4 一次函数与方程、不等式结合 1.一元一次方程：两直线交点横坐标 = 对应方程的解。 2.不等式解法：看图解题：图像在上方，函数值更大，直接写 x 取值范围。 3.方程组：联立两条直线解析式，加减消元求解。 【例4】（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据函数图象找到函数值小于或等于3时自变量的取值方式即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 【变式1】（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答． 【详解】解：当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【变式2】（2026·陕西西安·一模）已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴，的二元一次方程组的解为， 二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点的坐标为：． 故选：A． 【变式3】（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键．根据图象即可求得． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式的解集是， 故选：C． 题型5 一次函数与几何综合 1.平行：k 值相等，b 不等。 2.垂直：两条直线 k1·k2​=−1。 3.线段长度：坐标作差，用勾股 / 距离公式。 4.面积计算：割补法、铅垂高 × 水平宽，快速求值。 【例5】（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，的长是一元二次方程的两个实数根，点关于原点的对称点为点，过点作直线的垂线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)点的坐标为，设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）证明，得出，根据对称性求出，进而求出，待定系数法求出直线的解析式为．联立方程组求出点D的坐标，然后分；分别求出函数解析式即可； （3）分两种情况讨论：为矩形的边和为矩形的对角线，然后根据矩形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得，． ， ，． ， 设直线的解析式为． ．， 解得， 直线的解析式为． （2）解： ，，， ， ， ， 点关于原点的对称点为点， ． ，． ． ． 同理可求：直线的解析式为． ，得， ． 当时，； 当时，． 综上所述，． （3）解：存在，求解如下： ①如图1：当为矩形一边时，过作交于，分别过、作，相交于点， ， 点的纵坐标为1，则有，解得：， ，即点的横坐标为1， ，点的纵坐标为， ； ②如图2：当为矩形的对角线时，分别过、作，相交于点 ，相互平分， 过点作直线的垂线交于点，交轴于点． 点和点重合， ， ， 点关于原点的对称点为点， 点、点关于原点的对称， ． 综上，存在点即或，使，，，为顶点的四边形是矩形． 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q． (1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标； (2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】（1）先求出、，得到，从而得出，设，则，则，即可得解； （2）设，则，分三种情况讨论：①当时，利用勾股定理列方程求解；②当时，则轴；③当时，则轴，根据点的坐标求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点B， 令，则，解得：， ； 直线与直线相交于点A， 联立，解得：， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ； （2）解：设，则， 分三种情况讨论： ①当时，， ，，， ， 解得：， ，， ， ； ②当时，则轴， ， 解得：， ，， ，， ； ③当时，则轴， ， 解得：， ，， ，， ； 综上可知，的面积为或或． 【变式2】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． (1)求直线的解析式； (2)若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点，代入，然后求解即可； （2）首先确定点坐标，易知，进而可得；设点的坐标为，根据题意可知点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，进而确定点坐标，然后计算的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式； （2）对于直线，当时可得，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， 又∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，点M的坐标为或． 【变式3】（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①作图见解析；② (2) 【分析】①连接，交于点，作直线，即可求解； ②根据题意得出，直线的解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分别求得直线经过点的解析式，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①连接，交于点， 四边形是矩形，的中点与坐标原点重合， 轴是矩形的对称轴， 点在轴上， 直线将矩形分成周长相等的两部分； ②， ， ， 设直线的解析式为，代入，得， ， ， 直线的解析式为； （2）设直线对应一次函数为：， 经过点时，即经过和两点， ， 解得：，， 当直线经过点和点 解得：， 综上所述，当时，直线与线段有公共点． 题型6 反比例函数的图像与性质 1.解析式：，xy=k 2.象限：k>0 一、三象限；k<0 二、四象限 3.增减性：必须强调同一象限内 k>0，每一象限内y随x增大而减小 k<0，每一象限内y随x增大而增大 【例6】（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时， B．点和在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】对于反比例函数（k为常数，），当时，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小；当时，图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，图象关于原点对称，本题中，根据反比例函数的性质逐一分析选项． 【详解】解：A项：当时，，A项说法正确，不符合题意； B项：∵点在函数的图象上， ∴，即， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵， ∴，即点在函数图象上， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵， ∴，则， 即点在函数图象上，B项说法正确，不符合题意； C项：在反比例函数中，， 根据反比例函数性质，当时，图象分别位于第二、四象限，C项说法正确，不符合题意； D项：∵，在反比例函数中， 当时，函数图象在第二象限，且在第二象限内y随x的增大而增大，而不是减小， D项说法错误，符合题意， 综上，说法错误的是D． 【变式1】（2026·山西朔州·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质和图象上点的坐标特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中， ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，因此选项C错误； 当时，随的增大而减小，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 对选项D，将代入，得，与点的纵坐标相等， ∴ 点在该函数图象上，选项D正确． 【变式2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先根据的符号判断函数图象位置和增减性，再结合判断两点位置，列不等式组即可求解的取值范围； 【详解】解∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， ∵，且， ∴，两点不在同一象限， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， 解不等式组得． 【变式3】（2026·天津和平·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点代入解析式求出、、的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴， ， ∵ ∴． 故选：D． 题型7 一次函数与反比例函数综合 1.求交点：联立一次、反比例解析式解方程 2.不等式解集：看图高低，双曲线在上侧为对应范围 3.图形面积：割补法、铅垂高、分割成两个三角形 【例7】（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数的中心对称性求得点的横坐标为，再根据，结合图象，即可判断答案． 【详解】解：正比例函数和反比例函数是以点为对称中心的中心对称图形， 两函数的两个交点与关于原点对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 由函数图象可知，当时，的取值范围是． 【变式1】（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 【变式2】（2026·广西南宁·一模）如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求得点、的坐标分别为、，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，设反比例函数与线段相交于点时值最大，得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：点，轴，轴， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为、， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，最小， 设反比例函数与线段相交于点时值最大， 则， ， 当时，值最大为， 因此，的取值范围是． 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点P作轴于点A，连接，下列结论错误的是（    ） A．的面积是3 B． C．当时， D．点在上，当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，求出t和k的值． 根据反比例函数，一次函数的交点问题，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象交于点， ∴， ∴， 则由图像，可知当时，，故C正确，不符合题意； 把代入得：， 解得，故B正确，不符合题意； ∵轴，， ∴的面积是，故A正确，不符合题意； 当时，中，y随x的增大而减小， ∴时，，故D错误，符合题意． 故选：D． 题型8 反比例函数与几何综合 1.利用平行、等积、中点、相似，结合k不变量解题 2.同双曲线所有点横纵坐标积相等，是隐藏条件 【例8】（2026·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，，点为反比例函数图象上位于点上方的一点，直线与轴，轴分别交于D，E两点． (1)求反比例函数解析式； (2)若，求点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由列方程求出，从而得到点的坐标和反比例函数解析式； （2）过分别作轴的垂线，由得，再由得，从而由相似比求出的纵坐标，进而求出的坐标和直线的解析式，令得点的坐标． 【详解】（1）解：函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A， 设， ， ， ， 在第一象限， ， ， ， ； （2）解：过点作轴于 ，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ，即， 在上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 令 ，得 ， 【变式1】（2026·重庆大渡口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线构建全等三角形求得对应点的坐标是解题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）先求出，得到，，取点，则，连接，，得到，，过作交的图象于点，此时，求出直线的函数表达式，再与反比例函数联立求解即可； （3）将点向左平移3个单位长度得到点，则，则，过作轴于，得到，过作交直线于，过作轴于，证明，，，再根据当与的位置分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：令，， ∴， ∴，，， ，， ∴， 取点，则，连接，， ∴，， 过作交的图象于点，此时， ∵直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 代入得， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得（负值舍去）， ∴； （3）解：将点向左平移3个单位长度得到点，则，则， 过作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴，即， ∴， 当在点下方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 当在点上方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 综上所述，或． 【变式2】（2024·江苏淮安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D在线段上，过点D且平行于x轴的直线交于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）设，则，证明，列出比例式求出的值，进而求出点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为 将点和点分别代入， 得 解得 故一次函数的表达式为； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，故点． ∴的纵坐标为， 将代入，得， ∴点． 1．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 2．（2026·江苏无锡·一模）已知一次函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴把代入函数解析式得， 解得． 3．（2026·江苏无锡·一模）把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像的平移规律，利用“上加下减”的平移规则求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证即可得到结果． 【详解】解：∵原函数为，将其图像沿轴向上平移3个单位长度，根据一次函数平移规则， ∴平移后得到的函数解析式为． 将代入解析式，得， ∴在平移后的图像上，因此选C． 4．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知点，点和点在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标后直接比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式计算得， ， ， ， ∵， ∴． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时，I的取值范围是 D．当时， 【答案】A 【分析】首先求出反比例函数关系式，然后逐项求解判断． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B正确，不符合题意； 当时，，故D正确，不符合题意； ∵， ∴在第一象限，I随R增大而减小， ∴当时，，故A错误，符合题意； 当时，的取值范围是，故C正确，不符合题意． 6．（2026·江苏无锡·一模）请你写出一个函数表达式，满足以下条件：函数值y随x的增大而增大，且图像经过点，那么这个函数的表达式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的增减性确定比例系数的取值范围，再利用函数经过的已知点求出常数项，即可得到符合要求的函数表达式． 【详解】解：设符合条件的一次函数表达式为， 函数值随的增大而增大， ， 函数图像经过点，将代入得， 取，可得函数表达式为． 7．（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 8．（2026·山东日照·一模）如图八个边长为的正方形摆放在平面直角坐标系中，若直线绕点旋转，至某一时刻直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴，由直线将八个正方形分成面积相等的两部分，可知原图形被分为面积为的两部分，则的面积为，，根据三角形面积公式列方程求出，进而得到点的坐标，代入直线的解析式可求出． 【详解】解：如图，过点作轴， 正方形边长为， ， 直线将八个正方形分成面积相等的两部分， ， ，即， 解得， 点的坐标为，代入， 解得． 9．（2025·江苏宿迁·三模）若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，解一元一次不等式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 将代入得，则代入原不等式，化为，再根据图象可得，则，即可求不等式的解集． 【详解】解：将代入得：， ∴， ∴化为：， ∴， 由函数图象可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2026·山东临沂·一模）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出速度随时间变化的正比例函数解析式，再代入到达斜面底端的时间，即可求出此时的速度； （2）先根据小球在水平面上的匀减速运动，求出速度随时间变化的一次函数解析式，再令速度为0，求出小球停止的总时间，减去斜面运动时间，即可得到水平面上的运动时长． 【详解】（1）解：设小球在斜面上滚动时的速度函数为 ， 已知当时，，代入得： ，解得， 因此，斜面上的速度函数为， 小球到达斜面底端时，对应时间为，代入得： ， 即小球到达斜面底端时的速度为； （2）设小球在水平面上滚动时的速度函数为 ， 已知两点：点，以及时，代入得方程组： ，解得，， 因此，水平面上的速度函数为：， 小球停止时速度，代入得： ，解得， 小球从斜面底端到停止的时长为：． 11．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据反比例函数的图象过点，求出，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，设点的横坐标为，利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）设直线与轴交于点， ， ∴当时，， ∴点的坐标为， 设点的横坐标为，则， 的面积， 整理得， 解得， ∴点的坐标为或． 12．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求和直线的解析式； (2)点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）将代入求出m，设直线的解析式为，将A，C，的坐标代入求解即可； （2）①先确定只有一种情况，作轴于点，证得求出，得，再求出所在直线的解析式，与反比例函数联立方程求解即可；②设点，过作轴，过作轴，利用，求出，过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点，利用求出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①在中， 当和相似时，则中必须有一个角是 ∵是公共角，在第一象限，在轴正半轴 ∴只有一种情况， 作轴于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 在和中： ∴ ∴，即，解得， ∵点在轴上，且在点右侧， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， 则解得：， ∴所在直线的解析式为， ∵点是直线与反比例函数的交点 联立方程： 整理得： 解得： 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴ ②设点， 过作轴，过作轴 ∵，，点在直线下方， ∴，， ∴，，，，， ， 过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点， ∵点在直线上，则点的坐标是， ∴， ∴点到直线的距离是，点到直线的距离是， ∴ ， ∵， ∴ 即 解得或 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴． 13．（2026·黑龙江佳木斯·一模）A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离C站的路程（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象． (1)客车的速度为_______，货车的速度为_______； (2)求货车出发后，距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出货车出发多长时间，两车相距． 【答案】(1)60；45 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意并结合图象可知，货车从地驶向站花费了2小时，行驶了，根据“速度路程时间”即可求出货车的速度；再算出地与站的距离，由图象可知客车从地驶向站花费了9小时，根据“速度路程时间”即可求出客车的速度； （2）根据“路程速度时间”即可求解； （3）分两种情况：当两车相遇前相距时，当两车相遇后相距时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可得：货车从地驶向站花费了2小时，行驶了， 则货车的速度为， 地与站的距离为， 客车的速度为； （2）解：由（1）知，货车的速度为， 货车从地驶向站所需时间为（小时）， 2小时后货车的行驶时间为小时， ； （3）解：设货车出发后，两车相距， 当两车相遇前相距时， ， 解得：； 当两车相遇后相距时， ， 解得：； 综上，当货车出发或后，两车相距． 14．（2026·广东汕尾·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为反比例函数图象的一部分），其中段的关系式为． (1)求出曲线所在的函数关系式； (2)通过计算比较：开始上课后，第时与第时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 【答案】(1) (2)第时学生的注意力更集中 【分析】（1）根据待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）分别求出当，时，的y值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设曲线所在的函数关系式为， 把点代入，得 ， ∴曲线所在的函数关系式为． （2）解：当时，， 当时，． ∵， ∴第时学生的注意力更集中． 50 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $