精品解析：广东惠州市华罗庚中学2025-2026学年第二学期高二期中质量检测数学试题

惠州市华罗庚中学2025-2026学年第二学期高二期中质量检测 数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、班级等考生信息填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案信息点．写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．选对得5分，选错得0分． 1. 已知离散型随机变量的方差为1，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质即可求解. 【详解】因为离散型随机变量的方差为1，所以. 故选：D. 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出求导公式、导数运算法则逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 3. 某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数为，大学恰好被选中的基本事件为：，根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】依题意， 在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：， 大学恰好被选中的基本事件为：， 所以大学恰好被选中的概率为：. 故选：B. 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（ ）． X 0 1 2 P A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知分布列的性质可知，， 即，解得或（舍去）， 故 ，， ． 5. 用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 480 C. 420 D. 360 【答案】C 【解析】 【分析】考查排列组合涂色问题，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理来求解. 【详解】完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂 ，区域有5种颜色可选，区域有4种颜色可选，区域有3种颜色可选， 若区域与区域颜色相同，区域有1种颜色可选，则区域有3种颜色可选； 若区域与区域颜色不同，区域有2种颜色可选，则区域有2种颜色可选； 再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算，可得共有 . 6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算． 【详解】设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”， 则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 由题意得， ， ， ， ， . 由贝叶斯公式有. 故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为. 8. 已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，对函数求导利用不等式可求出在上单调递减，再由函数奇偶性可得为偶函数，且在上单调递增，解不等式可得结果. 【详解】令，则； 又因为当时，，所以； 因此可得在上单调递减， 又函数是定义在上的偶函数，所以， 因此也是定义在上的偶函数，且在上单调递增； 则不等式可化为 , 因此，可得 ， 解得或. 即不等式的解集为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分． 9. 已知随机变量，且， ，则给出的下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于对称轴对称的性质，先求解均值，再结合正态分布的概率特征、期望方差的定义逐一判断各选项的正误. 【详解】∵ 随机变量，且， 正态曲线关于对称，故. 对于选项B：正态分布的期望，故B正确. 对于选项D：正态分布的方差，故D错误. 对于选项C：∵ 正态分布曲线关于对称，对称轴左侧的概率为，故，故C正确. 对于选项A：∵ 与关于对称，故， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，故A错误. 10. 定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（ ）. A. 记第 行中从左到右的第 个数为，则数列的通项公式为 B. 第k行各个数的和是 C. n阶“杨辉三角”中共有个数 D. n阶“杨辉三角”的所有数的和是 【答案】BCD 【解析】 【分析】明确第i行各个数是的展开式的二项式系数，即可判断A; 各行的所有数的和是各行对应的二项式系数和,由此判断B; 根据杨辉三角每行的数的个数，可计算n阶“杨辉三角”中共有个数，判断C; 计算“杨辉三角”的所有数的和，即可判断D. 【详解】第i行各个数是的展开式的二项式系数， 则数列的通项公式为，故A错误； 各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和，第k行各个数的和是，故B正确； 第k行共有（k+1）个数，从而n阶“杨辉三角”共有个数，故C正确； “杨辉三角”的所有数的和是，故D正确., 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中按x的升幂排列的第4项是______． 【答案】 【解析】 【详解】x升幂排列依次为常数项、一次项、二次项、三次项，第4项为三次项， 即. 13. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________； 【答案】58 【解析】 【分析】从8个顶点中选4个，排除6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况. 【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是. 故答案为：58. 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1 （2）243 【解析】 【小问1详解】 令，得 ，即， 令，得， 则 . 【小问2详解】 令，得 ， 则 . 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间上有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，确定极值点后代入计算极值. （2）计算区间端点函数值，结合函数单调性与极值，根据三次函数零点个数的判定条件列不等式组求解参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为. ∵ ， ∴ . 令，解得或. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. 当时，，故，单调递增. ∴ 为的极大值点，极大值为. 为的极小值点，极小值为. 【小问2详解】 计算在区间端点的函数值： ， . ∵ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上有3个不同的零点，需满足： 解得，即的取值范围为. 【点睛】方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围. 17. 为迎接“五一劳动节”，某校举行“劳动最光荣”知识竞赛.竞赛共有A､B两类试题，每类试题各10道，答对1道A类试题得10分，答对1道B类试题得20分，答错不扣分.参赛者从这两类试题中挑一类来回答（只需选择其中一类回答），每类抽出3道题回答（抽后不放回）.已知小明在A类试题中有7道题会答对，B类试题中每道答对的概率均为. （1）若小明选择回答A类试题，设小明回答结束后的总得分为，求的分布列和期望. （2）若小明选择回答B类试题，设小明回答结束后的总得分为，从得分期望考虑，小明应该选择哪类试题回答得分更高？请说明理由. 【答案】（1）分布列见解析，21； （2）应该选择类试题，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知有可能的取值为，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望； （2）设表示小明回答类试题中答对的题数且，应用二项分布的期望及期望性质求，结合（1）结果得结论. 【小问1详解】 由题设，可能的取值为， ， ， 所以的分布列为 0 10 20 30 所以 【小问2详解】 设表示小明回答类试题中答对的题数，易知， 故，又，则. 因为，故小明应该选择类试题回答得分更高. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，求证． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，利用导数的正负分析函数的单调区间； （3）由，转化问题为证明当时，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 当时，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，，则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，而， 则时，，时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 当时，， 故只需证明当时，. 当时，，， 则在上单调递增. 又 ， 故在上有唯一实根，且. 当时，；当时，， 从而当时，取得最小值. 由，得， 故当时，的最小值 ， 综上所述，当时，. 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【小问1详解】 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 【小问2详解】 设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 【小问3详解】 因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市华罗庚中学2025-2026学年第二学期高二期中质量检测 数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、班级等考生信息填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案信息点．写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．选对得5分，选错得0分． 1. 已知离散型随机变量的方差为1，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（ ）． X 0 1 2 P A. B. C. D. 5. 用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 480 C. 420 D. 360 6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分． 9. 已知随机变量，且， ，则给出的下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（ ）. A. 记第 行中从左到右的第 个数为，则数列的通项公式为 B. 第k行各个数的和是 C. n阶“杨辉三角”中共有个数 D. n阶“杨辉三角”的所有数的和是 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中按x的升幂排列的第4项是______． 13. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________； 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间上有三个零点，求的取值范围． 17. 为迎接“五一劳动节”，某校举行“劳动最光荣”知识竞赛.竞赛共有A､B两类试题，每类试题各10道，答对1道A类试题得10分，答对1道B类试题得20分，答错不扣分.参赛者从这两类试题中挑一类来回答（只需选择其中一类回答），每类抽出3道题回答（抽后不放回）.已知小明在A类试题中有7道题会答对，B类试题中每道答对的概率均为. （1）若小明选择回答A类试题，设小明回答结束后的总得分为，求的分布列和期望. （2）若小明选择回答B类试题，设小明回答结束后的总得分为，从得分期望考虑，小明应该选择哪类试题回答得分更高？请说明理由. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，求证． 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $