精品解析：广东茂名市高州市2025-2026学年第二学期高二质量监测数学试题

高州市2025～2026学年度第二学期高二质量监测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 高州市教育局教研室2026.5.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章～第七章7.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列2，5，8，…，则41是这个数列的（ ） A. 第16项 B. 第15项 C. 第14项 D. 第13项 2. 一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. 1m/s B. 3m/s C. 5m/s D. 7m/s 3. 在的展开式中，第7项为（ ） A. B. C. D. 4. 下表是离散型随机变量的分布列，则（ ） 0 1 2 0.51 A. 0.35 B. 0.45 C. 0.3 D. 0.4 5. 由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ） A. 300 B. 360 C. 420 D. 480 6. 已知正项数列满足，且，则（ ） A. 6 B. 42 C. 80 D. 84 7. 某校从高一､高二､高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 把10本不同的书排放在书架上，其中两本数学书不能相邻的排法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 10. 若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方盒的容积最大 B. 方盒的容积没有最小值 C. 方盒容积的最大值为 D. 方盒容积的最大值为 11. 记等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，最大 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 二项式的展开式中，前3项的系数依次成等差数列，则偶数项二项式系数之和为________． 14. 某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为1：5，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知函数 ． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，求实数a的取值范围． 17. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字． （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）求随机变量的分布列． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州市2025～2026学年度第二学期高二质量监测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 高州市教育局教研室2026.5.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章～第七章7.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列2，5，8，…，则41是这个数列的（ ） A. 第16项 B. 第15项 C. 第14项 D. 第13项 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知该等差数列的首项为2，公差为3， 因此该数列通项公式为， 令 ，可得. 因此41是这个数列的第14项. 2. 一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. 1m/s B. 3m/s C. 5m/s D. 7m/s 【答案】D 【解析】 【详解】因为 ，所以 ， 则在时的瞬时速度为 . 3. 在的展开式中，第7项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据二项展开式的通项可得第7项为. 4. 下表是离散型随机变量的分布列，则（ ） 0 1 2 0.51 A. 0.35 B. 0.45 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知， ，解得 或， 当 时，，，不满足题意，舍去， 故，则 . 5. 由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ） A. 300 B. 360 C. 420 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】由最后一位数是0和最后一位不是0，两类情况讨论求解即可. 【详解】最后一位数是0，偶数的个数是； 最后一位不是0，偶数的个数是， 所以一共有种. 6. 已知正项数列满足，且，则（ ） A. 6 B. 42 C. 80 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合等比数列的定义，可得数列是以2为公比的等比数列，根据条件，代入求解，可得的值，即可得数列的通项公式，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意，所以，则， 所以数列是以2为公比的等比数列，则， 所以，解得， 所以，则， 所以 7. 某校从高一､高二､高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，分别求得，，代入条件概率公式即可求解. 【详解】设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”， 则，，. 故选：A. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，构造函数利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，即可得解. 【详解】令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以 ，即 ， 即，所以， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，即，所以， 所以，即， 综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 把10本不同的书排放在书架上，其中两本数学书不能相邻的排法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】AC 【解析】 【分析】法一：利用插空法解决即可. 法二：利用间接法结合捆绑法求解即可. 【详解】法一：先把其他的8本书排好，形成了9个空，再将2本数学书插入9个空， 则有种不同的排法. 法二：若两本数学书相邻，则有种排法， 所以两本数学书不能相邻的排法有种. 故选：AC. 10. 若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方盒的容积最大 B. 方盒的容积没有最小值 C. 方盒容积的最大值为 D. 方盒容积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将方盒容积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得单调性、最值点和最值，由此可得结果. 【详解】由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中， 则方盒的容积为， ， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，无最小值，ABC正确，D错误. 故选：ABC. 11. 记等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，最大 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由等差数列和等比数列基本量的运算，求得等差数列的公差，等比数列的公比，进而逐项判断即可. 【详解】因为为等差数列，，所以， 又因为，所以公差，所以， ，，， 所以当或时，最大，所以A正确，C错误； 因为是等比数列，所以， 所以，因为， 所以公比， 所以或，所以或， 所以选项B错误； 当时，，，， 所以当或时，最大，且最大值为； 当， ，，，， 当时，，当时，，又，当时，， 所以当时，最大，且最大值为， 综上，可知的最大值为，所以选项D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据组合数的性质，分析即可得答案. 【详解】根据组合数的性质，且， 所以. 13. 二项式的展开式中，前3项的系数依次成等差数列，则偶数项二项式系数之和为________． 【答案】128 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出二项式的通项公式，并求出前三项，根据已知条件列方程，解得，再根据二项式系数的性质求解. 【详解】二项式展开式的通项公式， 当时，， 当时，， 当时，， 因为前3项的系数依次成等差数列， 所以，即， 解得（舍）或， 所以偶数项二项式系数之和为. 14. 某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为1：5，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”，设表示“允许通行”， 已知外来访客和小区业主的比为，则，， 小区业主被判定为“禁止入内”的概率为， 则业主被允许通行的概率为， 外来访客被判定为“允许通行”的概率为， 因此“允许通行”的概率为， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式求解； （2）代入求出数列的通项公式，利用分组求和法求出数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， ， ， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 ，， . 16. 已知函数 ． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时， ，求导可得 ， 当时， ， ， 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 设函数，要有两个极值点，即方程要有两个不相等的正实数根， 设为的两个极值点，即方程的两个正实数根， 所以，解得，即实数的取值范围为. 17. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字． （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）求随机变量的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果； （2）先求出的可能取值为2，3，4，5．在求出的每个取值的概率即可得解. 【小问1详解】 “取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件， 则为“取出的3个小球上有2个数字相同”，∴，∴． 【小问2详解】 由题意可知的可能取值为2，3，4，5， ，， ，． 可得的分布列如表所示． 2 3 4 5 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【小问1详解】 数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，于是， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，； 【小问2详解】 ①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 19. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值； （2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围； （3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围. 【小问1详解】 ，定义域为，， 令，得，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 由（1）可知，的最大值为1，所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 若函数在上恒成立，即在成立， 所以在上恒成立， 令， 则， 因为，所以当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意； 当时，令， ①当时，即时，则恒成立， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以时符合题意； ②当时，即时，令， 则， 因为，所以， 所以当时，，所以在上恒成立， 即函数在上单调递增，所以当时，， 所以时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $