8.6.1直线与直线垂直导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦“直线与直线垂直”，核心为空间中直线垂直关系及异面直线所成的角。课堂导入通过复习平面内垂直定义与空间直线位置关系，结合正方体实例引导学生探究异面直线的位置关系，搭建从平面到空间的认知支架。 资料以问题链驱动探究，借助正方体模型培养几何直观与空间观念，例题和练习涵盖正方体、空间四边形等情境，通过作辅助线转化角的大小，提升学生用数学思维推理和用数学语言表达的能力，助力掌握求异面直线所成角的方法。

8.6.1直线与直线垂直 【学习目标】 直线与直线垂直. 【学习重难点】 1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. (重点)， 2.理解并掌握异面直线所成的角．(重点) 3.会求任意两条直线所成的角．(难点) 【学习过程】 一、知识回顾 1．在同一平面内，直线与与直线垂直的定义： 2．空间中直线与直线的位置关系： 二、探究新知 与平行关系类似,垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系,它在研究空间图形问题中具有重要的作用. 空间两条直线的位置关系有三种:平行直线、相交直线和异面直线.在初中我们已经研究了平行直线和相交直线.本节我们主要研究异面直线, 问题1　如何刻画两条异面直线的位置关系？如图在正方体ABCD ­EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 提示 在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度。平移转化成相交直线所成的角，由于AB∥EF，可用EF与HF的夹角来刻画．应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题． 问题2　　异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？ 提示 两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，这个角的大小与O点的位置无关． 问题3　　异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？ 提示 异面直线所成角的范围为(0°，90°]，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b. 结论形成： 1．异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b 结论 我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为α，则0°<α≤90° 2．直线与直线垂直 如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b. 三、 例题解析 例1. 如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成角的大小； (2)FO与BD所成角的大小． 解析　(1)∵CG∥BF， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角． 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. (2)如图，连接FH， ∵FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 练习1. (1) 在例1正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角． 解析　连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，则OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角．由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°. （2）在例1正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角． 解析　连接MG，因为BCGF是正方形， 所以BF∥CG. 因为M，N分别是BF，CG的中点， 所以BM綊NG， 所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG， 所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角． 因为AM＝MG， 所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°， 所以∠AMG＝101.6°， 所以AM和BN所成的角为78.4°. （3）在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小． 解析　如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG＝AB， GF∥CD且GF＝CD. 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角． ∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B. 证明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴A1D1∥BC， ∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C， ∴直线AO与A1B所成的角即为直线AO与D1C所成的角， 如图，连接AC，AD1，易证AC＝AD1， 又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C， ∴AO⊥A1B. 练习2. （1）如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. 解析　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点， F为CC′的中点， ∴EF∥AC′， ∴BE和EF所成的角为∠BEF， 即为异面直线BE与AC′所成的角，且EF＝AC′. 在正三棱柱ABC－A′B′C′中， ∵AB＝BB′＝2， ∴AC′＝2，∴EF＝. 在等边三角形ABC中，BE＝＝， 在Rt△BCF中，BF＝＝. 在△BEF中BE2＋EF2＝BF2， ∴BE⊥EF，即BE⊥AC′. （2）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 解析　∵点G，E分别是CD，BC的中点， ∴GE∥BD，同理GF∥AC. ∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3， 满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°. 即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 四、布置作业 第 6 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.1直线与直线垂直 【学习目标】 直线与直线垂直. 【学习重难点】 1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. (重点)， 2.理解并掌握异面直线所成的角．(重点) 3.会求任意两条直线所成的角．(难点) 【学习过程】 一、知识回顾 1．在同一平面内，直线与与直线垂直的定义： 2．空间中直线与直线的位置关系： 二、探究新知 与平行关系类似,垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系,它在研究空间图形问题中具有重要的作用. 空间两条直线的位置关系有三种:平行直线、相交直线和异面直线.在初中我们已经研究了平行直线和相交直线.本节我们主要研究异面直线, 问题1　如何刻画两条异面直线的位置关系？如图在正方体ABCD ­EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 问题2　　异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？ 问题3　　异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？ 结论形成： 1．异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 结论 范围 记异面直线a与b所成的角为α，则 2．直线与直线垂直 如果两条异面直线a，b所成的角为 ，我们就称这两条直线互相垂直，记为 . 三、 例题解析 例1. 如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成角的大小； (2)FO与BD所成角的大小． 练习1. (1) 在例1正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角． （2）在例1正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角． （3）在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小． 解析　如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG＝AB， GF∥CD且GF＝CD. 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角． ∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B. 练习2. （1）如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. （2）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 四、布置作业 课本148页：练习1，2，4 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $