8.6.1 直线与直线垂直 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6 空间直线、平面的垂直 §8.6.1 直线与直线垂直【导学】 【导学目标】 1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线． 2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角 【导学重点】会在直角三角形中求简单异面直线所成的角． 【导学难点】找出或作出异面直线所成的角 【知识要点】 知识点一、 异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°. 3.当θ＝900时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点二、证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． 典型例题 题型一 概念理解 【例1-1】已知直线a，b，c，下列三个命题： ①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交； ③若a⊥b，a⊥c，则b∥c. 其中，正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【例1-2】（衔接教材P148T1）判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直.（ ） (2)垂直于同一直线的两条直线平行.（ ） (3)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（ ） 【例1-3】如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A． CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE，B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 【例1-4】在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　　) A．60° B．75° C．90° D．105° 【例1-5】一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF； ②AB与CM所成的角为60°； ③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD． 以上结论中正确结论的序号为________． 【例1-6】有三条直线，下列命题正确的是（ ） A.若则； B．若，则； C．若，则. D．若与，与都是异面直线，则与也是异面直线. 题型二 异面直线所成的角 【例2-1】（衔接教材P147L1）如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (1)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 【例2-2】（衔接教材P148T3）如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2. (1)直线BC和直线A′C′所成的角是多少度？ (2)直线AA′和直线BC′所成的角是多少度？ 【例2-3】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 求EF和AB所成的角． 【例2-4】如图，在正方体中，､分别为棱､的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 题型三 直线与直线垂直的证明 【例3-1】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 【例3-2】如图，四边形为正方形，为正三角形，平面平面是线段的中点. 证明：； 题型四 线线垂直的综合应用 【例4-1】(多选题)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是(　　). A．15° B．30° C．60° D．75° 【例4-2】如图，在四棱台中，平面，，. 求证：； 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6 空间直线、平面的垂直 §8.6.1 直线与直线垂直【导学】【解析】 【导学目标】 1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线． 2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角 【导学重点】会在直角三角形中求简单异面直线所成的角． 【导学难点】找出或作出异面直线所成的角 【知识要点】 知识点一、 异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°. 3.当θ＝900时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点二、证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． 典型例题 题型一 概念理解 【例1-1】已知直线a，b，c，下列三个命题： ①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交； ③若a⊥b，a⊥c，则b∥c. 其中，正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【例1-2】（衔接教材P148T1）判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直.（ ） (2)垂直于同一直线的两条直线平行.（ ） (3)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（ ） 【答案】√；×；×. 【解析】(1) 根据空间等角定理，如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直，所以这个命题是正确的； (2)垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面（比如正方体中从同一顶点出发的三条棱），所以这个命题是错误的； (3)过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直（这些直线在同一个平面内），所以这个命题是错误的. 【例1-3】如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A． CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE，B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 【答案】C 【解析】A选项：CC1和B1E都在侧面BCC1B1内，不是异面直线，故A错； B选项：C1C在侧面BCC1B1内，AE在底面ABC内，A不在C1C上，E在BC上，所以C1C与AE是异面直线，故B错； C选项：AE在底面ABC内，B1C1平行于BC，BC与AE相交于E，B1C1不在底面ABC内， 所以AE与B1C1是异面直线，故C对； D选项：因为B1C1∥BC，所以AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角。 又△ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，即所成角为900，故D错. 【例1-4】在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　　) A．60° B．75° C．90° D．105° 【答案】C 【例1-5】一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF； ②AB与CM所成的角为60°； ③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD． 以上结论中正确结论的序号为________． 【答案】①③ 【例1-6】有三条直线，下列命题正确的是（ ） A.若则； B．若，则； C．若，则. D．若与，与都是异面直线，则与也是异面直线. 【答案】AC 【解析】A：由平行公理可知本命题正确； B：当时，可以垂直，故本命题不正确； C：根据平行线的性质可以判断本结论正确； D：与，与都是异面直线，与可以平行，故本结论不正确. 故选：AC 题型二 异面直线所成的角 【例2-1】（衔接教材P147L1）如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (1)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 【答案】(1)与直线BA′是异面直线有：CC′、DD′、CD、C′D′、AD、B′C′. (2)450. (3)AB、BC、CD、AD、A′B′、B′C′、C′D′、A′D′. 【例2-2】（衔接教材P148T3）如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2. (1)直线BC和直线A′C′所成的角是多少度？ (2)直线AA′和直线BC′所成的角是多少度？ 【答案】(1)450;(2)600. 【例2-3】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 求EF和AB所成的角． 【解析】取BD的中点 G，连接EG,FG. ∵E是BC中点，G是BD中点， ∴EG∥CD，且 EG=CD（三角形中位线定理）。 同理，F是AD中点，G是BD中点， ∴FG∥AB，且 FG=AB。 ∴∠EFG（或其补角）就是EF与AB所成的角。 ∵AB⊥CD，AB=CD，∴EG⊥FG，且 EG=FG， ∴△EFG 是等腰直角三角形，∴∠EFG=450. 即EF和AB所成的角为 450. 【例2-4】如图，在正方体中，､分别为棱､的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连结，，证明即为异面直线与所成角或其补角，然后在三角形中计算可得． 【解析】取的中点，连结，， 因为，分别为，的中点，所以， 又，所以， 则即为异面直线与所成角或其补角， 不妨设正方体的棱长为2， 则，，所以， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 题型三 直线与直线垂直的证明 【例3-1】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 【证明】连接A1C1、B1D1，∵E、F分别是A1B1、B1C1的中点， ∴EF是△A1B1C1的中位线，∴EF∥A1C1. 在正方体AC1中，底面A1B1C1D1是正方形， ∴A1C1⊥B1D1（正方形对角线互相垂直）. 又∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1​， ∴DD1⊥A1C1（线面垂直的性质：若直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意直线）。 ∵DD1∩B1D1=D1，且DD1,B1D1⊂平面DB1D1， ∴A1C1⊥平面DB1D1​ ∵DB1⊂平面DB1D1，∴A1C1⊥DB1（线面垂直的性质）。 又∵EF∥A1C1​， ∴DB1⊥EF. 【例3-2】如图，四边形为正方形，为正三角形，平面平面是线段的中点. 证明：； 【分析】先证平面，根据线面垂直的概念可得线线垂直. 【解析】（1）连接，因为是线段的中点，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. 题型四 线线垂直的综合应用 【例4-1】(多选题)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是(　　). A．15° B．30° C．60° D．75° 【答案】AD 【解析】取BD的中点G，连接EG、FG. ∵ E是BC中点，G是BD中点， ∴ EG∥CD，且EG=CD. 同理，F是AD中点，G是BD中点， ∴ FG∥AB，且FG=AB. 已知AB=CD，所以EG=FG.AB与CD所成的角为300，而EG∥CD，FG∥AB， ∴ ∠EGF（或其补角）等于AB与CD所成的角，即∠EGF=300或1500. ∵FG∥AB，∴ EF与AB所成的角等于EF与FG所成的角，即∠EFG（或其补角）. 在等腰△EGF中：当∠EGF=300时，∠EFG=(1800−300)=750； 当∠EGF=1500时，∠EFG=(1800−1500)=150. 所以EF与AB所成角的大小可以是150或750. 故选：AD. 【例4-2】如图，在四棱台中，平面，，. 求证：； 【分析】根据勾股定理证得,由平面推得， 根据线面垂直的判定定理可得平面，进而得到． 【详解】因为，所以四边形为平行四边形， . 在中，，. 由余弦定理可得，， 所以，所以为直角三角形，所以. 因为平面平面，所以， 因为平面平面，且， 所以平面， 因为平面，所以． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $