8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6.2-2 直线与平面垂直的性质【导学】 【导学目标】 1. 记住直线与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题 2．会求直线到平面的距离. 【导学重点】应用直线与平面垂直的性质定理解决有关问题． 【导学难点】直观想象、逻辑推理． 【知识要点】 知识点一：直线与平面垂直的性质定理 1．文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行 ．简记为：若线面垂直，则线线平行． 2．符号语言：⇒ a//b . 3．图形语言： 知识点二：直线到平面的距离 1．直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【常用结论】 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 【典型例题】 题型一：线面垂直概念的理解 【例1-1】已知直线l垂直于△ABC的边AB和AC，另一条直线m垂直于△ABC的边BC和AC，则直线l，m的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．异面 C．相交 D．垂直 【例1-2】已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为，并且斜线l交平面α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是(　　) A．3π B．2π C．π D． 【例1-3】【多选】如果一条直线垂直于一个平面内的： ①三角形的两边； ②梯形的两边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 题型二：线面垂直性质定理的应用 【例2-1】如图，正方体A1B1C1D1­ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1. 【例2-2】如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝. 证明：A1C⊥平面BB1D1D. 题型三 直线到平面的距离 【例3-1】如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A． B．1 C． D． 【例3-2】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1. (1)证明：直线BC1平行于平面D1AC； (2)求直线BC1到平面D1AC的距离． 题型四:直线与平面所成角 【例4-1】如图，在四面体V-ABC中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. 如果，直线与平面所成的角为， 求:直线与平面所成角的大小； 【例4-2】如图所示，在长方体中，，，是棱的中点． (1)求异面直线和所成的角的正切值； (2)求与平面所成的角大小． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6.2-2 直线与平面垂直的性质【导学】【解析】 【导学目标】 1. 记住直线与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题 2．会求直线到平面的距离. 【导学重点】应用直线与平面垂直的性质定理解决有关问题． 【导学难点】直观想象、逻辑推理． 【知识要点】 知识点一：直线与平面垂直的性质定理 1．文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行 ．简记为：若线面垂直，则线线平行． 2．符号语言：⇒ a//b . 3．图形语言： 知识点二：直线到平面的距离 1．直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【常用结论】 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 【典型例题】 题型一：线面垂直概念的理解 【例1-1】已知直线l垂直于△ABC的边AB和AC，另一条直线m垂直于△ABC的边BC和AC，则直线l，m的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．异面 C．相交 D．垂直 【答案】A 【解析】因为直线l垂直于△ABC的边AB和AC，AB∩AC＝A， 所以直线l垂直于平面ABC， 同理可得直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m． 【例1-2】已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为，并且斜线l交平面α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是(　　) A．3π B．2π C．π D． 【答案】A 【解析】如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC， 所以线段BC为线段AB在平面α上的射影， ∠ABC为斜线l与平面α所成的角， 则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝， 故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π． 故选:A． 【例1-3】【多选】如果一条直线垂直于一个平面内的： ①三角形的两边； ②梯形的两边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的， ①③中给定的平面内的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直． 而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行， ④中正六边形的两边可能是互相平行的两边，不满足定理条件． 故选：AC. 题型二：线面垂直性质定理的应用 【例2-1】如图，正方体A1B1C1D1­ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1. 【证明】∵正方体A1B1C1D1­ABCD中， AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1=D，BD,DD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1（线面垂直判定定理）. 又∵BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1. ∵正方体中，A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AD1∩AB=A，AD1,AB⊂平面ABD1， ∴A1D⊥平面ABD1（线面垂直判定定理）。 又∵BD1⊂平面ABD1，∴A1D⊥BD1. ∵AC⊥BD1，A1D⊥BD1，且AC与A1D是异面直线， ∴BD1垂直于由AC、A1D所确定的平面。 又∵EF⊥AC，EF⊥A1D，∴EF也垂直于由AC、A1D所确定的平面。 ∴ 垂直于同一平面的两条直线平行，得EF∥BD1​ 【例2-2】如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝. 证明：A1C⊥平面BB1D1D. 【证明】 ∵底面 ABCD是正方形，AB=2，O是底面中心 ∴ AC=BD= ∴ AO=OC=AC=1，BO=OD=1 又∵ A1O⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD ∴ A1O⊥AC，A1O⊥BD 在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1由勾股定理： A1O= ∵ 底面 ABCD 是正方形，∴ AC⊥BD 又∵ A1O⊥BD，AC∩A1O=O，AC,A1O⊂平面A1AC ∴ BD⊥平面A1AC∵ A1C⊂平面A1AC，∴ BD⊥A1C 在△A1OC中，A1O=1，OC=1，A1C= 在△A1AC中，A1A=，AC=2，A1C= 满足A1A2+A1C2=AC2， ∴ A1A⊥A1C又∵ BB1∥AA1，∴ A1C⊥BB1​ ∵ BD∩BB1=B，BD,BB1⊂平面BB1D1D且A1C⊥BD，A1C⊥BB1​ ∴ A1C⊥平面BB1D1D 题型三 直线到平面的距离 【例3-1】如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1C1∥平面ABCD， 则A1C1到平面ABCD的距离即为正四棱柱的侧棱长． 由∠B1AB＝60°及AB＝1，知侧棱长为， 故选：D． 【例3-2】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1. (1)证明：直线BC1平行于平面D1AC； (2)求直线BC1到平面D1AC的距离． 【证明】(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，∵AB＝2，AD＝1，A1A＝1， ∴ 四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1. 又∵AD1⊂平面D1AC，BC1⊂平面D1AC， ∴ 根据线面平行判定定理，直线BC1∥平面D1AC. （2） 由(1)知BC1∥平面D1AC， 所以直线BC1到平面D1AC的距离等于点B到平面D1AC的距离. 设点B到平面D1AC的距离为h，用等体积法：VB−D1AC=VD1−ABC. 在长方体中，AB=2，AD=1，AA1=1， . △D1AC是等腰三角形，底边AD1=，高为. ∴. ∴. 又 解得. 即直线BC1到平面D1AC的距离为． 题型四:直线与平面所成角 【例4-1】如图，在四面体V-ABC中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. 如果，直线与平面所成的角为， 求:直线与平面所成角的大小； 【分析】利用几何法找到线面成角，利用线面垂直证明面面垂直. 【解析】连接，如图. 由题可知，平面，平面,则， 且即为直线与平面所成角， 即.由，为边的中线， 可得.而，可得，. 而即为直线与平面所成角，且, 则，可得直线与平面所成角为. 【例4-2】如图所示，在长方体中，，，是棱的中点． (1)求异面直线和所成的角的正切值； (2)求与平面所成的角大小． 【解析】（1）因为，所以为异面直线与所成的角． 因为平面，平面， 所以，即， 而，，故． 即异面直线和所成的角的正切值为． （2）由平面，平面，得， 由（1）知，，又，， 所以，从而 又，平面， 平面， 与面所成角为． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $