福建省三明第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

三明一中2025-2026学年下学期5月半期考 高二数学参考答案 一、选择题：本题共11小题，共58分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C A D C D D BD AB ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．，使得． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）依题意得方程的两个实数根为2和4 2分 则（解法1）， 6分 （解法2），即，解得， 6分 （列出的方程组中，对一个方程得1分，，解对一个得1分） （2）由（1）问可知，， 7分 ，， 8分 则 x 2 大于零 等于零 小于零 单调递增 极大值 单调递减 10分 则， 11分 由，，则 13分 16．解：（1）设“甲投球一次命中”为事件A， 1分 则， 3分 故甲投球2次命中1次的概率为 6分 （2）设“乙投球一次命中”为事件B． 7分 由题意得，解得， 8分 所以， 9分 由题意得X服从，则 10分 11分 12分 13分 14分 X得分布列为 X 0 1 2 3 P 15分 17．解：（1） 1分 2分 则， 4分 ， 6分 （若，的计算过程中答案算错，能正确代入数据给1分） 所以y关于x的经验回归方程为． 7分 （2）2025年对应的年份代码x为6． 当时，（万台）， 9分 故可预测2025年该市激光一体机的销量约为1.63万台 10分 （3）以频率估计概率，A品牌激光一体机的使用年限X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 0.05 0.15 0.2 0.1 0.5 11分 ； 12分 B品牌激光一体机的使用年限Y的分布列为： Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.15 0.15 0.4 13分 ， 14分 因为． 所以该中学应选择购买A品牌激光一体机． 15分 18．解：（1）当，时，函数， 1分 求导得， 2分 所以， 3分 因为，所以切点为原点， 4分 所以函数图象过原点的切线方程为 5分 （2）由题意得，对于给定的自然数n，在上恒成立， 6分 因为，所以恒成立， 7分 因为，所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 8分 所以， 9分 所以，， 10分 （3）因为，所以在上单调递增， 又因为，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 12分 所以， 12分 由恒成立，所以，即， 14分 所以，令，， 15分 求导得恒成立，所以在上单调递增， 16分 所以，所以，即n的最大值为3． 17分 19．解：（1）由题可知，， 1分 化简可得， 2分 当时，， 则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． 4分 （2）（i）设事件“一次性购买i个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 5分 则，，，． 依题意，得，， 6分 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 8分 又由题意知，，且，，，两两互斥， 9分 所以， 11分 由（1）得，，代入化简可得， 所以，． 12分 （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，， 13分 且，，，两两互斥， 所以， 14分 由（ⅰ）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 16分 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2025-2026学年下学期5月半期考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ） A． B．0 C．32 D．1 3．如果随机变量，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知随机变量服从二项分布．若，则（ ） A．144 B．48 C．24 D．16 6．袋中装有4个黑球和3个白球，现从中不放回地取球，每次取1个球，直到将袋中的白球取完即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，则终止取球时，恰有1个黑球没有被取出的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知正数a，b，且，满足，则（ ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值 8．已知直线与函数的图象相切，若，则实数b的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．如果a，b，c，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 10．口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ） A． B． C．A与B为互斥事件 D．A与B相互独立 11．已知时，关于x的不等式恒成立，则下列判断正确的是（ ） A．， B． C． D．的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知命题“，使得”的否定形式为_________________________． 13．用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则____________． 14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，其导函数为，不等式的解集为． （1）求a，b的值； （2）求函数在上的最大值和最小值． 16．（15分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均命中的概率为． （1）求甲投球2次，命中1次的概率； （2）若乙投球3次，设命中的次数为X，求X的分布列． 17．（15分）激光一体机是一种功能强大的办公设备，与传统的激光打印机相比，激光一体机还集成了复印、扫描等多种功能，因此比传统的激光打印机更实用，从而近几年在全国各地逐渐热销起来．下表为M市统计的近5年该市激光一体机的销量，其中x为年份代号，y（单位：万台）代表年销量． 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 年份代号x 1 2 3 4 5 年销量y/万台 0.5 0.9 1 1.2 1.4 （1）经过分析，y与x线性相关，试求y关于x的经验回归方程； （2）利用（1）中所求方程，预测2025年该市激光一体机的销量； （3）某中学准备从A，B两种品牌的激光一体机中购买一批配备给各办公室使用，下表是以往这两种激光一体机各100台的使用年限（整年）统计表： 使用年限 1年 2年 3年 4年 5年 A品牌 5 15 20 10 50 B品牌 10 20 15 15 40 激光一体机使用年限越长，办公费用越低．以使用年限的频率估计概率．该中学从节省办公费用的角度来看，应选择购买哪一种品牌的激光一体机？ 参考公式：，．参考数据：，． 18．（17分）已知函数，其中，，且． （1）当，时，求函数图象在处的切线方程； （2）若对于给定的自然数n，函数有意义，求a的取值范围； （3）对任意的，若，求n的最大值． 19．（17分）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为 X 0 1 2 3 P k 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （ⅰ）求该顾客为幸运客户的概率； （ⅱ）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $