福建泉州市四校（泉州外国语、南安华侨、石狮八中、城东中学）2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题

2025-2026学年下学期期中考试卷 高二数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（ ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 2．某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ） A． B． C． D． 3．设，是一个随机实验中的两个事件，若，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ）． A． B． C． D． 5．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 6．盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（ ） A． B． C． D． 7．若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．的解集为 B．函数有2个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 8．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ） A．1张 B．2张 C．3张 D．4张 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列各式正确的是（ ） A．已知，则x的取值为6或7 B． C．将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D．的展开式中的系数为 10．下列说法正确的是（ ） A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现奇数点”，事件“出现3点或4点”，则M和N相互独立 B．已知随机变量X服从正态分布，且，则 C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是 D．， 11．已知函数，，使得有三个零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A．a的取值范围为 B． C．若，则 D．函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”．从这个回答分析，6人的名次排列共可能有________不同的情况．（用数字作答） 13．已知函数在处取得极大值，则实数的值为________． 14．2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则________，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在①第5项的系数与第3项的系数之比是，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答． 问题：已知在的展开式中，__________． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含的项． 16．（15分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求a的取值范围． 17．（15分）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球．其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折． 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元． （1）若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； （2）若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 18．（17分）已知函数，． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且满足，证明：． 19．（17分）新高考是在6门选择性考试科目中，物理､历史这两门科目采用原始分计分；思想政治､地理､化学､生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为共5个等级，各等级人数所占比例分别为和，并按给定的公式进行转换赋分．广东省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治､地理､化学､生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． （1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表： 原始分 91 90 89 88 87 85 83 82 转换分 100 99 97 95 94 91 88 86 人数 1 1 2 1 2 1 1 1 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为，求的分布列和数学期望； （2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题： ①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数） ②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求取得最大值时的值． 附：若，则， 2025~2026学年下学期期中考试卷高二数学试卷答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【答案】C 【详解】，所以，因为．故选：C． 2．【答案】A 【详解】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件B，任取一件丙产品为事件C，设任取一件是合格品为事件D， 则，，，，，，故． 3．【答案】C 【详解】因为，所以．又， 且，所以，． 4．【答案】C 【详解】依题意，展开式中含的项为，． 5．【答案】B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位，又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为， 所以总方法数为：． 6．【答案】C 【详解】记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的，记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的，则，， 由条件概率公式可得． 7．【答案】D 【详解】对A：由图可得，在、上单调递增， 在上单调递减，故的解集为，故A错误； 对B、C、D：由图可得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故函数有且仅有一个极小值点，故B、C错误，D正确． 8．【答案】B 【解析】设每次中奖的概率为，在30天中中奖的天数为，则，若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为，若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为，若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率为，由题意知盒子中的有奖券有2张时，更有可能在30天中中奖11次 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以或， 解得或,故A正确；对于B，由组合数的性质可知：， 所以，故B正确； 对于C，利用隔板法可知，原问题即为将8个相同小球排成一列，在中间7个空隙中放入3个隔板即可， 所以共有种不同放法，故C错误； 对于D，因为的展开通项为：，而的展开式中的系数由两部分组成： 第一部分是2与的展开式中的系数的积，即； 第二部分是的系数-1与的展开式中的系数的积，即， 所以的展开式中的系数为，故D正确． 10．【答案】ABC 【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子一次，则，，而“出现3点”， 所以，则，故事件M和N相互独立，故A正确； 对于选项B：因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是直线． 因为，所以，，正确；对于选项C：设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择， 则，，，正确； 对于选项D：，，不正确． 11．【答案】ACD 【详解】对于A，因为有三个零点，得函数至少有两个极值点． 因为，所以有两个不相等的实数根．所以，解得，所以A正确．对于B，的两个不相等的实数根为m，n．由，且m，n关于对称．，，与的大小关系不能判断，无法比较大小，所以B错误． 对于C， ，所以，所以，所以C正确． 对于D，由题得，其简图如下： ， 所以， 同理，， 故 ．所以D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．【答案】144 【详解】第一步：根据约束条件，甲、乙不为第1、6名且相邻，排名可能为，共种排法；第二步：剩余名学生全排列，排法数为种；第三步：由分步乘法计数原理，总排列数为，综上，人的名次排列共有种不同情况． 13．【答案】2 【详解】由题意可知，，函数的定义域为，求导得， 因为函数在处取得极大值，所以有， 即，整理得，解得或， 当时，， 当时，，解得或，则在和上是单调递增函数； 当时，，解得，则在上是单调递减函数； 故在处取得极小值，不满足题意； 当时，， 当时，，解得或，则在和上是单调递增函数； 当时，，解得，则在上是单调递减函数； 故在处取得极大值，满足题意； 因此． 14．【答案】 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件，， 则，且，因为，，由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【小问1详解】若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是， 则， 求得， 当二项式系数最大时，，即第六项的二项式系数最大， 此项为． 若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55， 则，， 当二项式系数最大时，，即第六项的二项式系数最大， 此项为． 若选③，，， 当二项式系数最大时，，即第六项的二项式系数最大， 此项为． 【小问2详解】 该二项式的通项公式为， 令，求得，故展开式中含的项为． 16．【小问1详解】当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即； 【小问2详解】 解法一：， 时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立， 时，， 所以在上单调递增，所以成立． 时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合． 综上所述，a的取值范围是． 解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”．即在上恒成立． 当时，，所以． 当时，，所以恒成立． 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增． 所以，所以 综上所述，a的取值范围是 17．【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 选择方案一若消费金额打八折，则需摸出1个红球和2个黑球， 设甲顾客享受到免单优惠为事件，则， 设乙顾客消费金额打八折为事件，则， 所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为 （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，400，640，800． ，，， ， 所以（元） 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则 由题意知，，故 所以（元） 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算． 18．【小问1详解】 的定义域为，当时，， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 在时取得极大值为，无极小值． 【小问2详解】 ， 当时，在上恒成立，此时在上单调递增， 当时，若时，，则在上单调递增； 若时，，则在上单调递减； 综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 由题意，记，那么，是的两根， ，可转化为，是的两根， 令，求导得，令，解得， 若，则；若，则， 在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，要证，即证，只需证， 只需证①， 令，求导得：， 当时，，， 此时，在上单调递增， ，即①式得证，故命题得证． 19．【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为 由题意可得：，， （对3个及以上3分，对两个2分，对一个1分） ∴随机变量的分布列为 0 1 2 3 数学期望 （2）①设该划线分为，由得， 令，则， 由题意，，即， ， ，取 ②由①讨论及参考数据得 ， 即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788， 由 即 解得， 当时，取得最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $