10.1 随机事件与概率（思维导图+知识点+典例+练习）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦随机事件与概率核心知识点，系统梳理随机试验、样本空间、随机事件（含必然与不可能事件）、事件关系（包含、相等、并交、互斥对立）、古典概型及概率基本性质，构建从概念到关系再到计算的完整学习支架。 资料以思维导图搭建知识框架，典型例题结合抽奖、比赛等生活情境，强化训练覆盖选择、填空、解答题，培养数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（推理运算）、数学语言（模型表达），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

10.1 随机事件与概率 【思维导图】随机现象 随 机 事 件 有限样本空间 有限样本空间与随机事件 判断现象是否是随机事件 事件的包含关系 事件的运算及其含义 互斥事件 对立事件 互斥事件、对立事件的概率 事件的关系和运算 基本事件和样本空间 古典概型的特征 计算古典概型的概率 利用概率加法公式求古典概型的概率 古典概型 互斥事件的加法公式 对立事件的加法公式 利用事件的概率公式判断事件的关系 利用概率加法和乘法计算 概率的基本性质 【知识点】 1. 随机试验 把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示. 特点: (1)试验可以在相同条件下重复进行; (2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.样本空间 把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的 样本空间,一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. 3. 随机事件、必然事件与不可能事件 (1)一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生. (2)Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件. (3)空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为⌀为不可能事件. 4. 事件的关系 定义 符号 图示 包含 关系 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等 关系 如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等 A=B 5. 交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和 事件) 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B) 交事件 (或积 事件) 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 6. 互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥 事件 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B=⌀ 对立 事件 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为 A∪B=Ω A∩B=⌀ 7. 随机事件的概率和古典概型 1.随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示. 2.古典概型 一般地,若试验E具有以下特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有有限个; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 8. 古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=. 9.概率的基本性质 性质1　对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 性质5　如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 【典型例题】 题型1 随机事件的判断 例1．（5分）（24-25高一下·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（    ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数. 【解答过程】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件； ④任取，则，属于必然事件； 所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是. 故选：B. 变式1．（多选）下列现象中，是随机现象的有（ ） A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆 B．若a为整数，则a＋1为整数 C．发射一颗炮弹，命中目标 D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品 【答案】ACD 【分析】根据事件的分类逐项分析判断. 【解答过程】对于选项A：交警记录某一小时通过的汽车的数量是随机现象，故A正确； 对于选项B：当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，故B错误； 对于选项C：发射一颗炮弹，可能命中目标，也可能没有命中目标，故C正确； 对于选项D：检查流水线上一件产品，可能是合格品，也可能是次品，故D正确； 故选：ACD. 题型2事件的运算及其含义 例2．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】B 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于B中，事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于C中，当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于D中，当向上的点数是2时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 变式2．下列说法正确的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 【答案】AD 【解答过程】对于A，“甲站正中间”与“乙站正中间”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确； 对于B，向上面的点数是3的整数倍的概率为，B错误； 对于C，这组数据已经是从小到大排列，又，故25%分位数为，C错误. 对于D，，D正确． 题型3 互斥和对立事件的概率关系 例3．（多选）下列说法不正确的是（ ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】BCD 【分析】A.“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确； B.,所以该选项错误； C.举反例说明不一定成立，所以该选项错误； D.举反例说明A与B不对立，所以该选项错误. 【解答过程】解：A.若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”；“A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确； B.若A，B为两个事件，则,所以该选项错误； C.若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误； D.抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误. 故选：BCD 变式3.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 【答案】AD 【分析】根据对立事件、互斥事件的知识确定正确答案. 【解答过程】设是样本空间， A选项，由于，所以与是对立事件，A选项正确. B选项，由于“取出的球中，一个黄球一个白球”， 所以与不是互斥事件，B选项错误. C选项，由于“取出的球中，恰好有个白球”， 所以与不是对立事件，C选项错误. D选项，由于，所以，所以D选项正确. 故选：AD 题型4求概率 例4．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【解答过程】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 变式4．从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 【答案】 【分析】列举样本点个数，由古典概型进行计算即可得解. 【解答过程】10，11，12，13，14，15这6个正整数中质数有11和13两个， 则从中任取两个数，所有样本点构成的空间为，共15个样本点， 记事件“从中任取两个数，恰有1个质数”， 则共有8个样本点， 所以从中任取两个数，恰有1个质数的概率为. 故答案为： 题型05 解答题 例5．一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)． (1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率； (2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率． 【答案】（1） （2） 【分析】列举样本点个数，由古典概型进行计算即可得解. 【解答过程】（1）把4个红球标记为,，,2个蓝球标记为, 从箱子中随机抽取两球的样本空间为: ，共有15个样本点， 设事件“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”， 则事件，包含7个样本点，∴． （2）设事件 “从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”， 事件 “从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”， 事件 “从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”， 则，且与互斥．所以，， 则． 变式5．某电商平台进行抽奖活动，10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖5个（奖金2000元），一等奖20个（奖金500元），二等奖100个（奖金100元），三等奖500个（奖金20元），其余均为不中奖（奖金为0），设1张奖券中特等奖､一等奖､二等奖､三等奖的事件分别为，求： (1)事件的概率；(2)1张奖券的中奖概率； (3)一张奖券获得的奖金低于200元的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解答过程】（1）由题意，每10000张奖券中设特等奖5个，一等奖20个，二等奖100个，三等奖500个， 故, （2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖、三等奖， 设“1张奖券中奖”这个事件为，则 又因为两两互斥， 所以 故1张奖券的中奖概率为 （3）设“一张奖券获得的奖金低于200元”为事件, 则事件与“一张奖券获得的奖金不低于200元”为对立事件， 而“一张奖券获得的奖金不低于200元”为奖券获得特等奖和一等奖的和事件， 所以 即一张奖券获得的奖金低于200元的概率为 【强化训练】 1．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答过程】设末位数字是奇数为事件，则末位数字可以为：，共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率. 2．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用与互为对立求出，再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案. 【解答过程】由与互为对立，则， 又与互斥，则. 故选：B. 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（   ） A．若，则C与B相互对立 B．若，则 C．若事件A与B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则 【答案】C 【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断CD. 【解答过程】对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，若事件A与B相互独立，则， 则，正确； 对于D，若事件A与B相互独立，则相互独立， 则，错误. 故选：C. 4．（25-26高二上·湖北武汉·月考）抛掷一枚骰子两次.设事件为“第一次向上的点数是2”，事件为“第二次向上的点数是奇数”，事件为“两次向上的点数之和能被5整除”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互为对立事件 B． C． D．事件与事件相互独立 【答案】C 【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求得判断B；应用列举法求得判断C；根据独立事件的定义计算判断D, 【解答过程】对于A，由事件定义，当第一次出现2点，第二次出现1点，则事件与事件同时发生，故不互为对立事件，故A错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， 对于B， 事件的发生的样本点为，共3种， 所以，故B错误； 对于C， “第二次向上的点数是偶数”，且“第一次向上的点数是2”， 包含的基本事件为共3种，所以，故C正确． 对于D，事件包含的样本点有， 共18种，所以， 事件包含的样本点有共7种， 所以，， 所以，故D错误. 故选：C． 5．（多选题）（24-25高一下·河南洛阳·月考）甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件；从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签5；事件：抽取的两个号签和为4；事件：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．事件与互斥 D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据题意将的值求出来进行判断即可；对于选项B，首先列出满足事件的情况种数，然后除以总的情况数，即是概率值；对于选项C，可将事件的情况数一一列举出来，看是否与事件互斥；对于选项D，先求出，然后除以总情况数就是概率值. 【解答过程】根据题意，样本点有 ，，种可能的结果， 则，所以，A正确； 事件包含的样本点有，共3种可能的结果，则，B正确； 事件包含的样本点有， ，共15种可能的结果， 显然事件与不互斥，C错误；，D正确． 故选：ABD. 6．（填空题）（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 【答案】0.18 【分析】根据对立事件的概率公式求出，根据独立事件的概率公式求出． 【解答过程】因为与对立，所以， 又与相互独立，所以 ． 故答案为：0.18． 7．（填空题）（24-25高一下·江西·月考）2025年，从春晚扭秧歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自于不同公司的概率为__________. 【答案】 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式，即可求得答案. 【解答过程】设从甲公司购买的3台记为，从乙公司购买的2台记为， 从中任取2台的情况为共10种， 其中这2台来自于不同公司的情况分别为，共6种， 故概率. 故答案为：. 8．2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 【答案】（1） （2）0.496 【解答过程】 （1）设张三购买华为手机为事件，李四购买华为手机为事件， 则恰好有一人购买华为手机的概率 （2）设张三购买5000元以上手机为事件，李四购买5000元以上手机为事件， 张三购买5000元以上的华为手机为事件，李四购买5000元以上的华为手机为事件， 则，, 所以至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率 . 9．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户/人 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值． (1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率； (2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率． 【答案】（1）0.4 （2） 【解答过程】（1）由表中数据知，Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6，则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，这个客户不满意的概率为． （2）由题意知，回访客户的总人数是， 回访客户中满意的客户人数是，所以回访客户中客户的满意率为， 所以从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率约为． 10．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． 分组 频率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02 (1)估计数据落在中的概率为多少； (2)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数 【答案】（1）0.47 （2）2000 【解答过程】 （1），所以数据落在中的概率约为0.47. （2）设水库中鱼的总条数约为条，则， 即，所以水库中鱼的总条数约为2000条. 11.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，. （Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率. 【答案】（1） （2） 【解答过程】 【详解】（1） 所有的可能结果共有种， 而满足的有、、共计3个 故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为 （2） 所有的可能结果共有种 满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共三个 故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为 所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为 12．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 随机事件与概率 【思维导图】随机现象 随 机 事 件 有限样本空间 有限样本空间与随机事件 判断现象是否是随机事件 事件的包含关系 事件的运算及其含义 互斥事件 对立事件 互斥事件、对立事件的概率 事件的关系和运算 基本事件和样本空间 古典概型的特征 计算古典概型的概率 利用概率加法公式求古典概型的概率 古典概型 互斥事件的加法公式 对立事件的加法公式 利用事件的概率公式判断事件的关系 利用概率加法和乘法计算 概率的基本性质 【知识点】 1. 随机试验 把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示. 特点: (1)试验可以在相同条件下重复进行; (2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.样本空间 把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的 样本空间,一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. 3. 随机事件、必然事件与不可能事件 (1)一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生. (2)Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件. (3)空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为⌀为不可能事件. 4. 事件的关系 定义 符号 图示 包含 关系 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等 关系 如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等 A=B 5. 交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和 事件) 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B) 交事件 (或积 事件) 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 6. 互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥 事件 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B=⌀ 对立 事件 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为 A∪B=Ω A∩B=⌀ 7. 随机事件的概率和古典概型 1.随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示. 2.古典概型 一般地,若试验E具有以下特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有有限个; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 8. 古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=. 9.概率的基本性质 性质1　对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 性质5　如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 【典型例题】 题型1 随机事件的判断 例1．（5分）（24-25高一下·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（    ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（多选）下列现象中，是随机现象的有（ ） A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆 B．若a为整数，则a＋1为整数 C．发射一颗炮弹，命中目标 D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品 题型2事件的运算及其含义 例2．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 变式2．下列说法正确的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 题型3 互斥和对立事件的概率关系 例3．（多选）下列说法不正确的是（ ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 变式3.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 题型4求概率 例4．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 变式4．从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 题型05 解答题 例5．一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)． (1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率； (2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率． 变式5．某电商平台进行抽奖活动，10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖5个（奖金2000元），一等奖20个（奖金500元），二等奖100个（奖金100元），三等奖500个（奖金20元），其余均为不中奖（奖金为0），设1张奖券中特等奖､一等奖､二等奖､三等奖的事件分别为，求：(1)事件的概率；(2)1张奖券的中奖概率； (3)一张奖券获得的奖金低于200元的概率． 【强化训练】 1．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且 ，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（   ） A．若，则C与B相互对立 B．若，则 C．若事件A与B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则 4．（25-26高二上·湖北武汉·月考）抛掷一枚骰子两次.设事件为“第一次向上的点数是2”，事件为“第二次向上的点数是奇数”，事件为“两次向上的点数之和能被5整除”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互为对立事件 B． C． D．事件与事件相互独立 5．（多选题）（24-25高一下·河南洛阳·月考）甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件；从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签5；事件：抽取的两个号签和为4；事件：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．事件与互斥 D． 6．（填空题）（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 7．（填空题）（24-25高一下·江西·月考）2025年，从春晚扭秧歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自于不同公司的概率为__________. 8．2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 9．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户/人 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值． (1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率； (2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率． 10．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． 分组 频率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02 (1)估计数据落在中的概率为多少； (2)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数 11.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，. （Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率. 12．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $