2026年 重庆市永川区自主招生数学试题

2026年春期初三质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 5的倒数是（ ） A. B. C. D. 5 2. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限 4. 估计的值 （ ） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 81 B. 85 C. 71 D. 75 8. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 3 9. 如图，在正方形中，E为边上一点，连接，在右侧作，满足，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，且，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数．若，则下列说法：①若，时，则整式的值为；②若是的倍数，则最高次项的系数被整除余；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 2026年春节假期，重庆旅游热度位居全国第一，2月10日至2月16日期间，全市共接待游客72000000人次．数据72000000用科学记数法可表示为________． 12. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 13. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小陶从我国3位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽之中，随机选取两位介绍其生平事迹，小陶选中赵爽的概率是______． 14. 某市2026年1月手机用户数量为30万，同年3月用户数量增长至36.3万，设2、3月份用户数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为_____． 15. 如图，四边形内接于，为的直径，、交于点，平分，的平分线交于切于，交延长线于，若，点到的距离为，则_____，_____． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“十美数”．例如：四位数 ，∵ ，∴ 是“十美数”；又如：四位数 ，，不是“十美数”．若一个“十美数”为，则这个数为_____；若一个“十美数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十美数”之和是_____． 三、解答题：（本大题9个小题，17题8分，18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 在学习了矩形，菱形和正方形的相关知识后，某数学小组进行了更深入的研究．他们发现，过平行四边形一条对角线的中点作一边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和另一条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，平行四边形，点O是对角线的中点，用尺规作于点E，交于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，． ∴_____，， 点O是对角线的中点， ∴______ ∴， ∴③ ∴, 又， ∴四边形是④ 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了深入学习贯彻党的二十大精神，某校团委组织开展了“永远跟党走 奋进新征程”党史知识竞赛，为了了解参赛学生的成绩情况，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩得分用表示，共分为4组：组，组，组，D组）． 下面给出了部分信息： 抽取的10名七年级学生的成绩是：82，78，84，77，84，65，94，95，84，87 抽取的八年级学生的成绩在组包含的所有数据：80，85， 85，85，88 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 84 八年级 83 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为我校七，八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩达到70分及以上的学生人数． 21. 某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． （1）求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ （2）为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 22. 如图1，在菱形中，对角线与交于点O，，，点E是的中点，连接，动点P从点A出发，沿运动，同时动点Q从点B出发，沿运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接，，．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与动点P运动时间之比为， （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，请写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 23. 2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是直线下方抛物上一动点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标； （3）在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为，为轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中， ，绕点C顺时针旋转角度得到． （1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到Q，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 2026年春期初三质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】12 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ①. ②. ## 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：（本大题9个小题，17题8分，18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】（1）见解析 （2）；；③④平行四边形 【19题答案】 【答案】；2 【20题答案】 【答案】（1）；； （2）八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级的成绩更好． （3） 【21题答案】 【答案】（1）甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 （2）升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【22题答案】 【答案】（1）， （2）见详解 （3） 【23题答案】 【答案】（1）米 （2）小陈先到达体育场D处 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3）或或 【25题答案】 【答案】（1） （2）见解析 （3）8 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $