精品解析：重庆市两江新区2025-2026学年下学期指标到校数学试卷

初2026届适应性考试数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出的近似值，再根据负数小于正数的规则，比较各正数的大小即可得出结果． 【详解】∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴最大的数是． 2. 以下图形是四种化学仪器的平面示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 3. 对下列情况进行调查，其中最适合采用全面调查（普查）方式的是（） A. 调查某市中小学生的每周睡眠情况 B. 调查某班学生日常体育训练情况 C. 调查某步行街的日均人流量 D. 调查马年央视春晚的收视率 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项调查某市中小学生每周睡眠情况，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查； C选项调查步行街日均人流量，范围大，难以完成全面调查，不适合全面调查； D选项调查春晚收视率，调查范围广，对象多，不适合全面调查； B选项调查某班学生日常体育训练情况，范围小，人数少，易操作，适合全面调查． 4. 若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质，当反比例函数的图象位于第一、第三象限时，比例系数，据此列不等式求解的取值范围即可. 【详解】反比例函数的图象在第一、第三象限， ， 解得． 5. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得出，，根据相似三角形的性质得出，即可求出的值． 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，明明用围棋子按下列方式进行拼图活动：拼第1个图用了6枚棋子，拼第2个图用了10枚棋子，拼第3个图用了14枚棋子，…，按照这种规律拼下去，拼第9个图需要围棋子的数量是（ ） A. 36枚 B. 38枚 C. 45枚 D. 47枚 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图案总结规律求解即可； 【详解】第个图案：枚棋子， 第个图案：枚棋子， 第个图案：枚棋子， 第个图案：枚棋子， 第个图案：枚棋子． 7. 如图，，是⊙的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，利用切线性质可得 再根据在四边形中，内角和为，即可求出，，最后利用圆周角定理即可求出． 【详解】解：是的两条切线， ， ， ． 8. 某省于年月发起“请到民勤种棵树”活动，广大网友热烈响应，网上报名志愿者人数从第一周末的万人增加到第三周末的万人，则网上报名志愿者人数的周平均增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设周平均增长率为，根据“网上报名志愿者人数从第一周末的万人增加到第三周末的万人”列出关于的一元二次方程，解方程后舍去负根即可得到结果． 【详解】解：设网上报名志愿者人数的周平均增长率是， 依题意，得：， 解得：，（负值不符合题意，舍去）， ∴网上报名志愿者人数的周平均增长率是． 9. 如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出正方形边长，过点作交于点K，通过正方形中的内十字模型，平行四边形的性质得出，再用相似三角形的性质求出的长度，由等腰三角形的三线合一求出的长，进而求出、的长，从而得到点是三等分点；过点作于点，过点作，连接交的延长线于点，由一线三垂直得出，的长，再由勾股定理即可求出的长，从而得出比值； 【详解】解：设正方形的边长为， ， ， 在中，， 四边形是正方形， ，， 过点作交于点K， ，，， ，四边形是平行四边形， ，，， ， （） ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 过点作于点，过点作，连接交的延长线于点， ，，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ，， （） ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，几何法的核心是通过模型转化（正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、等腰直角三角形等）将分散的条件集中到可计算的直角三角形中． 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，整数满足，．定义整式的“加权值”．下列说法： ①当时，不等式的解集为； ②当，时，的最小值为17： ③满足条件的所有二次三项式的和取最小值时，． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先整理题目给出的通用条件，再逐个验证三个说法，利用整式性质和不等式、二次函数最值求解判断正误． 【详解】解：首先整理通用条件： 已知，，且是自然数，是正整数，是整数． ，若，左边为不成立， ，得， 化简得：，，且，为整数， 验证①：当时，，且，结合， 解得，， ， 不等式即，解得，①正确； 验证②：当，时，，代入，， 化简得：， 要使最小，最小取正整数， 此时，得， ，越大越小，最大， 代入得， ②正确； 验证③：二次三项式为， 由，得，， ，为整数， ∴可取、，，，，，， 则对应可取14、12、10、8、6、4、2， 对应可取0、1、2、3、4、5、6， ∴在所有二次三项式的和中，的系数为，的系数为， ∴当时，所有二次三项式的和取得最小值， ③正确， 综上，正确的个数是． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某校开设了“数学学具”、“数学与跨学科”、“与几何”三门校本选修课程，小杨从中随机选取两门课程，恰好选中“数学学具”和“与几何”两门课程的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先列出随机选取两门课程的所有等可能结果，再找出恰好选中目标两门课程的结果数，利用概率公式计算即可. 【详解】记数学学具为，数学与跨学科为，与几何为， 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中恰好选中“数学学具”和“与几何”两门课程的结果有2种， ∴恰好选中“数学学具”和“与几何”两门课程的概率为 12. 如图，直线，，则__________． 【答案】130 【解析】 【分析】如解图，根据平角的定义即可求出∠3，然后根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2． 【详解】解：∵ ∴∠3=180°－∠1=130° ∵ ∴∠2=∠3=130° 故答案为：130． 【点睛】此题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解决此题的关键． 13. 若正整数满足，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质得到的范围，结合已知条件确定正整数的值． 【详解】解：， ， 即， ∴ ，即， ，且为正整数， ． 14. 已知实数，，满足，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，分情况讨论的正负性，然后通过联立方程组求出、、的值，最后代入式子计算即可． 【详解】解：当时，得 ， 得：，解得：， 得：，解得：， ∴； 当时，得 ， 得：， ∴， ∵， ∴不成立， 综上可得：的值为． 15. 如图，在中，，为的中点，以线段为直径的交于点，过点作，交于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，，，证明得出，进而证明，证明，得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，则， ∵在中，，为的直径 ∴，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ 16. 一个四位自然数（其中，，，为整数，且，，，），若满足，，则称这个四位数为“奇特数”．例如：四位数3534，因，，所以3534是“奇特数”．已知某个“奇特数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“奇特数”是______；若四位自然数和都是“奇特数”，且的千位数字与的千位数字之和为7，的十位数字与的十位数字之和为8．记．若与均为整数，则满足条件的为______． 【答案】 ①. 5352 ②. 6531 【解析】 【分析】①根据 “奇特数”的定义，结合已知可得第一个空答案；②设，，根据已知可得，由是整数可得必须是7的倍数，设（k为整数）；由为整数可得必须是8的倍数，设，根据a、b取值范围和不等式的性质分析求解即可． 【详解】解：①设这个“奇特数”是， 根据题意，，则， 由百位数字比千位数字小2得，则， ∴这个“奇特数”是5352； ②设，， 则，，，， 由的千位数字与的千位数字之和为7得，则，， 由的十位数字与的十位数字之和为8得，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， ∵是整数， ∴能被7整除， 将，代入中， 得， ∵2和7互质， ∴必须是7的倍数，设（k为整数）； ∵为整数，且， 将，代入，得， 故必须是8的倍数，设， ∵，， ∴，则， ∴，代入中，得， ∴， ∵， ∴，则或， 当时，不是整数，舍去； 当时，，则，，， 经检验，，，，均满足题意， ∴． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 【答案】所有整数解 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再从解集中找出整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 满足原不等式组的所有整数解为，，，，，． 18. 学习了平行四边形的判定后，某数学探索小组发现并提出一个问题：一组对边平行，一条对角线被平分的四边形是不是平行四边形呢？于是，他们设计了以下推理过程．现在你作为他们小组的成员，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和补全推理过程． 第一步：构造四边形． 请你用无刻度直尺和圆规作图．如图，在所在的平面内，在边的右侧作，作边的中点，连接并延长，交于点，连接（不写作法．保留作图痕迹）． 第二步：利用平行四边形的判定证明他们的猜想． 证明：为中点， ① ， 在和中， ． ． ， ③ ， 即，． 四边形是平行四边形． 【答案】（1）作图见解析；①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图与平行四边形的判定，解题的关键是掌握作一个角等于已知角、作线段中点的尺规作图方法，以及利用全等三角形证明一组对边平行且相等，从而判定四边形为平行四边形． 先通过尺规作图作出满足条件的四边形，再利用线段中点的性质得到 ，结合内错角相等证明两直线平行，利用证明三角形全等，得到一组对边平行且相等，进而证明四边形是平行四边形． 【详解】作图：如图所示． 证明：为中点， ， 在和中， （）， ， ， ， 即，， 四边形ABCD是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某校组织了“科技创新知识”大赛，从八、九年级中各随机抽取20名学生的大赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 八年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩落在B组中的有：84，86，87，89，89，89． 九年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩：68，69，77，78，78，79，86，87，88，88，89，90，96，96，96，97，99，99，100，100． 八、九年级抽取的学生大赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 89 101.9 九年级 88 88.5 104 八年级抽取的学生大赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接写出上述图表中，，的值： （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的“科技创新知识”大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）若成绩不低于90分为优秀，且该校八年级有900名学生、九年级有880名学生参加了此次“科技创新知识”大赛，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）96，89，40 （2）八年级学生的“科技创新知识”大赛成绩较好，见解析 （3）756人 【解析】 【分析】(1)分别根据中位数、众数的意义求解即可求出、，用“1”分别减去其它组所占百分比可得的值； (2)从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； (3)用总人数乘九、八年级成绩不低于90分的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：九年级的成绩众数是，八年级20名学生大赛成绩在B组中的数据是：84，86，87，89，89，89. 组的占比为， 从扇形统计图中可知：组的占比为， ， 八年级20名学生大赛成绩在组的共有（人）， 中位数为第10和11名的成绩分别，， ． 【小问2详解】 解：我认为八年级学生的“科技创新知识”大赛成绩较好，理由如下： 因为八、九年级学生“科技创新知识”大赛成绩的平均数都是88分，但八年级学生“科技创新知识”大赛成绩的中位数89分大于九年级学生“科技创新知识”大赛成绩的中位数88.5分．所以，八年级学生的“科技创新知识”大赛成绩较好． 【小问3详解】 （3）（人）， 答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数为756人． 【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、样本估计总体，扇形统计图，正确理解题意是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据多项式的乘法，完全平方公式及分式的运算法则将原式化简，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式． 21. 列方程解下列应用题： 马年春节前一周，某商场共卖出“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件共件，总销售额为元．已知“马上有福”挂件的销售价为每件元，“马踏飞燕”挂件的销售价为每件元． （1）求马年春节前一周售出的“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件各多少件？ （2）马年春节放假期间，人们购买马年挂件的热情高涨，该商场上调了两种挂件的销售单价，且每件“马上有福”挂件比每件“马踏飞燕”挂件多上调了元．春节放假结束，该商场统计发现：春节放假期间，“马上有福”挂件的销售额比春节前一周销售额的倍少元，“马踏飞燕”挂件的销售额比春节前一周的销售额多元，且“马上有福”挂件的销售量是“马踏飞燕”挂件销售量的．求“马踏飞燕”挂件每件涨了多少元？ 【答案】（1）马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，“马踏飞燕”挂件件 （2）春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元 【解析】 【分析】（1）设马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，则“马踏飞燕”挂件件，根据题意列一元一次方程，求出的值即可得答案； （2）设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元，则“马上有福”挂件每件涨价元，根据题意列分式方程，求出的值即可得答案． 【小问1详解】 解：设马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，则“马踏飞燕”挂件件， ∵两种挂件共件，总销售额为元，销售价分别为每件元和每件元， ∴， 解得， ∴． 答：马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，“马踏飞燕”挂件件． 【小问2详解】 解：设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元，则“马上有福”挂件每件涨价元， ∵春节前一周“马上有福”挂件销售额为元，“马踏飞燕”挂件销售额为元， ∴， 解得：． 经检验，是原方程的解．且符合题意． 答：春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元． 22. 已知，如图1，在矩形中，，，点，分别为，的中点，连接并延长，交的延长线于点．动点以每秒1个单位的速度从点出发沿折线运动，动点以每秒2个单位的速度从点出发沿折线运动，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿射线运动，三个点同时运动，当其中一个点停止运动时，另两个点也停止运动．连接，设运动时间为秒，，两点的距离为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）图见解析，性质：当时，随增大而减小；性质：当时，随增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，列出的函数关系式，证明，得到的面积与的面积之比等于的面积与的面积之比，根据同高三角形的面积比等于底边比，列出的函数关系式即可； （2）描点画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵矩形，，， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， 由题意，点运动到点所需时间为（秒），点运动到点所需时间为（秒），， ∴当时，，则， ∴， 当时，， ∴， 综上：； ∵，，， ∴， ∴ ∴的面积与的面积之比等于的面积与的面积之比， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， 画图如下： 由图可知：性质：当时，随增大而减小；性质：当时，随增大而减小； 【小问3详解】 解：由图可知：当时，； 23. 为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛．如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向100米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上．（参考数据：，，） （1）求点到点的距离（结果保留小数点后一位）； （2）小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点．同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给．机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半．当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常．求此时机器狗“成真”与点的距离（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过作于，过作于，在，中，分别求得，进而根据，即可求解； （2）设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点，设，，在中，根据得出在，在，中，分别表示出，进而求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：如答图： 过作于，过作于， ， 由、都是东西方向，即，则， 四边形是矩形，即，， 由题意，得，， 在中，，， ，， 在中，，， ． ， ， （米）， 答：点到点的距离为米． 【小问2详解】 设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点， ， 由题可得，．故 设． 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ，， 设，由修复模式下机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半可得， 由题意可知，， ，， 在中，，得， 在中，，得， ， 解得，（米）， 答：此时机器狗“成真”与点的距离约为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点是直线下方抛物线上的一点，过点作轴，，分别交直线于点，．线段在直线上运动，点在点的上方且，连接，．当的面积取得最大值时，求点的坐标及此时的最大值： （3）在（2）中的面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点在轴上，连接，交线段于点．点为抛物线上一点．点坐标为，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或，见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的解析式求出点、、的坐标，从而可以求出的面积，利用待定系数法求出直线和的解析式证明，利用相似三角形的性质可以求出，可知当取最大值时，有最大值，设，由，有，可知，根据二次函数的性质可知当当时，有最大值，此时，根据点的坐标即可求出 （3）因为抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，所以抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，可以求出直线的解析式为，然后分点在轴上方和点在轴下方两种情况求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，对称轴为直线． ， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，，则， 抛物线经过点，对称轴为直线， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， ， 当时，可得：， 点的坐标是， ， 设直线和的解析式分别为和， 和， 解得：和， 直线和的解析式分别为和， 轴，， ，， ， ，， 当有最大值，取得最大值， 设，由，有， ， ， ， 当时，有最大值，即有最大值，即有最大值， 此时 ， 将沿方向平移个单位长度得到， 直线的解析式为， 点向右平移个单位长度．向下平移个单位长度， ， 此时．即的最大值为； 【小问3详解】 解：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线， ． ，， 直线的解析式为， 即， ， ， ， 时有， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得，（，舍去）， 当时， 可得： 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 同理求得直线的解析式为， 联立得， 解得:，（，舍去）， 当时，可得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 25. 在中，，点D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． （1）如图1，当时，连接，过点E作于点G，若，，求四边形的面积： （2）如图2，当时，在上取一点H，连接，使，将沿翻折到所在平面内，得到，连接并延长，交于点P，连接．用等式表示线段、、的数量关系并证明： （3）如图3，当，时，的中线，交于点I，．点J是边上一动点（不与端点重合），连接．以为边在右侧作等边，连接，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，作交直线于点N．在点J运动过程中，当取最小值时，在直线上取一点Q，连接，关于直线对称得到，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）9 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证得是等腰直角三角形，再由点E是线段，的垂直平分线的交点，证得，进而得出是等腰直角三角形，从而求得结果； （2）连接，根据已知条件及四边形内角和定理证得是等边三角形，由折叠的性质推出，是等边三角形，，最终利用线段和差关系和直角三角形的性质推导出结论； （3）先确定点K的运动轨迹，再确定点I的运动轨迹，利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质及解直角三角形即可求得结果． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，连接， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，在上取一点，连接，在右侧构造等边，连接， ∵点J是上的动点，是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴与直线l的夹角为， 即点K的轨迹是直线l， 当时，有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为等边的中线， ∴ ∴点I为等边的重心， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴点在上， ∵关于直线对称得到，Q为直线上一动点， ∴点I的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 当A、、三点共线时，取最大值， ∴， 如图，以为边向上构造等边，过点作交延长线于点，连接，，记与的交点为S， ∵，点I为等边的重心， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴等边的边长为， 过点作交于点L， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 过点作交于点R， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2026届适应性考试数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 以下图形是四种化学仪器的平面示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 对下列情况进行调查，其中最适合采用全面调查（普查）方式的是（） A. 调查某市中小学生的每周睡眠情况 B. 调查某班学生日常体育训练情况 C. 调查某步行街的日均人流量 D. 调查马年央视春晚的收视率 4. 若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 5. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，明明用围棋子按下列方式进行拼图活动：拼第1个图用了6枚棋子，拼第2个图用了10枚棋子，拼第3个图用了14枚棋子，…，按照这种规律拼下去，拼第9个图需要围棋子的数量是（ ） A. 36枚 B. 38枚 C. 45枚 D. 47枚 7. 如图，，是⊙的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 80° 8. 某省于年月发起“请到民勤种棵树”活动，广大网友热烈响应，网上报名志愿者人数从第一周末的万人增加到第三周末的万人，则网上报名志愿者人数的周平均增长率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，整数满足，．定义整式的“加权值”．下列说法： ①当时，不等式的解集为； ②当，时，的最小值为17： ③满足条件的所有二次三项式的和取最小值时，． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某校开设了“数学学具”、“数学与跨学科”、“与几何”三门校本选修课程，小杨从中随机选取两门课程，恰好选中“数学学具”和“与几何”两门课程的概率为______． 12. 如图，直线，，则__________． 13. 若正整数满足，则的值是______． 14. 已知实数，，满足，且，则的值为_____． 15. 如图，在中，，为的中点，以线段为直径的交于点，过点作，交于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则_______． 16. 一个四位自然数（其中，，，为整数，且，，，），若满足，，则称这个四位数为“奇特数”．例如：四位数3534，因，，所以3534是“奇特数”．已知某个“奇特数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“奇特数”是______；若四位自然数和都是“奇特数”，且的千位数字与的千位数字之和为7，的十位数字与的十位数字之和为8．记．若与均为整数，则满足条件的为______． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 18. 学习了平行四边形的判定后，某数学探索小组发现并提出一个问题：一组对边平行，一条对角线被平分的四边形是不是平行四边形呢？于是，他们设计了以下推理过程．现在你作为他们小组的成员，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和补全推理过程． 第一步：构造四边形． 请你用无刻度直尺和圆规作图．如图，在所在的平面内，在边的右侧作，作边的中点，连接并延长，交于点，连接（不写作法．保留作图痕迹）． 第二步：利用平行四边形的判定证明他们的猜想． 证明：为中点， ① ， 在和中， ． ． ， ③ ， 即，． 四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某校组织了“科技创新知识”大赛，从八、九年级中各随机抽取20名学生的大赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 八年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩落在B组中的有：84，86，87，89，89，89． 九年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩：68，69，77，78，78，79，86，87，88，88，89，90，96，96，96，97，99，99，100，100． 八、九年级抽取的学生大赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 89 101.9 九年级 88 88.5 104 八年级抽取的学生大赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接写出上述图表中，，的值： （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的“科技创新知识”大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）若成绩不低于90分为优秀，且该校八年级有900名学生、九年级有880名学生参加了此次“科技创新知识”大赛，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生共有多少人． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列应用题： 马年春节前一周，某商场共卖出“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件共件，总销售额为元．已知“马上有福”挂件的销售价为每件元，“马踏飞燕”挂件的销售价为每件元． （1）求马年春节前一周售出的“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件各多少件？ （2）马年春节放假期间，人们购买马年挂件的热情高涨，该商场上调了两种挂件的销售单价，且每件“马上有福”挂件比每件“马踏飞燕”挂件多上调了元．春节放假结束，该商场统计发现：春节放假期间，“马上有福”挂件的销售额比春节前一周销售额的倍少元，“马踏飞燕”挂件的销售额比春节前一周的销售额多元，且“马上有福”挂件的销售量是“马踏飞燕”挂件销售量的．求“马踏飞燕”挂件每件涨了多少元？ 22. 已知，如图1，在矩形中，，，点，分别为，的中点，连接并延长，交的延长线于点．动点以每秒1个单位的速度从点出发沿折线运动，动点以每秒2个单位的速度从点出发沿折线运动，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿射线运动，三个点同时运动，当其中一个点停止运动时，另两个点也停止运动．连接，设运动时间为秒，，两点的距离为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛．如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向100米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上．（参考数据：，，） （1）求点到点的距离（结果保留小数点后一位）； （2）小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点．同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给．机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半．当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常．求此时机器狗“成真”与点的距离（结果保留小数点后一位）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点是直线下方抛物线上的一点，过点作轴，，分别交直线于点，．线段在直线上运动，点在点的上方且，连接，．当的面积取得最大值时，求点的坐标及此时的最大值： （3）在（2）中的面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点在轴上，连接，交线段于点．点为抛物线上一点．点坐标为，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，点D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． （1）如图1，当时，连接，过点E作于点G，若，，求四边形的面积： （2）如图2，当时，在上取一点H，连接，使，将沿翻折到所在平面内，得到，连接并延长，交于点P，连接．用等式表示线段、、的数量关系并证明： （3）如图3，当，时，的中线，交于点I，．点J是边上一动点（不与端点重合），连接．以为边在右侧作等边，连接，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，作交直线于点N．在点J运动过程中，当取最小值时，在直线上取一点Q，连接，关于直线对称得到，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $