专题02 一元一次方程（期末复习知识清单）六年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题02 一元一次方程（4知识&15题型&2易错） 【清单01】一元一次方程的概念 1．定义：只含有未知数（元），且未知数的次数都是的整式方程。 2．标准形式：（其中是未知数，、是已知数，且）。 3．方程的解：使方程等号相等的的值。 4．含参一元一次方程： 次数含参：需满足未知数次数为，且一次项系数； 解已知：将解代入方程，可求出参数的值。 【清单02】等式的性质 1．性质1：等式两边加（或减），结果仍相等； 若，则。 2．性质2：等式两边乘，或除以的数，结果仍相等； 若，则；若（），则。 【清单03】解一元一次方程的步骤 1．去分母：方程两边同乘所有分母的（注意不含分母的项也要乘）。 2．去括号： 顺序：先，再，最后； 法则：运用乘法分配律，分配到，括号前是负号时，括号内各项要。 3．移项： 定义：把含未知数的项移到方程，不含未知数的项移到； 关键：移项要（不移项的项符号不变），通常未知数项移到，常数项移到。 4．合并同类项：将同类项合并，化为（）的形式，合并时，字母及指数不变。 5．系数化为1：方程两边同除以未知数的，得，注意分子、分母不能颠倒。 【清单04】一元一次方程的实际应用 1．一般步骤（六步）：。 审：读懂题意，找出； 设：设未知数（直接设或）； 列：根据等量关系列方程（单位要）； 验：检验解是否符合（不符合需舍去）； 答：写出答案，注明。 2．常见题型及核心公式： ①行程问题：； ②工程问题：，等量关系：先做的工作量+后做的工作量=； ③利润问题：，售价=定价×折扣（若有折扣）。 【题型一】根据一元一次方程的定义求参数 例1．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 【答案】D 【详解】解：由方程是关于x的一元一次方程可知：，且， 解得：； 故选D． 变式1-1．若方程是关于的一元一次方程，则代数式的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】方程整理为： 该方程是关于的一元一次方程， 且， 由得，即或， 当时，，满足条件， 当时，，不满足条件， ， ． 故选． 变式1-2．若是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴未知数x的次数为1，即， ∴， 故答案为：． 变式1-3．关于的一元一次方程的解为，则的值为 【答案】9 【分析】 【详解】解：由于方程是关于x的一元一次方程， 因此x的指数， 解得， 所以或， 当时，系数，不符合一元一次方程的定义， 故， 将代入方程，得，即， 将代入方程，得， 解得， 因此， 故答案为：9． 【题型二】方程的解 例2．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】11 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2-1．若是关于x的一元一次方程的解，则m的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选： B. 变式2-2．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 7 5 3 1 【答案】2 【分析】 【详解】解：方程可化为． 由表格数据可知，当时，， 因此方程的解为． 故答案为：2． 变式2-3．已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是 ． 【答案】2026 【详解】解：由关于x的方程，变形得． 关于y的方程为，因此， ∴，代入，得． 故答案为：2026． 【题型三】等式的性质 例3．下列运用等式的性质，变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：A、∵ ，∴（两边同时减5），故该选项不符合题意； B、∵，∴（两边同时乘c），故该选项符合题意； C、∵，∴两边同时除以c得，但是必须，故该选项符合不题意； D、∵ ，∴（两边同时除以2），故该选项不符合题意； 故选：B 变式3-1．如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵天平①平衡， ∴， ∴，即， ∴天平一定平衡的是C， 故选：C． 变式3-2．下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】 等式变形必须基于等式的性质：等式两边同时加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍成立． A．如果，那么，故选项不符合题意； B．如果，那么，故选项不符合题意； C．如果，两边同乘，得，故选项符合题意； D．如果，但可能为零，当时，不成立，故选项不符合题意． 故选：C． 变式3-3．若x，y，z为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴两边同乘8得， A选项，，整理得；不符合题意，故不正确；           B选项，，整理得；不符合题意，故不正确； C选项，，整理得；符合题意，故正确； D选项，，整理得；不符合题意，故不正确； ∴故选：C． 【题型四】解一元一次方程 例4．若一个等式“”，其右边一部分被墨水污染． (1)若“”表示一个不能再化简的多项式，求“”； (2)若“”表示3，求这个方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解： 变式4-1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： 去括号得 移项得 合并同类项得 将系数化为1得； （2）解： 去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 变式4-2．若的值与的值互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 解得， 故选：A． 变式4-3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于x的方程与方程是“致真方程”，求m的值； (2)若关于x的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2)方程的解为，方程的解为 【分析】 【详解】（1）解：解，得； 解，得； 由题意，，解得； （2）解：解，得； 解，得， 由题意，，解得， ∴方程的解为，方程的解为． 【题型五】一元一次方程的错解问题 例5．下列是小明和小华同学关于一元一次方程的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请你从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． 小明同学： 解方程．解：．·······第①步 ·······第②步 ·······第③步 ·······第④步 ·······第⑤步 ·······第⑥步 小华同学： 解方程．解：·······第①步 ·······第②步 ·······第③步 ·······第④步 ·······第⑤步 ·······第⑥步 (1)选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）； (2)该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明或小华 (2)③，去括号时没有变号或①，利用等式的基本性质2时，等式右边漏乘8； (3)答案不唯一，具体见解析 【分析】 【详解】（1）解：选择小明或小华； 故答案为：小明或小华 （2）解：若选择小明，从第③步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有变号； 若选择小华，从第①步开始出现错误，错误的原因是利用等式的基本性质2时，等式右边漏乘8； 故答案为：③，去括号时没有变号；或①，利用等式的基本性质2时，等式右边漏乘8； （3）解：若选择小明，方程两边同时乘以8，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 若选择小华，方程两边同时乘以8，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 变式5-1．某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】解：依题意，先设（    ）处为， 则原式为， 把代入，得 解得， 故选：C 变式5-2．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 变式5-3．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即 【A】 去分母，得    【B】 去括号，得   【C】 移项，得 【D】 合并同类项，得 【E】 系数化为1，得 【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)D；移项时忘了变号 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：他错在D步骤，错误的原因是移项时忘了变号； （2）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型六】根据一元一次方程的关系解方程问题 例6．已知关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数．求m的值． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵ 方程 ， ∴, 整理，得 故， 解得． 由， 去分母，得， 移项得：， 整理，得 解得． ∵ 两方程的解互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故． 变式6-1．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为． 故选：A． 变式6-2．如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 解得：． 将代入，得， 即， 解得：， 所以：． 故答案为：． 变式6-3．方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． ∵的倒数是， ∴将代入方程， ∴， 解得． 【题型七】一元一次方程应用——工程问题 例7．一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成．甲、乙两人合做3天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成．那么，乙还需要几天才能完成全部工程？ 【答案】乙还需要5天才能完成全部工程 【分析】 【详解】解：设乙还需要x天完成全部工程，工作总量为单位1， 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意，得方程：， 解得． 答：乙还需要5天才能完成全部工程． 变式7-1．一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将这项工程看作是“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意可列方程为． 故选：． 变式7-2．一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做2天后，甲因事离去，乙加入丙一起工作，问还需几天完成？ 【答案】还需天完成． 【分析】 【详解】解：设还需要天完成， 甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为， 根据题意，得， ， ， ， 解得． 答：还需天完成． 变式7-3．在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【答案】(1)甲、乙两车队共同合作了3天 (2)乙车队每天的租金是500元 【分析】 【详解】（1）解：设甲、乙两车队共同合作了天， 由题意可得：， 解得：． 答：甲、乙两车队共同合作了3天． （2）解：设乙车队每天的租金是元，则甲车队每天的租金是元，由题意可得： ， 解得：． 答：乙车队每天的租金是500元． 【题型八】一元一次方程应用——行程问题 例8．周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两人相遇时，x为1 (3)当甲、乙两人相距时，x的值为或 【分析】 【详解】（1）解：根据题意， 甲骑行的时间为，乙骑行的时间为， 甲的平均速度是，乙的平均速度是， 甲骑行的路程为，乙骑行的路程为， 答：，． （2）设：根据题意， 当两人相遇时，甲、乙路程之和为， ， 解得， 当两人相遇时，骑行时间为1h． 答：当甲、乙两人相遇时，为1． （3）解：两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口， ∴甲与相遇点的距离为， 乙与相遇点的距离为， ①当乙未追上甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得； ②当乙超过甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得． 综上所述，x的值为或． 答：当甲、乙两人相距时，x的值为或． 变式8-1．小明计划骑车以每小时10千米的速度由地到地，这样便可在规定时间到达地，但他因事将原计划的出发时间推迟了10分钟，便只好以每小时12千米的速度前进，结果比规定时间早5分钟到达地，设、两地距离千米，则下列方程正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设、两地距离千米， 由题意，得； 故选：． 变式8-2．甲、乙两车从相距78千米的两地同时相向出发，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度比甲车每小时慢20千米，甲在中途爆胎，原地停留了0.2小时修车，乙车速度不变．问两车发车多久后相遇？ 【答案】0.9小时 【详解】解：设两车发车小时后相遇， 则 解得， 答：两车发车小时后相遇． 变式8-3．两地相距，一列快车以的速度从地匀速驶往地，到达地后立刻原路原速返回地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截至到它们都到达终点时： (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设经过两车第一次相遇， 由题意得，， 解得， 答：经过两车第一次相遇； （2）解：设经过两车第二次相遇， 第二次相遇时，快车已从A地到达B地后折返，而慢车仍在从B地驶往A地的途中， 此时，快车行驶的总路程比慢车行驶的总路程多一个全程的距离，即快车路程慢车路程， 由题意得，， 解得， 答：经过两车第二次相遇． 【题型九】一元一次方程应用——比赛积分 例9．12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分 小王 20 0 100 小李 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得___________分，答错一题或不答得___________分； (2)若参赛学生小刘得了65分，他答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)15 【分析】 【详解】（1）解：分， ∴答对一题得5分； 分， ∴答错一题或不答得分； （2）解：设他答对了x道题，则答错或不答道题， 由题意得，， 解得， 答：他答对了15道题． 变式9-1．一份试卷共30题，做对一题得5分，做错一题扣2分，小明全部做完后得108分，他做对的题数是（ ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【详解】解：设做对题数为x，则做错题数为， 根据题意，得， 解得， 则他做对的题数是． 故选：B． 变式9-2．（湖北省武汉市七一中学教学联合体2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题）某校在七年级11个班中开展篮球单循环比赛，比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场扣1分．若某班在全部比赛中得了14分，那么该班胜了 场． 【答案】 6 【详解】解：设该班胜了x场，则负了场，由题意得 ， 解得． 故答案为：． 变式9-3．受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 【答案】(1)3，1，0 (2)钢铁队胜7场 【分析】 【详解】（1）解：∵蓝天队胜了6场，积分为18分， ∴胜1场的积分为分 ∵光明队胜5场，平1场，积分为16分， ∴平1场的积分为分， ∵雄鹰队胜3场，平2场，负1场，积分为11分， ∴负1场的积分为分. 故答案为：3，1，0. （2）解：设钢铁队胜场，则平了场． 由（1）知，胜1场积分为3分，平1场积分为1分，负1场积分为0分， ∴，解得． 答：钢铁队胜7场． 【题型十】一元一次方程应用——经济问题 例10．某超市有A品牌牛奶大瓶和小瓶两种型号，大瓶牛奶15元一瓶，小瓶牛奶每瓶10元 (1)小明去超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了92元． ①小明妈妈说：“按原价购买，不可能是92元！”请说明小明妈妈这样说的理由． ②小明看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打8折限购1瓶”的大瓶牛奶，请问小明购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶？ (2)过了几天，小亮去超市，发现原价每瓶15元的B品牌牛奶“买二送一”促销，小亮按原价购买A品牌大、小牛奶若干瓶，同时购买B品牌促销套装若干套，一共花费210元．其中A品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶数（包括促销套装中赠送的牛奶）的，求小亮A品牌大瓶牛奶买了多少瓶？ 【答案】(1)①见解析；②大瓶牛奶3瓶，小瓶牛奶5瓶 (2)6瓶 【分析】 【详解】（1）解：①设购买小瓶牛奶为x瓶，则购买大瓶牛奶为瓶． 则可列方程：， 解得 这与实际x为正整数不符， 所以按原价购买，不可能是92元． ②根据题意可列方程：， 解得， 故购买小瓶牛奶5瓶，大瓶牛奶瓶． （2）解：由题意：B品牌牛奶的价格相当于（元/瓶） 设购买A品牌大瓶牛奶为m瓶，则购买其它牛奶为瓶． 由小瓶牛奶的价格为10（元/瓶）与B品牌牛奶的价格相同即可列出方程：， 解得：． 答：购买A品牌大瓶牛奶6瓶． 变式10-1．一商店在某一时间以每件m元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，若卖出这两件衣服商店共亏损10元，则m的值为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】C 【分析】 【详解】解：设盈利的衣服的进价为元，亏损的衣服的进价为元， ∴盈利的情况是：，亏损的情况是：， ∴，， ∵卖出两件衣服商店共亏损了元， ∴， 解得． 故选：C． 变式10-2．某合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元种水果收购单价为15元． (1)A，B两种水果各购进多少千克？ (2)若种水果全部售出，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 【答案】(1)种水果购进，种水果购进 (2)A种水果的销售单价为12元 【分析】 【详解】（1）解：设种水果购进，则种水果购进． 根据题意，得， 解得，． 故种水果购进，种水果购进． （2）解：设种水果的销售单价为元． 根据题意，得， 解得． 故种水果的销售单价为元． 变式10-3．一家商店因换季将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的4折出售将亏本30元，而按标价的7折出售将赚60元．求每件服装的标价是多少元？ 【答案】每件服装的标价是300元 【详解】解：设每件服装的标价是x元， 根据题意得： 解得： 答：每件服装的标价是300元. 【题型十一】一元一次方程应用——方案问题 例11．在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升．体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求．篮球、排球的进价和售价如下表所示． 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 (1)体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ (2)某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球． 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的．求学校准备购买篮球和排球各多少个． 【答案】(1)购进50个篮球，120个排球 (2)购买12个篮球，10个排球 【分析】 【详解】（1）解：设体育用品商店购进x个篮球，则购进个排球， 根据题意，得， 解得， ， 答：体育用品商店购进50个篮球，120个排球； （2）解：设学校准备购买m个篮球，则购买个排球， 根据题意，得， 解得， ， 符合题意， 答：学校准备购买12个篮球，10个排球． 变式11-1．随着时代的来临，小李换了新发布的手机并且需要新办一种套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费元/；第二种是没有月租费，但流量资费元/．设小李每月使用流量． (1)小李按第一种套餐每月需花费___________元，按第二种套餐每月需花费___________元；（用含的式子表示） (2)小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 【答案】(1)， (2)小李每月使用流量时，两种套餐花费一样多． 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，按第一种套餐， 小李每月流量费用为元， 月租费50元， 每月需花费：元； 按第二种套餐， 每月需花费：元． 答：，． （2）解：由题意可得，若两种套餐花费一样多， 则， 解得． 答：小李每月使用流量时，两种套餐花费一样多． 变式11-2．爱读书是一种美德，快乐读书吧为促进孩子们阅读，特推出两种付费借阅方式每借阅一本为一次方式一：先购买会员证，每张会员证50元，只限本人当年使用，凭证借阅每次再付费1元；方式二：不购买会员证，每次借阅付费3元．设小明一年内借阅x次为正整数 (1)根据题意填空，表中： ， ； 借阅次数 10 20 … x 方式一的总费用元 60 70 … m 方式二的总费用元 30 60 … n (2)通过计算说明当和时，分别应选择哪种付费方式更合算？ (3)若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，请说明他选择哪种付费方式借阅次数比较多？ 【答案】(1)，3x (2)当时，方式二更合算；当时，方式一更合算 (3)选择方式一借阅次数比较多 【分析】 【详解】（1）由表格数据可知（费用单位为：元）： 借阅10次，方式一的总费用为，方式二的总费用为； 借阅20次，方式一的总费用为，方式二的总费用为； 故借阅次，方式一的总费用为, 方式二的总费用为. 故答案为：； （2）当时， 方式一：（元）, 方式二：（元）, 因为, 所以方式二更合算； 当时， 方式一：（元）, 方式二：（元）, 因为, 所以方式一更合算； （3）若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100 元， 则 方式一：, 解得， 方式二：， 解得 因为为正整数， 所以取, 因为, 所以若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，选择方式一借阅次数比较多． 变式11-3．英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【答案】(1)学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元 (2)方案一，二所需要的租金分别是元元，选择方案二更省钱 【分析】 【详解】（1）解：设学校租用25座大巴车每辆每天的租金是元， 则学校租用45座大巴车每辆每天的租金是元， 根据题意得， 解得， ∴（元）． 答：学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； （2）解：由（1）得学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； 依题意，设全部租用45座的大巴车需要租用辆， 则全部租用25座的大巴车需要租用辆， 根据题意得， 解得， ∴（元）； （元）． 方案一，二所需要的租金分别是元元， ∵， ∴选择方案二更省钱． 【题型十二】一元一次方程应用——数字问题 例12．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现以为例进行讨论：设，由得，于是，解得．于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 【答案】 【详解】解：设，则， 于是， 即， 解得：． 故答案为：． 变式12-1．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论正确的是（    ）． A．的值为6 B．为偶数 C．乘积结果可以表示为 D．的值不大于5 【答案】B 【详解】解：设的十位数字为，个位数字为，将相应的计算结果填入图中， 根据题意得，，， ，，， 故A选项错误，不符合题意； ， ， 故B选项正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 乘积结果可以表示为， 故C选项错误，不符合题意； 故选：B． 变式12-2．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9，则原来的两位数为 ． 【答案】54 【详解】解：设十位数字为，则个位数字为；由题意得： ， 解得：， ∴个位数字为，故原数为54； 故答案为54． 变式12-3．观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 【答案】(1) ，，255 (2)512，，2048 (3)8 【分析】 【详解】（1）解：第一行第n个数为，第8个数为； 第二行第n个数为第一行第n个数加2，第8个数为； 第三行第n个数为，第8个数为． 故答案为：，，255． （2）设第一行第n个数为，则相邻三个数之和为． 令， 解得． ∵且， ∴． 这三个数分别为： 第9个数， 第10个数， 第11个数． （3）设第一行第n个数为， 第二行第n个数为， 第三行第n个数为． 当n为奇数时，，，，最大数，最小数． 则， 解得，无整数解． 当n为偶数时，，最大数，最小数． 则， 解得，， ∴． 【题型十三】一元一次方程应用——日历问题 例13．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 【答案】D 【详解】解：设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、， 所以这五个数的和为， A．若，解得，此时左上数字为空，不符合题意； B．若，解得，不符合题意； C．若，解得，不符合题意； D．若，解得，符合题意； 故选：D． 变式13-1．如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字形中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字形后所得五个数之和为115，那么该“十”字形中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【详解】解：设该“十”字形中正中间的号数为x，则另外四个号数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， ∴该“十”字形中正中间的号数为23． 故选：D． 变式13-2．如图是某月的日历图，用“”型框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 【答案】C 【详解】解：设中间的数字为，则其余6个数字分别为， ∴这7个数的和为， A、当时，，存在“”型，不符合题意； B、当时，，存在“”型，不符合题意； C、当时，，不存在“”型，符合题意； D、当时，，存在“”型，不符合题意； 故选C． 变式13-3．如图是年月份的日历，如图中那样，用一个圈竖着圈住个数，如果被圈住的三个数的和为，则这三个数中最小一个所表示的日期为年月 日． 【答案】 【详解】解：设被圈出的三个数的和为的个数中最小的一个数为，则另外两个数依次为，， 根据题意列一元一次方程得： ， 整理得， 解得， 则这三个数为，，， 这三个数中最小一个所表示的日期为年月日． 故答案为：． 【题型十四】一元一次方程应用——古代问题 例14．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 变式14-1．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（    ） 甲：设竿子长为尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 【答案】D 【详解】解：设竿子长为尺，则绳索长为尺，对折后绳索长为尺， 根据对折后比竿子短尺， 可得：， 故甲正确； 设绳索长为尺，则竿子长为尺，对折后绳索长为尺， 根据对折后比竿子短尺， 可得：， 故乙正确. 甲、乙都对． 故选：D． 变式14-2．李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗：“李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花①，喝光壶中酒．试问壶中原有酒几斗？”（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）来描述李白饮酒作诗的豪放情景，则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【详解】解：设壶中原有酒斗，则 第一次遇店后酒为斗， 第一次见花后酒为斗， 第二次遇店后酒为斗， 第二次见花后酒为斗， 第三次遇店后酒为斗， 第三次见花后酒为斗， 所以， 解得：， 故壶中原有酒斗， 故选：B． 变式14-3．列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【答案】有7人 【详解】解：设有人，根据题意得： ， 解得：． 答：人数是7人． 【题型十五】一元一次方程应用——水费和电费问题 例15．某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费： 若每月用水不超过8吨，则按每吨1.5元收费； 若每月用水超过8吨不超过20吨，则超过8吨的部分按每吨元收费； 若每月用水超过20吨，则超过20吨的部分按每吨4元收费． 某户居民今年5月用水14吨，缴纳了30元水费． (1)求的值； (2)若某月某户居民用水15吨，则应缴水费______元；若某月某户缴纳水费60元，则当月用水______吨； (3)小明家7、8两个月一共用水30吨，两次一共缴纳水费67元，其中7月份用水量多于8月份，试求8月份小明家用水多少吨？ 【答案】(1) (2)33，23 (3)9吨 【分析】 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）（元）； 用水20吨需交费用为， ，（吨）； 故答案为：33，23； （3）设月份用水吨，则月用水吨， ∵7月份用水量多于8月份，则， 当时，月份用水超过吨，由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，月份用水超过吨，由题意，得， 解得； 当，，由题意，得，此方程无解； 综上：月份用水吨． 变式15-1．为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 【答案】(1)150 (2)180度，108元 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可得：经验算：若，则， ∴，即有超过的部分， ∴， 解得：； （2）解：设6月份共用电x度， 则， 解得：， （元）， 即月份共用电180度，应交电费108元． 变式15-2．为了鼓励居民合理用电，某市推行峰谷分时计费．在户年用电量不超过的情况下，选择峰谷分时计费的用户，峰段用电的单价为元/，谷段（次日）用电的单价为元/；不选择峰谷分时计费的用户，用电的单价为元/．已知某户一年用电量为． (1)假设该户这一年峰段用电量为，选择哪种计费方式电费较少？ (2)假设该户这一年峰段用电量为，选择哪种计费方式电费较少？ (3)一年中峰段用电量为多少时，两种计费方式的电费相同？ 【答案】(1)选择峰谷分时计费电费较少 (2)不选择峰谷分时计费电费较少 (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，一年用电量为，峰段用电量为， 则谷段用电量为， 选择峰谷分时计费为：（元）； 不选择峰谷分时计费为：（元）， 而， 故选择峰谷分时计费较少． （2）解：一年用电量为，峰段用电量为， 则谷段用电量为， 选择峰谷分时计费为：（元）； 不选择峰谷分时计费为：（元）， 而， 故不选择峰谷分时计费较少． （3）解：根据题意，一年用电量为，设峰段用电量为， 则谷段用电量为， 根据题意，得， 解得， 答：一年中峰段用电量为时，两种计费方式的电费相同． 变式15-3．某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 【答案】(1)见解析 (2)甲公司的收费是：元；乙公司的收费是：元 (3)18 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，当时，甲公司收费9元； 当，甲公司收费元； 当时，乙公司收费元； 当时，乙公司收费元； 填表如下： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 9 17 … 乙公司收费（元） 20 20 20 20 … （2）解：由题意得，甲公司的收费为元， 乙公司的收费为元； （3）解：由题意得，， 解得， ∴当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同， 故答案为：18． 【题型一】等式的性质不够熟练 注意：①方程两边需同乘最简公分母，不含分母的项也要乘；②移项时含未知数的项或常数项需变号，不移项的项符号不变；③乘法分配律要分配到每一项，括号前是负号时括号内各项变号 十六、未命名题型 例1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得, 合并同类项，得． 变式1．解下列一元一次方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 变式2．已知关于的方程，请回答下列问题． (1)k的值不可能是_______； (2)若该方程与方程的解相等，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ∴， 则 则， 根据方程的定义可知，，即， 故答案为：． （2）解方程，得， 将代入方程得到， 解得． 【题型二】实际应用单位不统一 注意：列方程前需统一所有量的单位，避免因单位差异导致错误 例2．位于安徽省西北部的亳州，有“中华药都”之称，是全国闻名的中药材种植基地，已经形成全国最大的中药饮片产业集群．亳州某中药有限公司以每吨2000元的价格收购了30吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是3000元，该公司也可以加工后再出售，相关信息如下表所示．受各种因素影响，该公司加工这批药材的时间只有一星期． 工艺 每天可加工药材的吨数 成品率 成品售价/（元/吨） 粗加工 6 5000 精加工 3 8000 （注：①每天只能进行粗加工或精加工；②成品率指加工1吨原料能得到吨可销售药材；③加工后的废品不产生效益） (1)若全部粗加工，则该公司可获利_____万元． (2)若尽可能多的精加工，剩余的直接在市场上销售，求该公司可获利的金额． (3)若将这30吨药材全部用于部分粗加工和部分精加工，且恰好用时一星期完成，求该公司可获利的金额． 【答案】(1)6 (2)该公司可获利的金额为67800元． (3)该公司可获利的金额为69600元． 【分析】 【详解】（1）解：全部粗加工共可售得 （元）， 成本为 （元）， 获利为 （元），即6万元． 故答案为：6． （2）解：7天共可精加工（吨），销售可得（元）， 所以获利为（元）． 答：该公司可获利的金额为67800元． （3）解：设精加工天，则粗加工天． 由题意得， 解得：，则． 所以销售可得（元）， 所以获利为（元）． 答：该公司可获利的金额为69600元． 变式1．小张开了一家皮鞋店，为尽快出售，小张决定将皮鞋打折销售．若每双皮鞋按标价的4折出售将亏40元，而按标价的8折出售将赚40元． (1)请你算一算每双皮鞋的标价和进价各是多少元？ (2)该皮鞋改款后，小张又以同样的进价进货500件，若标价不变，按标价销售了300件后，剩下的进行大甩卖，为了尽快减少库存，又要保证盈利2万元，请你告诉小张最低能打几折？ 【答案】(1)每双皮鞋的标价为200元，进价为120元 (2)小张最低能打5折 【分析】 【详解】（1）解：设每双皮鞋的标价为元，则每双皮鞋的进价为元， 由题意得，， 解得：， 则， 答：每双皮鞋的标价为200元，进价为120元． （2）解：设小张最低能打折， 由题意得，， 解得：， 答：小张最低能打5折． 变式2．列方程解决问题 缤纷节期间，为了给“爱心易物”准备物资，涵涵需要去附近的市场购买30支笔和20个本子． (1)在去市场的路上，涵涵以的速度走了10分钟后发现忘记带推车，于是给爸爸打电话，爸爸接到电话后立即按同样的路线以比涵涵快一半的速度去送推车（接电话的时间忽略不计）．同时，涵涵掉头去取，速度保持不变．请问爸爸出发多少分钟后能把推车送给涵涵？ (2)到达市场后，涵涵发现一种单价为4元的笔和一种单价为10元的本子，在紧挨着的两家超市A，B都有售卖．其中，在A超市购买，不超过120元的部分原价支付，超过120元的部分可以打折；在B超市购买一个本子赠送一支笔．最后经过计算，涵涵发现不管在哪个超市购买，花的钱都一样多，求的值． 【答案】(1)爸爸出发4分钟后能把推车送给涵涵； (2)的值为6 【分析】 【详解】（1）解：设爸爸出发分钟后能把推车送给涵涵， 根据题意得：， 解得：． 答：爸爸出发4分钟后能把推车送给涵涵； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：的值为6． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程（4知识&15题型&2易错） 【清单01】一元一次方程的概念 1．定义：只含有未知数（元），且未知数的次数都是的整式方程。 2．标准形式：（其中是未知数，、是已知数，且）。 3．方程的解：使方程等号相等的的值。 4．含参一元一次方程： 次数含参：需满足未知数次数为，且一次项系数； 解已知：将解代入方程，可求出参数的值。 【清单02】等式的性质 1．性质1：等式两边加（或减），结果仍相等； 若，则。 2．性质2：等式两边乘，或除以的数，结果仍相等； 若，则；若（），则。 【清单03】解一元一次方程的步骤 1．去分母：方程两边同乘所有分母的（注意不含分母的项也要乘）。 2．去括号： 顺序：先，再，最后； 法则：运用乘法分配律，分配到，括号前是负号时，括号内各项要。 3．移项： 定义：把含未知数的项移到方程，不含未知数的项移到； 关键：移项要（不移项的项符号不变），通常未知数项移到，常数项移到。 4．合并同类项：将同类项合并，化为（）的形式，合并时，字母及指数不变。 5．系数化为1：方程两边同除以未知数的，得，注意分子、分母不能颠倒。 【清单04】一元一次方程的实际应用 1．一般步骤（六步）：。 审：读懂题意，找出； 设：设未知数（直接设或）； 列：根据等量关系列方程（单位要）； 验：检验解是否符合（不符合需舍去）； 答：写出答案，注明。 2．常见题型及核心公式： ①行程问题：； ②工程问题：，等量关系：先做的工作量+后做的工作量=； ③利润问题：，售价=定价×折扣（若有折扣）。 【题型一】根据一元一次方程的定义求参数 例1．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 变式1-1．若方程是关于的一元一次方程，则代数式的值为（   ） A． B． C．或 D． 变式1-2．若是一元一次方程，则m的值为 ． 变式1-3．关于的一元一次方程的解为，则的值为 【题型二】方程的解 例2．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 变式2-1．若是关于x的一元一次方程的解，则m的值是（    ） A． B． C．2 D． 变式2-2．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 7 5 3 1 变式2-3．已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是 ． 【题型三】等式的性质 例3．下列运用等式的性质，变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式3-1．如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 变式3-2．下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 变式3-3．若x，y，z为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型四】解一元一次方程 例4．若一个等式“”，其右边一部分被墨水污染． (1)若“”表示一个不能再化简的多项式，求“”； (2)若“”表示3，求这个方程的解． 变式4-1．解方程： (1)； (2)． 变式4-2．若的值与的值互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于x的方程与方程是“致真方程”，求m的值； (2)若关于x的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【题型五】一元一次方程的错解问题 例5．下列是小明和小华同学关于一元一次方程的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请你从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． 小明同学： 解方程．解：．·······第①步 ·······第②步 ·······第③步 ·······第④步 ·······第⑤步 ·······第⑥步 小华同学： 解方程．解：·······第①步 ·······第②步 ·······第③步 ·······第④步 ·······第⑤步 ·······第⑥步 (1)选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）； (2)该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______； (3)请写出正确的解答过程． 变式5-1．某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 变式5-2．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 变式5-3．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即 【A】 去分母，得    【B】 去括号，得   【C】 移项，得 【D】 合并同类项，得 【E】 系数化为1，得 【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【题型六】根据一元一次方程的关系解方程问题 例6．已知关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数．求m的值． 变式6-1．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（      ） A． B． C． D． 变式6-2．如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 变式6-3．方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 【题型七】一元一次方程应用——工程问题 例7．一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成．甲、乙两人合做3天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成．那么，乙还需要几天才能完成全部工程？ 变式7-1．一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 变式7-2．一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做2天后，甲因事离去，乙加入丙一起工作，问还需几天完成？ 变式7-3．在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【题型八】一元一次方程应用——行程问题 例8．周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 变式8-1．小明计划骑车以每小时10千米的速度由地到地，这样便可在规定时间到达地，但他因事将原计划的出发时间推迟了10分钟，便只好以每小时12千米的速度前进，结果比规定时间早5分钟到达地，设、两地距离千米，则下列方程正确的是（ ）． A． B． C． D． 变式8-2．甲、乙两车从相距78千米的两地同时相向出发，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度比甲车每小时慢20千米，甲在中途爆胎，原地停留了0.2小时修车，乙车速度不变．问两车发车多久后相遇？ 变式8-3．两地相距，一列快车以的速度从地匀速驶往地，到达地后立刻原路原速返回地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截至到它们都到达终点时： (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ 【题型九】一元一次方程应用——比赛积分 例9．12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分 小王 20 0 100 小李 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得___________分，答错一题或不答得___________分； (2)若参赛学生小刘得了65分，他答对了几道题？ 变式9-1．一份试卷共30题，做对一题得5分，做错一题扣2分，小明全部做完后得108分，他做对的题数是（ ） A．22 B．24 C．26 D．28 变式9-2．某校在七年级11个班中开展篮球单循环比赛，比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场扣1分．若某班在全部比赛中得了14分，那么该班胜了 场． 变式9-3．受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 【题型十】一元一次方程应用——经济问题 例10．某超市有A品牌牛奶大瓶和小瓶两种型号，大瓶牛奶15元一瓶，小瓶牛奶每瓶10元 (1)小明去超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了92元． ①小明妈妈说：“按原价购买，不可能是92元！”请说明小明妈妈这样说的理由． ②小明看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打8折限购1瓶”的大瓶牛奶，请问小明购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶？ (2)过了几天，小亮去超市，发现原价每瓶15元的B品牌牛奶“买二送一”促销，小亮按原价购买A品牌大、小牛奶若干瓶，同时购买B品牌促销套装若干套，一共花费210元．其中A品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶数（包括促销套装中赠送的牛奶）的，求小亮A品牌大瓶牛奶买了多少瓶？ 变式10-1．一商店在某一时间以每件m元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，若卖出这两件衣服商店共亏损10元，则m的值为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 变式10-2．某合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元种水果收购单价为15元． (1)A，B两种水果各购进多少千克？ (2)若种水果全部售出，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 变式10-3．一家商店因换季将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的4折出售将亏本30元，而按标价的7折出售将赚60元．求每件服装的标价是多少元？ 【题型十一】一元一次方程应用——方案问题 例11．在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升．体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求．篮球、排球的进价和售价如下表所示． 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 (1)体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ (2)某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球． 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的．求学校准备购买篮球和排球各多少个． 变式11-1．随着时代的来临，小李换了新发布的手机并且需要新办一种套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费元/；第二种是没有月租费，但流量资费元/．设小李每月使用流量． (1)小李按第一种套餐每月需花费___________元，按第二种套餐每月需花费___________元；（用含的式子表示） (2)小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 变式11-2．爱读书是一种美德，快乐读书吧为促进孩子们阅读，特推出两种付费借阅方式每借阅一本为一次方式一：先购买会员证，每张会员证50元，只限本人当年使用，凭证借阅每次再付费1元；方式二：不购买会员证，每次借阅付费3元．设小明一年内借阅x次为正整数 (1)根据题意填空，表中： ， ； 借阅次数 10 20 … x 方式一的总费用元 60 70 … m 方式二的总费用元 30 60 … n (2)通过计算说明当和时，分别应选择哪种付费方式更合算？ (3)若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，请说明他选择哪种付费方式借阅次数比较多？ 变式11-3．英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【题型十二】一元一次方程应用——数字问题 例12．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现以为例进行讨论：设，由得，于是，解得．于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 变式12-1．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论正确的是（    ）． A．的值为6 B．为偶数 C．乘积结果可以表示为 D．的值不大于5 变式12-2．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9，则原来的两位数为 ． 变式12-3．观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 【题型十三】一元一次方程应用——日历问题 例13．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 变式13-1．如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字形中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字形后所得五个数之和为115，那么该“十”字形中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 变式13-2．如图是某月的日历图，用“”型框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 变式13-3．如图是年月份的日历，如图中那样，用一个圈竖着圈住个数，如果被圈住的三个数的和为，则这三个数中最小一个所表示的日期为年月 日． 【题型十四】一元一次方程应用——古代问题 例14．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ） A． B． C． D． 变式14-1．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（    ） 甲：设竿子长为尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 变式14-2．李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗：“李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花①，喝光壶中酒．试问壶中原有酒几斗？”（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）来描述李白饮酒作诗的豪放情景，则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 变式14-3．列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【题型十五】一元一次方程应用——水费和电费问题 例15．某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费： 若每月用水不超过8吨，则按每吨1.5元收费； 若每月用水超过8吨不超过20吨，则超过8吨的部分按每吨元收费； 若每月用水超过20吨，则超过20吨的部分按每吨4元收费． 某户居民今年5月用水14吨，缴纳了30元水费． (1)求的值； (2)若某月某户居民用水15吨，则应缴水费______元；若某月某户缴纳水费60元，则当月用水______吨； (3)小明家7、8两个月一共用水30吨，两次一共缴纳水费67元，其中7月份用水量多于8月份，试求8月份小明家用水多少吨？ 变式15-1．为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 变式15-2．为了鼓励居民合理用电，某市推行峰谷分时计费．在户年用电量不超过的情况下，选择峰谷分时计费的用户，峰段用电的单价为元/，谷段（次日）用电的单价为元/；不选择峰谷分时计费的用户，用电的单价为元/．已知某户一年用电量为． (1)假设该户这一年峰段用电量为，选择哪种计费方式电费较少？ (2)假设该户这一年峰段用电量为，选择哪种计费方式电费较少？ (3)一年中峰段用电量为多少时，两种计费方式的电费相同？ 变式15-3．某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 【题型一】等式的性质不够熟练 注意：①方程两边需同乘最简公分母，不含分母的项也要乘；②移项时含未知数的项或常数项需变号，不移项的项符号不变；③乘法分配律要分配到每一项，括号前是负号时括号内各项变号 例1．解方程： (1)； (2)． 变式1．解下列一元一次方程： (1)； (2) 变式2．已知关于的方程，请回答下列问题． (1)k的值不可能是_______； (2)若该方程与方程的解相等，求k的值． 【题型二】实际应用单位不统一 注意：列方程前需统一所有量的单位，避免因单位差异导致错误 例2．位于安徽省西北部的亳州，有“中华药都”之称，是全国闻名的中药材种植基地，已经形成全国最大的中药饮片产业集群．亳州某中药有限公司以每吨2000元的价格收购了30吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是3000元，该公司也可以加工后再出售，相关信息如下表所示．受各种因素影响，该公司加工这批药材的时间只有一星期． 工艺 每天可加工药材的吨数 成品率 成品售价/（元/吨） 粗加工 6 5000 精加工 3 8000 （注：①每天只能进行粗加工或精加工；②成品率指加工1吨原料能得到吨可销售药材；③加工后的废品不产生效益） (1)若全部粗加工，则该公司可获利_____万元． (2)若尽可能多的精加工，剩余的直接在市场上销售，求该公司可获利的金额． (3)若将这30吨药材全部用于部分粗加工和部分精加工，且恰好用时一星期完成，求该公司可获利的金额． 变式1．小张开了一家皮鞋店，为尽快出售，小张决定将皮鞋打折销售．若每双皮鞋按标价的4折出售将亏40元，而按标价的8折出售将赚40元． (1)请你算一算每双皮鞋的标价和进价各是多少元？ (2)该皮鞋改款后，小张又以同样的进价进货500件，若标价不变，按标价销售了300件后，剩下的进行大甩卖，为了尽快减少库存，又要保证盈利2万元，请你告诉小张最低能打几折？ 变式2．列方程解决问题 缤纷节期间，为了给“爱心易物”准备物资，涵涵需要去附近的市场购买30支笔和20个本子． (1)在去市场的路上，涵涵以的速度走了10分钟后发现忘记带推车，于是给爸爸打电话，爸爸接到电话后立即按同样的路线以比涵涵快一半的速度去送推车（接电话的时间忽略不计）．同时，涵涵掉头去取，速度保持不变．请问爸爸出发多少分钟后能把推车送给涵涵？ (2)到达市场后，涵涵发现一种单价为4元的笔和一种单价为10元的本子，在紧挨着的两家超市A，B都有售卖．其中，在A超市购买，不超过120元的部分原价支付，超过120元的部分可以打折；在B超市购买一个本子赠送一支笔．最后经过计算，涵涵发现不管在哪个超市购买，花的钱都一样多，求的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $