专题02 一元一次方程（考点清单，4考点11题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版2024）

专题02 一元一次方程 （4个考点梳理+11种题型解读+提升训练） 清单01 一元一次方程的相关概念 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 清单02 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 清单03 解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【补充说明】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 清单04 一元一次方程的实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 【考点题型一】一元一次方程的定义（） 1．（23-24六年级上·山东青岛·期末）下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级上·山东威海·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23六年级上·山东东营·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一元一次方程的有(   ) A．①③⑤ B．①③⑥ C．①③ D．⑤⑥ 4．（20-21六年级下·山东东营·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点题型二】根据一元一次方程的定义求参数的值（） 5．（20-21七年级下·重庆渝中·开学考试）若是关于的一元一次方程，那么的值为（      ） A．1 B．9 C．1或9 D．0 6．（23-24六年级上·山东东营·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值为 ． 7．（23-24六年级上·山东威海·期末）已知是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若方程的解为，求此时的值． 【考点题型三】已知方程的解，求参数（） 8．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）已知是关于的方程的解，则代数式的值为（　　） A． B．1 C． D．9 9．（23-24六年级上·山东淄博·期末）关于的方程，已知该方程的解为，那么的值是（   ） A． B．3 C．6 D．8 10．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知是方程的解，那么代数式的值是 ． 【考点题型四】利用等式的性质判断式子变形正误（） 11．（24-25六年级上·山东泰安·期末）根据等式的性质，若，经过变换后下列各式错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（23-24六年级上·山东泰安·期末）有下列结论：其中正确结论的个数是（    ） ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，，那么； ④如果，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（23-24七年级上·山东烟台·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【考点题型五】利用等式的性质判断关系式（） 14．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（    ） A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■ 15．（23-24六年级上·山东威海·期末）有一堆实心的几何体：圆锥、正方体和球，已知相同的几何体具有相同的质量，某同学借助天平探究三种几何体之间的质量关系时，画出了如下四幅图，图中用“△”“□”和“○”分别表示圆锥、正方体和球，其中有一幅图画错了，它是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】利用等式的性质解方程（） 17．（23-24六年级上·山东滨州·期末）解方程 (1) (2) (3) 18．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程； (1) (2) 19．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 【考点题型七】利用合并同类项与移项解一元一次方程（） 20．（23-24六年级上·山东淄博·期末）如果代数式与的值互为相反数，则的值为 ． 21．（23-24六年级上·山东烟台·期末）若，则的值是 ． 22．（23-24六年级上·山东烟台·期末）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【考点题型八】利用去括号解一元一次方程（） 23．（23-24六年级上·山东泰安·期末）如果的值与的值相等，那么x的值为（    ） A．9 B． C．3 D． 24．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．2 25．（23-24六年级上·山东威海·期末）设，，且，则的值是 ． 26．（21-22六年级下·山东济南·期末）一个角的补角加上30°以后，等于这个角的余角的5倍，则这个角的度数是 ． 【考点题型九】利用去分母解一元一次方程（） 27．（22-23六年级上·山东泰安·期末）把方程中分母化整数，其结果应为（     ） A． B． C． D． 28．（22-23六年级上·山东淄博·期末）若与互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C． D． 29．（22-23六年级上·山东泰安·期末）若方程与的解相同，则a的值为 ． 30．（23-24六年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2) 【考点题型十】列方程（） 31．（24-25六年级上·山东济南·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设有x人共同买物，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（22-23六年级上·山东烟台·期末）要锻造一个直径、高为的圆柱形毛坯， 应截取直径为的圆钢多长？若设应截取直径为的圆钢，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 33．（22-23六年级上·山东烟台·期末）某个工厂有12名技术工人，平均每人每天可加工甲种零件24个或乙种零件15个，2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套．设安排名技术工人生产甲种零件，为使每天生产的甲乙零件刚好配套，则列出下列方程：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 34．（21-22六年级上·山东烟台·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】一元一次方程与实际问题（） 35．（24-25六年级上·山东泰安·期末）一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子： (1)观察表中数据规律，求的值； 餐桌张数 1 2 3 4 5 ．．． 可坐人数 6 8 10 ．．． c (2)一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐160人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？ (3)若酒店有242人来就餐，还有更好的拼成一张大桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时拼桌方式的示意图；如果没有，请说明理由． 36．（24-25六年级上·山东德州·期末）腾飞小学举办“科技小发明”作品大赛，六年级上交作品180件．比五年级上交的作品件数多，五年级上交多少件作品？（列方程解答） 37．（23-24六年级上·山东东营·期末）A，B两地相距，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发沿同一条公路相向行驶相遇后，甲车继续以原速行驶到达B地，乙车立即以原速原路返回B地． (1)甲车的速度为__________；乙车的速度为__________km/h； (2)甲车到达B地时，求乙车距B地的路程； (3)写出出发多长时间后两车在行驶途中相距． 38．（23-24六年级上·山东东营·期末）将连续的偶数2，4，6，8…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）． (1)十字框框中五个数之和与中间数16有什么关系？ (2)将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为用含的代数式表示十字框中五个数之和； (3)十字框中五个数之和能等于2024吗？能等于2025吗？请说明理由． 39．（22-23六年级下·山东济宁·期末）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路多少米? (2)乙工程队施工几天所修公路的长度比甲工程多120米? (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成? 40．（22-23六年级上·山东泰安·期末）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 41．（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知甲、乙两地相距、B两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为车速度为． (1)A、B两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上B车？ (2)A、B两车同时相向而行，经过几小时两车相距？ 42．（22-23六年级上·山东烟台·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次方程 （4个考点梳理+11种题型解读+提升训练） 清单01 一元一次方程的相关概念 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 清单02 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 清单03 解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【补充说明】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 清单04 一元一次方程的实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 【考点题型一】一元一次方程的定义（） 1．（23-24六年级上·山东青岛·期末）下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，理解概念，熟知一元一次方程满足的条件是解答的关键．一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、方程是一元一次方程，符合题意； B、方程，化简后得，不含有未知数，故不是一元一次方程，不符合题意； C、方程中未知数的最高次数是2次，故不是一元一次方程，不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元一次方程，不符合题意， 故选：A 2．（23-24六年级上·山东威海·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； 故选A． 3．（22-23六年级上·山东东营·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一元一次方程的有(   ) A．①③⑤ B．①③⑥ C．①③ D．⑤⑥ 【答案】C 【分析】利用一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，①③为一元一次方程， ②含有两个未知数，不是一元一次方程，④未知数的次数为2，不是一元一次方程，⑤不是整式方程，不是一元一次方程， 故选：C 【点睛】本题考查一元一次方程的区分，注意一元一次方程是指整式等式中只含有一个未知数且未知数的次数为1，理解好一元一次方程的定义是解题的关键． 4．（20-21六年级下·山东东营·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】利用一元一次方程的定义分析即可，符合定义的就是一元一次方程，反之则不是． 【详解】解：有一元一次方程的定义可知： ①，不是；②，是；③，是；④，不是；⑤，是；⑥，不是． ∴②③⑤是一元一次方程， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，关键是要掌握其定义． 【考点题型二】根据一元一次方程的定义求参数的值（） 5．（20-21七年级下·重庆渝中·开学考试）若是关于的一元一次方程，那么的值为（      ） A．1 B．9 C．1或9 D．0 【答案】B 【分析】根据已知条件得出k﹣2≠0且|k|﹣1＝1，求出k的值，再求出答案即可. 【详解】解：∵（k﹣2）x|k|﹣1﹣3＝0是关于x的一元一次方程， ∴k﹣2≠0且|k|﹣1＝1， 解得：k＝﹣2， ∴k2﹣2k+1＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+1＝9， 故选：B. 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，能求出k的值是解此题的关键． 6．（23-24六年级上·山东东营·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，根据题意得，，由此计算m的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 7．（23-24六年级上·山东威海·期末）已知是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若方程的解为，求此时的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一元一次方程的定义进行求解即可； （）先由求出方程，再把代入即可； 本题考查一元一次方程的定义和一元一次方程的解，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式，方程的解的概念及应用． 【详解】（1）解：由题意得且， ∴或且． ∴； （2）把代入方程得：， 当时，得， 解得． 【考点题型三】已知方程的解，求参数（） 8．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）已知是关于的方程的解，则代数式的值为（　　） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键．将代入，得到，即可得到答案． 【详解】解：将代入， ， ． 故选B． 9．（23-24六年级上·山东淄博·期末）关于的方程，已知该方程的解为，那么的值是（   ） A． B．3 C．6 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知是方程的解，那么代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，求代数式的值，熟练掌握方程的解是解题的关键．把解代入方程，求得m，n的关系式，再变形计算代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 【考点题型四】利用等式的性质判断式子变形正误（） 11．（24-25六年级上·山东泰安·期末）根据等式的性质，若，经过变换后下列各式错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：根据等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．可推出：若，则，故A不符合题意； 根据等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．可推出：若，则，故B不符合题意； 若，则，即；根据等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．可得C不符合题意； 若，当时，不能得到，故D符合题意； 故选：D 12．（23-24六年级上·山东泰安·期末）有下列结论：其中正确结论的个数是（    ） ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，，那么； ④如果，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质∶等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质∶等式的两边都乘以或者除以同一个数除数不为零所得结果仍是等式，利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案． 【详解】解：①根据等式性质，需加条件，不符题意； ②根据等式性质，两边都乘以，即可得到，符合题意； ③根据等式性质，的两边都加相等的式子，，即可得到，符合题意； ④根据等式性质，的两边都减即可得到，符合题意； 综上所述，②③④正确 故选∶C. 13．（23-24七年级上·山东烟台·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质．根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果，那么，故选项错误； B、如果，那么，故选项错误； C、如果，那么，故选项正确； D、如果，那么，故选项错误； 故选C． 【考点题型五】利用等式的性质判断关系式（） 14．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（    ） A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■ 【答案】D 【分析】设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， ∴， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键． ． 15．（23-24六年级上·山东威海·期末）有一堆实心的几何体：圆锥、正方体和球，已知相同的几何体具有相同的质量，某同学借助天平探究三种几何体之间的质量关系时，画出了如下四幅图，图中用“△”“□”和“○”分别表示圆锥、正方体和球，其中有一幅图画错了，它是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的应用及等式的性质，解题的关键是假设其中两个正确，用其中一个表示出另外两个判断剩余的图形．设圆锥、正方体和球的质量分别为a，b，c，假设A，B正确，由图列式即可得到答案； 【详解】解：设圆锥、正方体和球的质量分别为a，b，c，假设A，B正确，由图可得， ，， 即可得到 ，， ∴C选项正确，D选项错误， 故选D． 16．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 【考点题型六】利用等式的性质解方程（） 17．（23-24六年级上·山东滨州·期末）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用等式的性质求解一元一次方程，熟记相关结论即可． （1）等式两边先同时加上，再同时除以即可求解； （2）等式两边同时乘以即可求解； （3）等式两边同时乘以即可求解； 【详解】（1）解：， ， （2）解：， （3）解：， 18．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是根据等式的基本性质对方程进行变形求解． （1）通过等式两边同时除以未知数的系数求解； （2）先根据等式性质化简，再求解未知数． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 19．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了利用分数的运算解方程． （1）先根据乘法分配律化简方程，再把方程两边同时除以求解； （2）先计算，再把方程两边同时乘以求解； （3）先整理左面的部分，方程两边先同时除以求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【考点题型七】利用合并同类项与移项解一元一次方程（） 20．（23-24六年级上·山东淄博·期末）如果代数式与的值互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数与一元一次方程．根据相反数的定义“如果两个数互为相反数，那么它们的和为0”进行计算即可． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 21．（23-24六年级上·山东烟台·期末）若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值、解一元一次方程，熟练掌握绝对值的定义是解此题的关键； 根据绝对值的定义化为两个一元一次方程，解方程即可解答． 【详解】， 或， 解得：y不存在或 故答案为： 22．（23-24六年级上·山东烟台·期末）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将代入方程得出，得出，代入代数式，即可求解． 【详解】将代入方程 得：， 即， ∴， 故答案为：． 【考点题型八】利用去括号解一元一次方程（） 23．（23-24六年级上·山东泰安·期末）如果的值与的值相等，那么x的值为（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解法是解本题的关键．利用的值与的值相等，列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 去括号得：， 移项合并同类项得： 系数化为1得：， 故选：A． 24．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程解的定义，以及一元一次方程的解法是解答本题的关键．根据方程解的定义，把代入方程即可得出的值． 【详解】解：关于的方程的解是， ， ． 故选：C． 25．（23-24六年级上·山东威海·期末）设，，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．求解代数式的值，把，代入，解关于y的方程即可． 【详解】解：把，代入，得 ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 26．（21-22六年级下·山东济南·期末）一个角的补角加上30°以后，等于这个角的余角的5倍，则这个角的度数是 ． 【答案】60°/60度 【分析】设这个为α，则这个角的补角为180°-α，余角为90°-α，根据题意可列等式180°-α+30°=5（90°-α），求解即可得出答案． 【详解】解：设这个为α，则这个角的补角为180°-α，余角为90°-α， 根据题意可得， 180°-α+30°=5（90°-α）， 解得α=60°， 这个角的度数为60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题主要考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义进行求解是解决本题的关键． 【考点题型九】利用去分母解一元一次方程（） 27．（22-23六年级上·山东泰安·期末）把方程中分母化整数，其结果应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．方程利用分数的基本性质变形得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程整理得：． 故选：B 28．（22-23六年级上·山东淄博·期末）若与互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，再解关于a的方程即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次方程以及相反数的定义，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号． 29．（22-23六年级上·山东泰安·期末）若方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，将其代入中，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：8． 30．（23-24六年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法； （1）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【详解】（1） 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化1得： （2） 整理得： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化1得： 【考点题型十】列方程（） 31．（24-25六年级上·山东济南·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设有x人共同买物，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．设物价是x钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案． 【详解】解：设有x人共同买物，由题意得：， 故选：C． 32．（22-23六年级上·山东烟台·期末）要锻造一个直径、高为的圆柱形毛坯， 应截取直径为的圆钢多长？若设应截取直径为的圆钢，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设应截取直径为的圆钢，根据题意即可得出关于的一元一次方程即可，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应截取直径为的圆钢， 由题意得：， 故选：． 33．（22-23六年级上·山东烟台·期末）某个工厂有12名技术工人，平均每人每天可加工甲种零件24个或乙种零件15个，2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套．设安排名技术工人生产甲种零件，为使每天生产的甲乙零件刚好配套，则列出下列方程：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设安排x个技术工生产甲种零件，则安排个技术工生产乙种零件，根据2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套，即可得出关于x的一元一次方程，变形后即可得出结论． 【详解】解：设安排x个技术工生产甲种零件，则安排个技术工生产乙种零件， 依题意，得： ∴， ∴方程①②③正确． 故选：A． 34．（21-22六年级上·山东烟台·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得，． 故选：C． 【考点题型十一】一元一次方程与实际问题（） 35．（24-25六年级上·山东泰安·期末）一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子： (1)观察表中数据规律，求的值； 餐桌张数 1 2 3 4 5 ．．． 可坐人数 6 8 10 ．．． c (2)一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐160人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？ (3)若酒店有242人来就餐，还有更好的拼成一张大桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时拼桌方式的示意图；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)需78张餐桌拼成一张大餐桌 (3)最少要用60张餐桌，画图见解析 【分析】本题主要考查了图形规律、一元一次方程的应用、代数式求值等知识点，从题意观察、发现数据规律是解题的关键． （1）观察发现每多一张桌子多2人，第n个图形中增加了张桌子，则增加了人，共坐人，然后将对应数据代入求值即可； （2）用（1）中的公式计算即可； （3）如图，由（1）同理可知，n张桌子共坐人，当人数为242时，求出；然后再按（1）方案求出餐桌数量，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：观察发现每多一张桌子多2人， 第n个图形中增加了张桌子，则增加人，共坐人，即人， 所以，． （2）解：由（1）知：，解得． 答：需78张餐桌拼成一张大餐桌． （3）解：如图：由（1）同理可知， 由（1）同理可知，每多一张桌子多4人， n张桌子共增加了张桌子，则增加了人，共坐人，即n张桌子共坐人， 当酒店有242人来就餐，即，解得：， 若用（1）方式，则， 解得：． 答：最少要用60张餐桌． 36．（24-25六年级上·山东德州·期末）腾飞小学举办“科技小发明”作品大赛，六年级上交作品180件．比五年级上交的作品件数多，五年级上交多少件作品？（列方程解答） 【答案】五年级上交150件作品 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意并根据等量关系列出方程是解题的关键．设五年级上交x件作品，根据六年级作品的数量即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设五年级上交x件作品，由题意得 解得 答：五年级上交150件作品． 37．（23-24六年级上·山东东营·期末）A，B两地相距，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发沿同一条公路相向行驶相遇后，甲车继续以原速行驶到达B地，乙车立即以原速原路返回B地． (1)甲车的速度为__________；乙车的速度为__________km/h； (2)甲车到达B地时，求乙车距B地的路程； (3)写出出发多长时间后两车在行驶途中相距． 【答案】(1)80，60 (2)30千米 (3)小时或3小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据路程速度时间，先求出甲车的速度，再根据相遇时两车的路程之和为，列出方程求出乙车的速度；再根据相遇后乙行走了求出此时距离B的距离即可； （2）根据相遇后行驶甲车到B达地，求出此时乙车的路程，再根据（1）所求相遇时距离B的距离即可得到答案； （3）设出发t小时后，两车相距，分当两车相遇前相距时，当两车相遇后相距时，两种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为， 由题意得，， 解得， 甲车的速度为， ，解得， 乙车的速度为． （2）， 甲车到达B地时，乙车距B地的路程为． （3）设出发t小时后，两车相距， 当两车相遇前相距时，则， 解得， 当两车相遇后相距时，则， 解得， 综上所述，出发小时或3小时后两车在行驶途中相距． 38．（23-24六年级上·山东东营·期末）将连续的偶数2，4，6，8…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）． (1)十字框框中五个数之和与中间数16有什么关系？ (2)将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为用含的代数式表示十字框中五个数之和； (3)十字框中五个数之和能等于2024吗？能等于2025吗？请说明理由． 【答案】(1)十字框框出5个数的和是框子正中间的数16的5倍 (2) (3)不能等于2024，不能等于2025，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类． （1）把十字框框出5个数计算求和，即可得到答案； （2）分别用a的代数式表示周围4个数，把这5个数求和，即可得到答案； （3）结合（2）的结果，设中间的数为x，列出关于x的一元一次方程，解之，即可得到答案． 【详解】（1）解：十字框框出5个数的和为：， ， 即十字框框出5个数的和是框子正中间的数16的5倍； （2）解：根据题意得： a上边的数字为：，a下边的数字为：，a左边的数字为：，a右边的数字为：， 则十字框框住的5个数字之和为： ， 即用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和为； （3）解：十字框中五个数之和不能等于2024，理由如下： 设中间的数为x， 根据题意得：， 解得：， 因为x的值不是整数， 所以十字框中五个数之和不能等于2024． 十字框中五个数之和不能等于2025，理由如下： 设中间的数为x， 根据题意得：， 解得：， 因为405不是偶数， 所以十字框中五个数之和不能等于2025． 39．（22-23六年级下·山东济宁·期末）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路多少米? (2)乙工程队施工几天所修公路的长度比甲工程多120米? (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成? 【答案】(1)120 (2)乙工程队施工5天所修公路的长度比甲工程多120米 (3)该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成 【分析】本题主要考查了根据函数图象获得信息，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据函数图象获得有用信息． （1）根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数； （2）根据函数图象得出甲工程队每天修公路长度为：（米），设乙工程队施工m天所修公路的长度比甲工程多120米，根据题意列出方程，解方程即可； （3）先求出该公路总长，再根据甲、乙两工程队修路的速度列式计算即可． 【详解】（1）解：乙工程队每天修公路长度为： （米）； （2）解：根据图象可知：甲工程队6天修的公路长度为： （米）， 甲工程队每天修公路长度为：（米）， 设乙工程队施工m天所修公路的长度比甲工程多120米，则： ， 解得：， 答：乙工程队施工5天所修公路的长度比甲工程多120米； （3）解：公路的总长度为：（米）， 则该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数为： （天）． 40．（22-23六年级上·山东泰安·期末）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． 设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 根据题意，得， 解得： 答∶每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 41．（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知甲、乙两地相距、B两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为车速度为． (1)A、B两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上B车？ (2)A、B两车同时相向而行，经过几小时两车相距？ 【答案】(1)经过8小时车追上车 (2)经过1或小时两车相距 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意设出未知数，找出等量关系，列出方程是解题关键． （1）设经过小时车追上车，根据题意可列出关于的方程，解出即可； （2）设经过小时两车相距，根据题意可分类讨论当两车相遇前和当两车相遇后，分别列出关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：设经过小时车追上车， 依题意可列方程． 解得：， 答：经过8小时车追上车． （2）解：设经过小时两车相距． 根据题意可作分类讨论： ①当两车相遇前，可列方程：， 解得：； ②当两车相遇后，可列方程：， 解得：． 综上可知，经过1或小时两车相距． 42．（22-23六年级上·山东烟台·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 【答案】(1)每个排污治理点需铺设的管道长度为120米 (2)应选择方案一 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、解一元一次方程等知识点，明确题意、正确的列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，然后根据题意列方程解答即可； （2）先分别求出甲、乙队工人一天可铺设管道的长度，再分别按两种方案求得总费用，最后比较即可解答． 【详解】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为米， 根据题意，得， 解这个方程，得． 所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米． （2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数：． 方案一需要天数：． 方案一需要费用：． 每名乙队工人每天铺设管道米数：． 方案二需要费用天数：． 方案二需要费用：． 因为， 所以，应选择方案一． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$