精品解析：2025-2026学年福建省泉州市第一中学八年级下学期期中数学试卷

2025－2026学年福建省泉州市第一中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使分式有意义，则x应满足的条件是（　　） A. x＜2 B. x≠2 C. x≠0 D. x＞2 2. 将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（ ） A. 6 B. C. 9 D. 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线、交于点O，且，则的长可能是（ ） A. 12 B. 16 C. 10 D. 8 7. 一次函数的图象不经过第四象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，在中，，点P从点A出发沿，以的速度匀速运动至点B，②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 10. 如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于（ ） A. 9.6 B. 12 C. 7.8 D. 15.6 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算： ________． 12. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为______． 13. 关于x的分式方程有增根，则增根为________． 14. 反比例函数图象的一支如图，的面积为，则该函数的表达式为___________． 15. 如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为________． 16. 如图，的斜边在x轴上，直角顶点A在反比例函数 的图象上，连接，若，且 ，则_______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求该一次函数的解析式； （2）判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 20. 如图，点在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 泉州一中八年级部分学生去距离学校12千米的非遗馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，求学生骑自行车的速度是多少千米/小时？ 22. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 23. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的关系式； （2）观察图象，直接写出使得成立的自变量的取值范围； （3）如果点与点关于轴对称，求的面积． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． （1）求直线的解析式； （2）点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； （3）如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 25. 如图，在正方形中，点P是上的一点，作点A关于直线的对称点E，连接，延长交的延长线于点F，连接． （1）①尺规作图：在给出的图1中作出点E（不写作法，保留作图痕迹），作出点E后根据题意补全图形； ②若，则________；（用含α的式子表示） （2）如图2，若点P是的中点． ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年福建省泉州市第一中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使分式有意义，则x应满足的条件是（　　） A. x＜2 B. x≠2 C. x≠0 D. x＞2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0． 【详解】解：∵x﹣2≠0， ∴x≠2， 故选B． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为0时，分式有意义． 2. 将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将用科学记数法表示为． 3. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（ ） A. 6 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正比例函数定义设出函数解析式，再利用已知条件求出比例系数，最后代入x的值计算y即可． 【详解】解：∵y是x的正比例函数， ∴设函数解析式为， 将代入解析式得：， 解得， ∴函数解析式为， 当时，． 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】=,故选B. 6. 如图，的对角线、交于点O，且，则的长可能是（ ） A. 12 B. 16 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的值，再根据三角形的三边关系可得 ，据此解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， 由三角形的三边关系得： ，即， 观察四个选项可知，只有选项D符合． 7. 一次函数的图象不经过第四象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】当一次函数图象不经过第四象限时，可能经过第一、二、三象限，或仅经过第一、三象限，由此可解． 【详解】解：的图象不经过第四象限， 该图象经过第一、二、三象限，或仅经过第一、三象限， ，或，， 综上可得，，． 8. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，则可得，，再根据折叠的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 9. 如图①，在中，，点P从点A出发沿，以的速度匀速运动至点B，②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象可得当点P运动到点C时，的面积取最大值6，推出，由点P从点A沿运动到点B共用时，推出，利用完全平方公式变形求出，再利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：由题意得，当点P运动到点C时，的面积取最大值6，， ， ， 点P从点A沿运动到点B共用时，速度为， ， ， ． 10. 如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于（ ） A. 9.6 B. 12 C. 7.8 D. 15.6 【答案】D 【解析】 【分析】连接，与交于点，先得出，，再根据可得为定值，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值等于的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值等于， ∴的最小值为． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】5 【解析】 【详解】解： ． 12. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的规律，向上平移3个单位，b值增加3，k值不变. 本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度，平移后解析式为； 故答案为：. 13. 关于x的分式方程有增根，则增根为________． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查分式方程增根的概念，增根是使分式方程的最简公分母为零的未知数的值，据此计算即可． 【详解】解：分式方程的分母分别为和，因此最简公分母为． 因为分式方程有增根，所以最简公分母为，即 ， 解得． 故答案为． 14. 反比例函数图象的一支如图，的面积为，则该函数的表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，由△POM的面积为，可知，再结合图象所在的象限，确定k的值，则函数的解析式即可求出． 【详解】解∶的面积为， 又图象在第四象限， 反比例函数的解析式为∶． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 15. 如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，平行线与角平分线相结合，根据等角对等边可证，，由此可解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ． 16. 如图，的斜边在x轴上，直角顶点A在反比例函数 的图象上，连接，若，且 ，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出是解题关键．首先根据等腰直角三角形的性质得出，进而求出，利用顶点在反比例函数的图象上，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 中，，， ， 在中，， ， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 故答案为： 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解： ， ， 检验：当时， 是原分式方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先将括号内式子通分，再将分子、分母因式分解，变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将代入求值． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 19. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求该一次函数的解析式； （2）判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点C在该一次函数的图象上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将代入，根据计算得到的y值与的纵坐标是否相等进行判断． 【小问1详解】 解：设该一次函数的解析式为， 将点和点代入，得：， 解得， 故该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：点C在该一次函数的图象上．理由如下： 将代入，得： ∵计算得到的y值与的纵坐标相等， 点C在该一次函数的图象上． 20. 如图，点在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定是解题的关键． 先证明，再根据且证明即可． 【详解】∵， ∴． 在和中 ， ∴． ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 21. 泉州一中八年级部分学生去距离学校12千米的非遗馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，求学生骑自行车的速度是多少千米/小时？ 【答案】学生骑自行车的速度是18千米/小时. 【解析】 【分析】设学生骑自行车的速度为x千米/小时，可得汽车速度为千米/小时，根据骑自行车比乘汽车多用20分钟，找到等量关系列分式方程，求解检验后即可得到结果． 【详解】解：设学生骑自行车的速度为x千米/小时， 由题意得：， 化简得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故学生骑自行车的速度是18千米/小时． 22. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边证明，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，用勾股定理解，再根据直角三角形斜边中线的性质，得出． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， 是斜边上的中线， ． 23. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的关系式； （2）观察图象，直接写出使得成立的自变量的取值范围； （3）如果点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）12 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数解析式即可求出k值，根据反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）当反比例函数图像在一次函数图象上方时，，结合两个交点的横坐标即可求解； （3）求出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得， 反比例函数的解析式为， 又点在上， ， 解得， 点B的坐标为， 点A和点B在一次函数上， ， 解得， 一次函数的解析式为， 综上可得，． 【小问2详解】 解：时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 观察图象可知，当或时，． 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接AC，作于点D， 点A的坐标为， 点C的坐标为， 又点B的坐标为， ，， 的面积． 【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，以及求三角形的面积，其中第2问用到了数形结合的思想，第3问用到了求坐标系内两点之间的距离，都是常考题型，需要多加练习． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． （1）求直线的解析式； （2）点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； （3）如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答； （3）根据题意进行分类讨论：为矩形的边时；为矩形的对角线时． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设点， ∵轴，轴， ∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为， 把代入得：， 把代入得：， ∴点， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：当为矩形的边时，如图，过点M作，交直线于点，过点O作于点N， 过点N作交于点P，过点作交于点， 根据作图可得：四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴ ， 即点N为的中点， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点； 当为矩形的对角线时，过点M作轴于点P，过点M作轴于点N， ∵， ∴轴， ∵过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点C和点N重合， ∴点； 综上所述，点N的坐标为或或． 25. 如图，在正方形中，点P是上的一点，作点A关于直线的对称点E，连接，延长交的延长线于点F，连接． （1）①尺规作图：在给出的图1中作出点E（不写作法，保留作图痕迹），作出点E后根据题意补全图形； ②若，则________；（用含α的式子表示） （2）如图2，若点P是的中点． ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；② （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，因此先过点A作的垂线，再以点B为圆心，为半径作弧，与上述垂线的交点即为点E；②由轴对称的性质得，，推出，，再根据等边对等角、三角形内角和定理求解； （2）①由轴对称得点G是的中点，进而得出是的中位线，即可证明；②连接，，，先根据四边形内角和为360度证明，再证，推出 ，进而证明四边形是正方形，再证，推出，可得 ． 【小问1详解】 解：①点E及补全后图形如下图所示； ②如图，连接， 四边形是正方形， ，， 点A和点E关于直线对称，， ，， ，， ； 【小问2详解】 ①证明：如图，连接，与交于点G， 点A和点E关于直线对称， ， 点G是的中点， 又点P是的中点， 是的中位线， ， ； ②， 证明：如图，连接，，， 点A和点E关于直线对称， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 又 ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $