精品解析：陕西榆林市靖边中学2024-2025学年第一学期第二次月考高一数学试题

靖边中学2024~2025学年度第一学期第二次月考 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 定义在上的函数，满足对任意，都有，则（ ） A. B. C. D. 7. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.2 8. 若函数，，的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选做题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错误的得0分. 9. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数是上的增函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 函数在上单调递减 C. 函数的零点之积为 D. 方程最多有3个实数根 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则_________． 13. 已知正数x，y满足，则的最大值是_________． 14. 甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且为第二象限角，求： （1）的值； （2）的值． 16. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 17. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“”是假命题，求实数的取值范围． 18. 已知函数（且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若，求a的取值范围． 19. 已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边中学2024~2025学年度第一学期第二次月考 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】中有，，满足，故． 2. 半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由弧度制的定义计算求解. 【详解】半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【详解】因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 故选：B. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据同底数幂乘法法则：，故A错误； 根据幂的运算性质：，故B正确； 根据对数运算性质：，故C错误； 根据对数的换底公式：，故D错误. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则 ，是充分条件， 若，则推不出， 比如： 也可以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 6. 定义在上的函数，满足对任意，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得在上单调递增，故 7. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】由题意知，五分记录法的数据L和小数记录法的数据满足， 因为某同学视力的五分记录法的数据为，可得，解得， 结合对数的运算法则，可得. 8. 若函数，，的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 二、选做题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错误的得0分. 9. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式逐项判断即可. 【详解】由诱导公式知，，， ，， 故ACD正确，B错误. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数是上的增函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由于函数是定义域为的奇函数，有，令，则，解得，故A正确； 对于B，由于函数是定义域为的奇函数，且在区间上单调递增， 由于奇函数的图象关于原点对称，说明在区间上也单调递增， 又因为，所以函数是上的增函数，故B正确. 对于C，设，，因此是偶函数，故C正确. 对于D，设，则，因此是偶函数，故D错误. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 函数在上单调递减 C. 函数的零点之积为 D. 方程最多有3个实数根 【答案】AC 【解析】 【分析】求解方程的根，即可得零点，进而可判断AC，根据函数的图像即可求解BD. 【详解】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或，结合，故有3个零点，分别为，故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时，此时有四个交点，故有四个实数根，由于，故也有四个实数根，D错误. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【解析】 【分析】先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：，，所以. . 13. 已知正数x，y满足，则的最大值是_________． 【答案】2 【解析】 【详解】因为正数x，y满足，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号. 14. 甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【详解】，甲写错了常数，正确计算后得到的解集为，即， 乙写错了常数，正确计算后得到的解集为，即，解得， 因此关于的一元二次不等式为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且为第二象限角，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求得，进而求得. （2）将所求表达式转化为只含的表达式，从而求得正确答案. 【小问1详解】 ∵为第二象限角，∴． 又，∴． ∴． 【小问2详解】 ． 16. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 当时，不等式等价于， ∴． ∴或． ∴不等式的解集为． 【小问2详解】 ∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集． ∴方程的判别式，即， ∴．∴实数b的取值范围为． 17. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集运算法则即可求解； （2）由命题是假命题，得到真命题，从而得到集合的关系，得到答案. 【小问1详解】 ∵，且函数是增函数， ∴， ∵，， 又，∴， 解得．∴实数的取值范围为． 【小问2详解】 ∵命题“”是假命题， ∴命题“”是真命题， ∴， 又，， ∴或，即或， ∴实数的取值范围为． 18. 已知函数（且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数为正数可求解； （2）为偶函数，根据偶函数的定义证明； （3）对和分类讨论，解不等式求解. 【小问1详解】 要使函数的解析式有意义，则，解得． ∴函数的定义域为． 【小问2详解】 函数是偶函数， 证明如下：由（1）知函数的定义域为，关于原点对称． ∵， ∴， ∴ ∴函数是定义在上的偶函数． 【小问3详解】 的定义域为， ∵，∴， 当时，函数为上的增函数， ∴函数在上的最小值为， ∴，∴． 当时，函数为上的减函数， ∴函数在上的最小值为， ∴，∴，不符合题意 综上，a的取值范围为． 19. 已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）利用函数的新定义来确定新函数值即可； （2）利用比较两个函数的大小，再得到分段的新函数； （3）利用二次函数性质，结合分类讨论思想，来求最小值即可. 【小问1详解】 因为，， 所以． 【小问2详解】 令， 若，则，， 当，即时，或； 当，即时，． 所以． 【小问3详解】 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 又因为的图象开口向下，对称轴为直线，又， 所以当时，函数单调递增； 当时，函数单调递增． 又， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 即函数的最小值为． 令，可解得或． 则函数的定义域为时，值域为， 当时，，此时． 当时，，此时． 当或时，不符题意． 所以的最小值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $