专题02实数情景新考法专项训练(21大题型共计62道题)2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦实数高频情景创新考法，以22类典题构建“概念理解-计算应用-规律探索-实际迁移”四层方法体系，强化知识逻辑与核心素养落地。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根|9（含概念理解、非负性应用等）|定义辨析→符号规则→方程求解→实际建模|从基础概念到综合应用，渗透分类讨论思想| |立方根|5（含符号性质、规律探索等）|符号统一→逆向运算→几何体积关联|与平方根对比，强化实数开方运算体系| |无理数|3（含估算、整数部分拆分）|邻近数参照→区间定位→代数拆分|衔接实数分类，培养数感与估算能力| |实数综合|4（含混合运算、实际应用）|情景转化→公式应用→结果验证|整合平方根与立方根，突出应用意识与模型观念|

专题02实数情景新考法专项训练 本专题汇总[实数]全章考试高频情景创新、易失分、易混淆经典题型，梳理核心典题特征与解题技巧，针对性强化训练，吃透情景类考题本质。 题型01.平方根概念理解 题型02.求一个数的平方根 题型03.求代数式的平方根 题型04.已知一个数的平方根,求这个数 题型05.利用平方根解方程 题型06.求一个数的算术平方根 题型07.利用算术平方根的非负性解题 题型08.估计算术平方根的取值范围 题型09.与算术平方根有关的规律探索题 题型10.立方根概念理解 题型11.求一个数的立方根 题型12.已知一个数的立方根,求这个数 题型13.与立方根有关的规律探索题 题型14.立方根的实际应用 题型15.算术平方根和立方根综合应用 题型16.无理数 题型17.无理数的大小估算 题型18.无理数整数部分的有关计算 题型19.实数的混合运算 题型21.与实数相关的规律题 题型22.实数的实际应用 题型01.平方根概念理解 典题特征：考查平方根定义、根的数量判定规则，常设辨析题型，易与算术平方根概念混淆考查 解题思路：①熟记平方根基础定义，明确被开方数取值范围；②区分平方根与算术平方根核心差异；③依据数的分类判定根的具体个数 1．中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（    ） A． B． C． D． 2．中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是______． 3．学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 题型02.求一个数的平方根 典题特征：给定非负实数计算平方根，固定双根作答形式，属于基础计算类高频题型 解题思路：①将被开方数化为标准完全平方形式；②依据定义写出正负两组平方根；③结合实际题意要求，筛选符合条件的有效数值 4．学完平方根后，当堂检测环节周老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况： ①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．若每做对一道题得25分，则该次检测嘉嘉应得分（    ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 5．小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 6．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数）．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 题型03.求代数式的平方根 典题特征：以含字母代数式为运算主体，结合因式分解、公式变形综合命题考查 解题思路：①对复杂代数式整体化简整理；②转化为统一平方结构形式；③按照根式运算规则分步计算最终结果 7．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 8．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根． 题型04.已知一个数的平方根,求这个数 典题特征：利用正数两根互为相反数性质列方程，逆向求解原被开方数 解题思路：①根据相反数性质建立一元一次方程；②求解方程得出字母参数值；③将参数代入根式平方运算，算出原数 9．中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．25 B．9 C．16 D．5 10．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 11．在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． (1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； (2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 题型05.利用平方根解方程 典题特征：整式平方等于常数类特殊方程，依托开方运算完成求解 解题思路：①整理方程为标准平方等式形式；②按常数正负分类讨论取值情况；③两边同时开方，分步求解全部实数根 12．物体自由下落时，下落距离h（单位：米）可用公式来估算，其中t（t＞0单位：秒）表示物体下落的时间．若一个篮球掉入80米深的山谷中，落入谷底前不与其他物体接触，则该篮球掉落到谷底需要的时间为（    ） A．2秒 B．4秒 C．16秒 D．20秒 13．如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形．点P是对角线上一动点，连接，则的最小值为_________． 14．在数学活动课上，老师组织同学们两人一组设计有理数计算练习，以提升运算的速度和准确性．小强和小亮一起设计了五张写有不同运算的卡片A，B，C，D，E，如下图    小强任意选择一个有理数，小亮选择A，B，C，D，E中的四个卡片顺序，进行一次列式计算（每次卡片不重复使用），如：小强选择了有理数，小亮选择了的顺序，其列式及计算结果是． 请根据以下要求解答问题： (1)若小强选择了3，小亮选择了的顺序，请列出算式并计算结果； (2)若小强选择了，小亮选择了（    ）（    ）的顺序，且列式计算的结果刚好为15，请补全选择的顺序并列出算式； (3)若小强选择了8，小亮选择了（    ）（    ）（    ）的顺序后，计算结果为86，请写出所有可能的顺序； (4)若小强选择了有理数为，小亮选择了的顺序后，计算结果为25，求的值． 题型06.求一个数的算术平方根 典题特征：限定求取非负方根，侧重概念辨析，常与平方根对比出题 解题思路：①严格遵循算术平方根非负取值原则；②化简整理被开方数数值；③只选取非负单一结果作为最终答案 15．为了让学生走出校园，体验与同学老师一起参加户外活动的乐趣，某中学决定组织七年级学生进行春游活动．如图，七年级一班的同学围成一圈玩游戏，小军说：“我们全班刚好围坐的是一个圆，那么围成的这个圆的半径是多少呢？”王老师给出提示：“我们围成的面积大约是78.5平方米．”根据王老师的回答，围成的圆的半径是（圆的面积为．取3.14）（   ） A．10米 B．5米 C．米 D．米 16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______ 17．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 题型07.利用算术平方根的非负性解题 典题特征：多个非负根式相加和为零，依托非负数性质求解参数与代数式值 解题思路：①运用非负数和为零则各项均为零定理；②联立方程组求解未知字母；③将参数代入代数式完成整体计算 18．已知等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为______． 19．小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为______． 20．在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 题型08.估计算术平方根的取值范围 典题特征：针对非完全平方根式，判定数值所处相邻整数区间 解题思路：①找出与被开方数邻近的两组完全平方数；②依据根式增减性质判定大小关系；③精准划定根式所在整数区间范围 21．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 22．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是_________． 23．蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 题型09.与算术平方根有关的规律探索题 典题特征：排列多组同结构根式等式，要求归纳通用运算规律 解题思路：①横向对比每组式子结构特征；②梳理被开方数与结果变化逻辑；③推导通用代数规律并代入验证正误 24．小慧同学通过计算观察下列正数的算术平方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（  ） A． B． C． D． 25．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出与存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：； (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 26．问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 题型10.立方根概念理解 典题特征：考查立方根定义、符号性质，与平方根形成易混对比考点 解题思路：①牢记立方根与被开方数符号一致规则；②明确全体实数均可进行开立方运算；③逐项辨析题干概念表述正误 27．一个正方体的棱长为，体积为，则下列说法正确的是（    ） A．的立方根是 B．是的立方根 C． D． 28．据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为______．（说明：若，则a叫做b的立方根） 29．某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 题型11.求一个数的立方根 典题特征：覆盖正负零全体实数开方计算，重点考查符号与数值运算 解题思路：①划分被开方数正负属性分类处理；②转化为标准完全立方数形式；③按照定义直接求出对应立方根 30．甘肃兰州农资博览会西北农资会将于年月日至日在兰州丝路绿地国际会展中心举办，某展区设置成了平面直角坐标系，其中一个农产品摊位的坐标为，若是的算术平方根，是的立方根，则该摊位的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．小明生日当天，妈妈给他准备了一份礼物放在了一个带密码锁的盒子里，密码是个三位数，其中，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数，那么这个三位数密码是______． 32．综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 题型12.已知一个数的立方根,求这个数 典题特征：由立方根逆向推导原始被开方实数，属于反向计算题型 解题思路：①确定已知立方根的正负符号；②对立方根进行三次乘方运算；③保持符号统一得出原被开方数值 33．如图是乐乐同学做的练习题，他最后的得分是（    ） 姓名：乐乐    得分：______ 填空题（评分标准：每道题5分） （1）1的平方根是； （2）若，则0； （3）的相反数是－2； （4）8是一个数的立方根，则这个数是2． .A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 34．《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，求的值． 35．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 题型13.与立方根有关的规律探索题 典题特征：以系列立方根算式为载体，挖掘整体运算变化规律 解题思路：①观察被开方数与计算结果联动关系；②总结固定不变的运算模式；③规范书写通用规律表达式并核验 36．我国古代数学经典《九章算术·少广》中，系统记载了开平方、开立方的算法，是世界上最早系统论述开方运算的文献之一．魏晋数学家刘徽在为《九章算术》作注时，进一步完善了开方术，提出“开方不尽求微数”的思想，开创了十进制小数表示无理数的先河，为后世根式运算奠定了重要基础．今有算题：若，，则b等于_______． 37．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 38．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 题型14.立方根的实际应用 典题特征：结合几何形体、生活实际场景，运用立方根解决应用问题 解题思路：①根据题意梳理等量数学关系；②统一题干各类计量单位；③开立方计算后结合现实选取有效答案 39．在一个长、宽、高分别是的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（容器的厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长为___________． 40．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 41．升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 题型15.算术平方根和立方根综合应用 典题特征：融合两类根式性质，多条件联立求解未知参数，综合性较强 解题思路：①分别套用两类根式基础定义；②结合取值范围列出约束条件；③联立计算并检验参数取值合理性. 42．如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3． （1）求这个魔方的棱长； （2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长； 43．王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象： 然后引导同学们解决以下两个问题∶ （1）求的平方根； 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根； 的平方根是________．（填空） （2）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求a和b的值． 44．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 题型16.无理数 典题特征：依据定义划分实数类别，辨析有理数与无理数基础题型 解题思路：①统一化简所有待判定数字形式；②紧扣无限不循环核心判定标准；③按照类别精准完成数的划分 45．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国古代数学对无理数的最早记载．下列四个正方形的边长中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 46．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是__________． 47．同学们，本学期我们结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则__________，__________； (2)如果，其中，为有理数，求的平方根． 题型17.无理数的大小估算 典题特征：判定无理数数值区间，同时完成多个无理数大小对比 解题思路：①选取邻近完全平方、立方数作为参照；②等价转化为有理数进行比对；③依据根式性质判定数值高低 48．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某长方形的长为，宽为2，则这个长方形面积的值在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 49．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 50．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 题型18.无理数整数部分的有关计算 典题特征：拆分无理数整数与小数部分，依托两部分开展代数运算 解题思路：①估算无理数取值区间确定整数部分；②用原式减去整数部分得出小数部分；③代入代数式分步完成计算 51．通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 52．请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是______． 53．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 题型19.实数的混合运算 典题特征：以生活情景、几何情境、探究情境为题干背景，综合平方根、立方根、绝对值、乘方进行混合运算，是实数情景考法核心题型 解题思路：①优先化简根式、绝对值、乘方所有独立项；②严格按照先开方乘方、再乘除、最后加减的顺序运算；③统一规范符号运算，避免正负号、根式化简失误 54．如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 55．如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是______．（不含正方形边长） 56．如图，长方形内有两个正方形和，其中正方形的面积为，正方形的面积为． (1)求长方形与长方形的面积和； (2)直接写出长方形的周长． 题型21.与实数相关的规律题 典题特征：以实数运算数列为载体，探寻整体延续运算规律 解题思路：①拆解单个数式内部组成结构；②梳理前后项数值变化关联；③总结长 57．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 58．斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去） 59．方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 题型22.实数的实际应用 典题特征：依托几何测量、生活计量、数据估算等真实情景命题，利用实数开方、估算、运算解决实际问题 解题思路：①根据实际情景提炼等量关系，列出实数运算式；②对根式、无理数进行化简或区间估算；③结合实际意义取舍取值，得出符合题意的有效结果 60．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 61．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 62．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数情景新考法专项训练 本专题汇总[实数]全章考试高频情景创新、易失分、易混淆经典题型，梳理核心典题特征与解题技巧，针对性强化训练，吃透情景类考题本质。 题型01.平方根概念理解 题型02.求一个数的平方根 题型03.求代数式的平方根 题型04.已知一个数的平方根,求这个数 题型05.利用平方根解方程 题型06.求一个数的算术平方根 题型07.利用算术平方根的非负性解题 题型08.估计算术平方根的取值范围 题型09.与算术平方根有关的规律探索题 题型10.立方根概念理解 题型11.求一个数的立方根 题型12.已知一个数的立方根,求这个数 题型13.与立方根有关的规律探索题 题型14.立方根的实际应用 题型15.算术平方根和立方根综合应用 题型16.无理数 题型17.无理数的大小估算 题型18.无理数整数部分的有关计算 题型19.实数的混合运算 题型21.与实数相关的规律题 题型22.实数的实际应用 题型01.平方根概念理解 典题特征：考查平方根定义、根的数量判定规则，常设辨析题型，易与算术平方根概念混淆考查 解题思路：①熟记平方根基础定义，明确被开方数取值范围；②区分平方根与算术平方根核心差异；③依据数的分类判定根的具体个数 1．中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，因此2的平方根应表示为正负两个值． 【详解】解：2的平方根用符号表示为 ． 故选：D． 2．中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键． 根据平方根的性质列方程求解即可． 【详解】∵一个正数的平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 3．学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据算术平方根及平方根的定义逐个判断，然后再统计即可． 【详解】解：①根据平方根的定义，0的平方根只有0，故①正确； ②平方根包括正负两个值，16的平方根是，故②正确； ③算术平方根为非负数，9的算术平方根为，故③正确； ④由，5的平方根应为，而非，故④错误； 综上，嘉嘉做对了①、②、③，共3道题． 故选：C． 题型02.求一个数的平方根 典题特征：给定非负实数计算平方根，固定双根作答形式，属于基础计算类高频题型 解题思路：①将被开方数化为标准完全平方形式；②依据定义写出正负两组平方根；③结合实际题意要求，筛选符合条件的有效数值 4．学完平方根后，当堂检测环节周老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况： ①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．若每做对一道题得25分，则该次检测嘉嘉应得分（    ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：①0的平方根是0，正确； ②16的平方根是，正确； ③9的算术平方根是3，正确； ④，其平方根是，则④错误； 那么该次检测嘉嘉应得分为（分， 故选：C 5．小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【详解】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 6．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数）．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义即可求得答案； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义求得，的值，然后求得L（m，n）的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴． 题型03.求代数式的平方根 典题特征：以含字母代数式为运算主体，结合因式分解、公式变形综合命题考查 解题思路：①对复杂代数式整体化简整理；②转化为统一平方结构形式；③按照根式运算规则分步计算最终结果 7．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 (2)冰川约是在28年前消失的 【分析】本题考查了无理数的应用，已知字母的值求代数式的值，求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得，进行计算，即可作答． （2）理解题意，得，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米． （2）解：依题意，， 解得：， 答：冰川约是在28年前消失的． 8．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根． 【答案】(1)2 (2)和 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵AB＝2， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵|2c＋6|与互为相反数， ∴， ∵，， ∴2c＋6＝0，d−4＝0， ∴c＝−3，d＝4， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得m的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． 题型04.已知一个数的平方根,求这个数 典题特征：利用正数两根互为相反数性质列方程，逆向求解原被开方数 解题思路：①根据相反数性质建立一元一次方程；②求解方程得出字母参数值；③将参数代入根式平方运算，算出原数 9．中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．25 B．9 C．16 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可列出关于m的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得， ∴平方根为 和， ∴这个正数为 ． 故选：A． 10．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 【答案】小达的解法不正确．理由见解析 【分析】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算． 【详解】解：小达的解法不正确．理由如下： 依题意可知，为，两数中的一个． 当时， 解得，则，这个正数为； 当时， 解得，则，这个正数为． 综上所述，这个正数为或． 【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论． 11．在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． (1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； (2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 【答案】(1)③，算术平方根不能为负数． (2)25或 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键． （1）错误的在第③部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． （2）根据一个数的算术平方根是，平方根是，即或，求出m的值，即可解答． 【详解】（1）解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为16； （ii）当时， 解得， ， 由这个数的算术平方根为，得 ， ∴不符合题意，舍去． 故答案为：③，算术平方根不能为负数． （2）∵一个数的算术平方根是，平方根是， ∴或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为25； （ii）当时， 解得， ， ， ∴这个数为； 综上所述，这个数为或． 题型05.利用平方根解方程 典题特征：整式平方等于常数类特殊方程，依托开方运算完成求解 解题思路：①整理方程为标准平方等式形式；②按常数正负分类讨论取值情况；③两边同时开方，分步求解全部实数根 12．物体自由下落时，下落距离h（单位：米）可用公式来估算，其中t（t＞0单位：秒）表示物体下落的时间．若一个篮球掉入80米深的山谷中，落入谷底前不与其他物体接触，则该篮球掉落到谷底需要的时间为（    ） A．2秒 B．4秒 C．16秒 D．20秒 【答案】B 【分析】把h=80代入公式，求出篮球经过几秒掉落到谷底即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：(负值已舍)． 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 13．如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形．点P是对角线上一动点，连接，则的最小值为_________． 【答案】5 【分析】本题考查了垂线段最短、利用平方根解方程、实数的运算，熟练掌握垂线段最短是解题关键．设正方形的对角线、相交于点，则根据题意可得，，，利用三角形的面积公式、平方根解方程可得，再根据垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值，由此即可得解． 【详解】解：如图，设正方形的对角线、相交于点， 由题意知，，，， ， 解得，或（舍去） 由垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值， 则的最小值为． 故答案为：5． 14．在数学活动课上，老师组织同学们两人一组设计有理数计算练习，以提升运算的速度和准确性．小强和小亮一起设计了五张写有不同运算的卡片A，B，C，D，E，如下图    小强任意选择一个有理数，小亮选择A，B，C，D，E中的四个卡片顺序，进行一次列式计算（每次卡片不重复使用），如：小强选择了有理数，小亮选择了的顺序，其列式及计算结果是． 请根据以下要求解答问题： (1)若小强选择了3，小亮选择了的顺序，请列出算式并计算结果； (2)若小强选择了，小亮选择了（    ）（    ）的顺序，且列式计算的结果刚好为15，请补全选择的顺序并列出算式； (3)若小强选择了8，小亮选择了（    ）（    ）（    ）的顺序后，计算结果为86，请写出所有可能的顺序； (4)若小强选择了有理数为，小亮选择了的顺序后，计算结果为25，求的值． 【答案】(1)；16 (2)； (3)或 (4)0或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确而熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据有理数混合运算法则进行计算，即可解答； （2）分六种情况讨论，分别计算出相应式子的值，即可解答； （3）根据题意可得第三次运算选择D，则第二次运算后的结果为9或，再结合小强选择了8，即可求解； （4）根据运算顺序，列出方程，即可求解， 【详解】（1）解：算式为 （2）解：若选择， ，符合题意； 若选择， ，不符合题意； 若选择， ，不符合题意； 若选择， ，不符合题意； 若选择， ，不符合题意； 若选择， ，不符合题意； 综上所述，所选择的顺序为，即； （3）解：∵计算结果为86， 第三次运算后的结果为， ∴第三次运算选择D， ∴第二次运算后的结果为9或， ∵小强选择了8， 当第一次运算选择A，第二次运算选择B时，第二次运算的结果为9，符合题意； 当第一次运算选择B，第二次运算选择A时，第二次运算的结果为9，符合题意； ∴小亮选择了或的顺序后，计算结果为86； （4）解：∵小强选择了有理数为，小亮选择了的顺序后，计算结果为25， ∴， ∴， ∴或0． 题型06.求一个数的算术平方根 典题特征：限定求取非负方根，侧重概念辨析，常与平方根对比出题 解题思路：①严格遵循算术平方根非负取值原则；②化简整理被开方数数值；③只选取非负单一结果作为最终答案 15．为了让学生走出校园，体验与同学老师一起参加户外活动的乐趣，某中学决定组织七年级学生进行春游活动．如图，七年级一班的同学围成一圈玩游戏，小军说：“我们全班刚好围坐的是一个圆，那么围成的这个圆的半径是多少呢？”王老师给出提示：“我们围成的面积大约是78.5平方米．”根据王老师的回答，围成的圆的半径是（圆的面积为．取3.14）（   ） A．10米 B．5米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了开平方的应用．熟练掌握圆的面积公式，是解题的关键． 根据圆的面积78.5平方米和圆的面积公式列方程解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______ 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 17．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2s (2)正确，理由见解析 (3)90J，启示：严禁高空抛物． 【分析】(1) 本题考查算术平方根的实际应用，直接将代入公式计算即可． (2) 通过计算时的下落时间，与(1)中结果比较即可判断． (3) 先由求出下落高度，再代入能量公式计算． 【详解】（1）解：当时， ， 物体从20m高空落到地面的时间为s． （2）解：小明的说法正确， 理由：当时， ， ， 从80m高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍． （3）解：当时，， ， ， 能量， 这个鸡蛋在下落过程中产生的能量为， ， 足以伤害无防护人体， 启示：严禁高空抛物． 题型07.利用算术平方根的非负性解题 典题特征：多个非负根式相加和为零，依托非负数性质求解参数与代数式值 解题思路：①运用非负数和为零则各项均为零定理；②联立方程组求解未知字母；③将参数代入代数式完成整体计算 18．已知等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为______． 【答案】 【分析】根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解，再结合三边关系得到腰底即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∵， ∴为腰，4为底， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查非负式子和为0，它们分别等于0，三角形的三边关系，解题的关键是注意三角形三边关系． 19．小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握平方数和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 20．在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．错误的在第②部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． 【详解】解：不正确． 一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ， 这个数为16； ②当时，解得， 当时，，舍去； 综上所述，这个数为16． 题型08.估计算术平方根的取值范围 典题特征：针对非完全平方根式，判定数值所处相邻整数区间 解题思路：①找出与被开方数邻近的两组完全平方数；②依据根式增减性质判定大小关系；③精准划定根式所在整数区间范围 21．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先将的值代入能量公式求出，再根据无理数的估算方法求出的范围即可求解． 【详解】解：当时，， ∵， ∴，即， ∴该微观粒子的能量的值在和之间． 22．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 23．蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为 (2) 不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）根据长宽比例设未知数，利用长方形面积公式列方程求解，得到长和宽的值； （2）先根据正方形面积求出边长，再将边长和长方形的宽比较大小，判断能否裁出，用到长方形，正方形面积公式和算术平方根的性质． 【详解】（1）解 ：设这块长方形蓝印花布面料的长为，宽为，其中 已知面料面积为，根据长方形面积公式可得： 整理得 化简得 因为， 所以 因此长为，宽为。 这块面料长为，宽为 ； （2）解：设裁出的正方形布料边长为，其中 已知正方形面积为，可得： 因为， 所以 因为长方形面料的宽为，且，， 所以， 即正方形边长大于长方形面料的宽， 因此不能裁出来 答：他不能裁出来符合要求的正方形布料． 题型09.与算术平方根有关的规律探索题 典题特征：排列多组同结构根式等式，要求归纳通用运算规律 解题思路：①横向对比每组式子结构特征；②梳理被开方数与结果变化逻辑；③推导通用代数规律并代入验证正误 24．小慧同学通过计算观察下列正数的算术平方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干表格数据可总结算术平方根的规律，被开方数小数点每向某方向移动两位，算术平方根的小数点向同一方向移动一位，利用规律即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得规律：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动两位，对应的算术平方根的小数点就向同一方向移动一位， ∵，且是将的小数点向右移动两位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即． 25．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出与存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：； (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】（1）根据已知等式总结规律即可； （2）①利用所得规律计算即可； ②利用所得规律计算即可； （3）根据题意列式后利用所得规律计算即可． 【详解】（1）解：由已知等式可得当时，； （2）解：①原式 ； ②原式 ； （3）解： ， 即长方形的面积为15． 26．问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，仔细观察，找出规律是解题的关键． （1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； （2）结合（1），将二次根式化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，那么， 故答案为：； ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， 故答案为：； （2）解： 题型10.立方根概念理解 典题特征：考查立方根定义、符号性质，与平方根形成易混对比考点 解题思路：①牢记立方根与被开方数符号一致规则；②明确全体实数均可进行开立方运算；③逐项辨析题干概念表述正误 27．一个正方体的棱长为，体积为，则下列说法正确的是（    ） A．的立方根是 B．是的立方根 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体体积公式，立方根和算术平方根计算．根据题意先列出棱长和体积表达式，再逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：∵一个正方体的棱长为，体积为， ∴，即：， ∴是的立方根， 故选：B． 28．据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为______．（说明：若，则a叫做b的立方根） 【答案】48 【分析】本题主要考查了乘方运算，立方根的意义，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法和立方根的意义是解题的关键． 利用题干中的方法分步解答即可． 【详解】解：∵，从而得出110592的立方根是一个两位数； 又∵110592的个位数字是2，从而确定110592的立方根的个位数字是8； 划去110592后面的三位数592得到数110，而，，从而确定110592的立方根的十位数字是4． ∴110592的立方根为48． 故答案为：48． 29．某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（）由已知可得，再根据立方根的定义解答即可； （）由已知可得，即得的立方根等于它本身，得到或或，又由，可得，进而求出的值再代入到代数式求出的值，最后根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查考查了立方根的定义和性质，掌握立方根的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴的立方根等于它本身， ∴或或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， ∴的立方根是或或． 题型11.求一个数的立方根 典题特征：覆盖正负零全体实数开方计算，重点考查符号与数值运算 解题思路：①划分被开方数正负属性分类处理；②转化为标准完全立方数形式；③按照定义直接求出对应立方根 30．甘肃兰州农资博览会西北农资会将于年月日至日在兰州丝路绿地国际会展中心举办，某展区设置成了平面直角坐标系，其中一个农产品摊位的坐标为，若是的算术平方根，是的立方根，则该摊位的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根、立方根的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：，， 的算术平方根为， 即； ，即的立方根为， ， 该摊位的坐标为． 31．小明生日当天，妈妈给他准备了一份礼物放在了一个带密码锁的盒子里，密码是个三位数，其中，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数，那么这个三位数密码是______． 【答案】 【详解】解：∵已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数 ∴ ∴， ∴这个三位数密码是． 32．综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【答案】(1)，，两，1 (2)的立方根是62 【分析】（1）先根据立方根和平方根的定义求解64的平方根和立方根，再根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字． （2）按照题目提供的步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数． 【详解】（1）解：∵ ∴64的平方根是，立方根是； ∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数字是1， （2）解：∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划去后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 题型12.已知一个数的立方根,求这个数 典题特征：由立方根逆向推导原始被开方实数，属于反向计算题型 解题思路：①确定已知立方根的正负符号；②对立方根进行三次乘方运算；③保持符号统一得出原被开方数值 33．如图是乐乐同学做的练习题，他最后的得分是（    ） 姓名：乐乐    得分：______ 填空题（评分标准：每道题5分） （1）1的平方根是； （2）若，则0； （3）的相反数是－2； （4）8是一个数的立方根，则这个数是2． .A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 【答案】B 【分析】根据平方根和立方根的意义逐项求解判断即可． 【详解】（1）1的平方根是，原说法正确； （2）若 ∴，则，原说法错误； （3）的相反数是，原说法正确； （4）8是一个数的立方根，则这个数是512，原说法错误． ∴一共对了2道题，每道题5分， ∴他最后的得分是分． 故选：B． 【点睛】本题考查平方根，立方根，关键是根据平方根，立方根，相反数的定义进行解答，掌握相关概念是解题的关键． 34．《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，求的值． 【答案】 【分析】先根据得到，求出的值，再代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∵将代入中， ∴． 35．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2) (3)或，或， 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1或 解得：或或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时， 当时，； 当，． 题型13.与立方根有关的规律探索题 典题特征：以系列立方根算式为载体，挖掘整体运算变化规律 解题思路：①观察被开方数与计算结果联动关系；②总结固定不变的运算模式；③规范书写通用规律表达式并核验 36．我国古代数学经典《九章算术·少广》中，系统记载了开平方、开立方的算法，是世界上最早系统论述开方运算的文献之一．魏晋数学家刘徽在为《九章算术》作注时，进一步完善了开方术，提出“开方不尽求微数”的思想，开创了十进制小数表示无理数的先河，为后世根式运算奠定了重要基础．今有算题：若，，则b等于_______． 【答案】1000 【分析】根据立方根的特点求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是的倍， ∴． 37．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 38．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 题型14.立方根的实际应用 典题特征：结合几何形体、生活实际场景，运用立方根解决应用问题 解题思路：①根据题意梳理等量数学关系；②统一题干各类计量单位；③开立方计算后结合现实选取有效答案 39．在一个长、宽、高分别是的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（容器的厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长为___________． 【答案】6 【分析】由题意可知水的体积不变，长方体体积等于正方体体积，根据正方体体积公式，结合立方根的定义即可求出正方体容器的棱长． 【详解】解：设该正方体容器的棱长为， 长方体容器中水的体积为： 因为水恰好倒满正方体容器，因此正方体体积等于水的体积，可得： 开立方得． 40．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 41．升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【答案】 【详解】解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 题型15.算术平方根和立方根综合应用 典题特征：融合两类根式性质，多条件联立求解未知参数，综合性较强 解题思路：①分别套用两类根式基础定义；②结合取值范围列出约束条件；③联立计算并检验参数取值合理性. 42．如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3． （1）求这个魔方的棱长； （2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长； 【答案】（1）4cm；（2） 【分析】（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案； （2）先求出魔方一个面的面积，然后根据阴影部分的面积是魔方一个面的面积的一半求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为xcm，由题意得：x3＝64，解得x＝4， ∴这个魔方的棱长为4cm． （2）解：设正方形ABCD的边长为acm， 由题意得： 由（1）得AC=BD=4cm， ∴魔方的一个面的面积=4×4=16cm2， 又∵阴影部分的面积是魔方一个面的面积的一半， ∴， ∴ ∴正方形ABCD的边长为． 【点睛】本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一个数的立方根与算术平方根是关键． 43．王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象： 然后引导同学们解决以下两个问题∶ （1）求的平方根； 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根； 的平方根是________．（填空） （2）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求a和b的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）利用平方根的定义可以求得； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立等式即可求解a，根据立方根的定义即可求解b． 【详解】（1）， 的平方根是， （2）解：∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴， ∴， ∵的立方根是 ∴ ∴； 由上可知，，． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握求解一个数的平方根、立方根的计算方法． 44．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 题型16.无理数 典题特征：依据定义划分实数类别，辨析有理数与无理数基础题型 解题思路：①统一化简所有待判定数字形式；②紧扣无限不循环核心判定标准；③按照类别精准完成数的划分 45．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国古代数学对无理数的最早记载．下列四个正方形的边长中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解各正方形的边长，再判断即可． 【详解】解：A、正方形的边长为，是有理数，该选项不符合题意； B、正方形的边长为，是有理数，该选项不符合题意； C、正方形的边长为，是有理数，该选项不符合题意； D、正方形的边长为，是无理数，该选项符合题意． 46．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是__________． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示实数，数轴上两点间的距离，根据题意，直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点，则的长为圆的周长，求圆的周长即可．明确长度的实际意义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点， ∴， ∴点表示的数是． 故答案为：． 47．同学们，本学期我们结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则__________，__________； (2)如果，其中，为有理数，求的平方根． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，读懂所给材料是解题的关键． （1）根据题意可得：，，然后进行计算即可解答； （2）将已知等式进行整理可得：，从而可得，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：因为，其中，为有理数， 所以，， 解得，， 故答案为：，2； （2）解：因为， 所以， 所以， 因为，为有理数， 所以， 解得， 所以， 所以的平方根是． 题型17.无理数的大小估算 典题特征：判定无理数数值区间，同时完成多个无理数大小对比 解题思路：①选取邻近完全平方、立方数作为参照；②等价转化为有理数进行比对；③依据根式性质判定数值高低 48．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某长方形的长为，宽为2，则这个长方形面积的值在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】先根据长方形面积公式求出面积，再估算面积的取值范围即可. 【详解】解：长方形面积， ∵， ∴ 即这个长方形面积的值在与之间. 49．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 【答案】3 【分析】先把三角形的三边长分别为2，4，4代入求得，再估算S的取值范围即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，4， ∴设， ∴； ∵，， ∴n为的整数部分，即． 50．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． （1）设绣布的长为，宽为，根据面积公式列式得出，解出，即可作答． （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 即 ∴ ∵ ∴ ∴绣布的长为，宽为， 周长为． （2）解：能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 得， ∵取3， ∴ ∴， 解得（负值已舍去） 则， ∴ 由（1）得绣布的长为，宽为， ∵， ∴能够裁出来． 题型18.无理数整数部分的有关计算 典题特征：拆分无理数整数与小数部分，依托两部分开展代数运算 解题思路：①估算无理数取值区间确定整数部分；②用原式减去整数部分得出小数部分；③代入代数式分步完成计算 51．通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较．熟练掌握实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较是解题的关键． 首先根据点在数轴上的位置确定其整数部分和小数部分，然后再分别对各个选项进行分析判断． 【详解】解：由数轴可知，点在4和5之间。因为其整数部分为，小数部分为，所以， 又因为一个数等于它的整数部分加上小数部分，那么，即是点所表示的数减去4，所以是一个大于0小于1的无理数． A：由前面可知是有理数，是无理数，所以m，n不都是有理数，故该选项错误； B：已知，那么，所以是错误的，故该选项错误； C：因为，，那么，所以，故该选项错误； D：因为，，那么，故该选项正确； 故选：D． 52．请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得，然后代入求解即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， 故答案为：． 53．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）由得到，即可求解； （2）由得到的整数部分与小数部分，即可解答． 【详解】（1）解：∵，所以， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 所以． 题型19.实数的混合运算 典题特征：以生活情景、几何情境、探究情境为题干背景，综合平方根、立方根、绝对值、乘方进行混合运算，是实数情景考法核心题型 解题思路：①优先化简根式、绝对值、乘方所有独立项；②严格按照先开方乘方、再乘除、最后加减的顺序运算；③统一规范符号运算，避免正负号、根式化简失误 54．如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离．根据点是线段的中点得到，再由数轴上两点之间的距离公式求解． 【详解】解：点所对应的实数是， 故选：D． 55．如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是______．（不含正方形边长） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长计算，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果，由题意得出四叶幸运草的周长个圆的周长是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长， 故答案为：． 56．如图，长方形内有两个正方形和，其中正方形的面积为，正方形的面积为． (1)求长方形与长方形的面积和； (2)直接写出长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出正方形，的边长，然后根据长方形与长方形的面积和等于大长方形的面积减去正方形和的面积求解即可； （2）根据长方形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形的边长为，正方形的边长为， ∴长方形的面积 ∴长方形与长方形的面积和； （2）解：长方形的周长 题型21.与实数相关的规律题 典题特征：以实数运算数列为载体，探寻整体延续运算规律 解题思路：①拆解单个数式内部组成结构；②梳理前后项数值变化关联；③总结长 57．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 58．斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去） 【答案】①②④ 【分析】将和代入即可求得和，再按照可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列’中的每一项除以所得的余数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第项的值． 【详解】，故正确； ，故错误； “斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，，故正确； ，，，，，，，除以所得的余数分别是，，，，，，，，，，，，， ， 故在新数列中，第项的值是，故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键． 59．方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 【答案】(1)；； (2)见详解 【分析】本题属于探究规律的题目，理解材料中的定义是解题的关键； （1）根据定义可得，，，据此不难求出、、的平方根； （2）根据定义分别求出，，，，，的值，从中寻找出规律即可使问题得解． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． （2）解：∵， ， ， ， ， ， 规律：i每四个相邻次方为一个循环，若指数是4的整数倍，值为1； 若指数除以4余1，值为； 若指数除以4余2，值为； 若指数除以4余3，值为． 题型22.实数的实际应用 典题特征：依托几何测量、生活计量、数据估算等真实情景命题，利用实数开方、估算、运算解决实际问题 解题思路：①根据实际情景提炼等量关系，列出实数运算式；②对根式、无理数进行化简或区间估算；③结合实际意义取舍取值，得出符合题意的有效结果 60．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 61．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 62．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $