专题01相交线与平行线情景新考法专项训练(17大题型共计52道题)2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线高频情景创新题型，通过“典题特征+解题思路”系统提炼辅助线构造、角度推理等方法，强化从生活抽象几何模型的抽象能力与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|题型1-5（5类）|生活实物抽象相交线模型，利用对顶角/邻补角性质、垂线段最短原理|从对顶角/邻补角定义到垂线判定与应用，构建“概念-性质-生活抽象”逻辑链| |平行线判定与性质|题型6-14（9类）|三线八角识别（F/Z/U形）、工具操作（直尺三角板）、方位角转化，辅助线构造（过拐点作平行线）|以平行线判定定理为核心，结合动态旋转、折叠等情景，形成“判定条件-性质应用-变式拓展”推理路径| |综合与平移|题型15-17（3类）|平移现象辨别、图形平移面积计算，综合题拆解为小知识点分步突破|整合相交线、平行线与平移知识，体现“单一知识点-综合应用-实际问题解决”的应用拓展|

专题01相交线与平行线情景新考法专项训练 本专题汇总相交线与平行线全章考试高频情景创新、易失分、易混淆经典题型，梳理对应辅助线构造、角度推理关键点，针对性刷题练习，吃透情景类考题本质 题型01.对顶角邻补角生活情景计算题 题型02.相交线动态旋转角度探究题 题型03.生活事物中垂线识别判定题 题型04.垂线段最短实际应用 题型05.光的反射类垂线跨学科情景题 题型06.生活实物中三线八角识别 题型07.直尺三角板操作类三线八角题 题型08.生活场景平行线判定题 题型09.工具操作类平行线判定题 题型10.方位方向类平行线判定情景题 题型11.纸条折叠类平行线角度计算题 题型12.折线拐点类情景计算题 题型13.三角板旋转平移角度探究题 题型14.光线反射类平行线综合情景题 题型15.生活平移现象辨别题 题型16.图形平移的实际应用 题型17.相交线平行线综合压轴题 题型01.对顶角邻补角生活情景计算题 典题特征：以剪刀、交叉栏杆、钟表指针等生活物品为背景，能抽象出两条直线相交的样子，让你算某个角的度数。 解题思路：先把生活里的东西看成两条相交的直线，找到要算的角的对顶角（和它对着的角，大小相等）或者邻补角（和它挨在一起、拼成平角的角，和为180°），再用已知的角的度数，算出要找的角 1．将一把剪刀张开一定的角度，则可以构成4个角，将其抽象成一般的几何图形（如图所示），若，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了对顶角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据对顶角相等进行作答，即可求解； 【详解】解：∵和是对顶角，且， ∴， 故答案为：； 2．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对顶角相等，结合，求得，再利用邻补角求解即可． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， 又， ∴， 即， 又， ∴， ∴． 3．如图，两条笔直的街道，相交于点，街道，分别平分，，试说明街道是笔直的（即）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线、对顶角相等、邻补角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键．先求出，，再根据角平分线的定义可得，，然后求出，则可得，由此即可得． 【详解】解：∵两条笔直的街道，相交于点， ∴，， ∵街道，分别平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴街道是笔直的． 题型02.相交线动态旋转角度探究题 典题特征：两条相交的直线里，有一条绕着交点转，让你找转多少度时两条线垂直、两个角成倍数关系，或者角度的变化规律。 解题思路：先设转了x度（或者转了t秒），用“一开始的角度±转的角度”表示转完之后的角，再根据垂直（90°）、对顶角相等、邻补角和为180°这些条件，列算式算出x或者t。 4．如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D、O为平面内定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则______°； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求的度数． (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请求出这个定值． 【答案】(1)90 (2) (3)这个定值为 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，比例分配，定值问题，通过设元消元，将广播体操动作抽象为几何图形，抓住“三点共线”这一关键，消元得到与变量无关的值是解题的关键． （1）利用平角定义（共线时）及的关系，求出的度数； （2）先根据与的比例关系设未知数，结合平角求出各角的表达式，再利用角平分线性质得到，最后计算； （3）通过设比例中的未知数，用其表示和，代入式子化简验证是否为定值并求出该定值． 【详解】（1）解：、、三点共线， ， 又点、重合，且， 。 故答案为：； （2）解：， ∴设， ∵A、O、B三点共线， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：设， ， ∴设， ， ∵A、O、B三点共线， ， ， ， ，， ∴， ∴的值为定值，这个定值为． 5．如图，直线与相交于点O，，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边与重合，在内部．操作：将三角尺绕点O以每秒的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为． (1)求的度数； (2)当t为何值时，直角边恰好平分？ (3)若在三角尺转动的同时，直线也绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．当t为何值时，直线平分？ 【答案】(1)； (2)当时，直角边恰好平分； (3)当t为或时，直线平分． 【分析】（1）根据平角的定义即可求解； （2）根据角度=速度×时间进行计算，由等量关系：直角边恰好平分，列出方程求解即可； （3）由于的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵当直角边恰好平分时，， ∴， 解得． ∴当时，直角边恰好平分； （3）解：当平分时，依题意有， 解得； 当平分时，依题意有， 解得， 故当t为或时，直线平分． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解． 6．如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6或14 (3)存在，运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线 【分析】本题考查了角平分线的意义，角的和差，一元一次方程的应用等知识，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）当秒时，，的度数，由即可求解； （2）结合题意用t表示，的度数，分射线与射线重合之前，与射线与射线重合之后，两种情况建立方程求解，即可求得t的值； （3）分三种情况：当时，射线平分；当时，射线平分；当时，射线平分；表示出相关角，利用角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：当秒时，，， ∵， ∴ ； （2）解：当运动t秒，且当射线未到达射线时， 当射线重合时，则； ，； 射线与射线重合之前， 有， ∴， 解得：； 射线与射线重合之后， 有， ∴， 解得：； 综上所述，或； （3）解：存在； 当射线首次相遇时，则有， 解得：； 当射线重合时，则； 当射线与重合后返回，与重合时，则有， 解得：； 此时两射线同时到达终点； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴， 解得：； 综上，当运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线． .题型03.生活事物中垂线识别判定题 典题特征：给墙角、门框、旗杆插在地上这些生活场景，让你判断两条线是不是垂直，或者找哪条是垂线段。 解题思路：记住垂直就是两条线夹角是90°，看实物里有没有直角，或者能不能用工具量出90°，符合的就是垂直，从直线外一点到直线的垂线段就是最短的那条。 7．图为《天工开物》记载用于舂（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为______度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用四边形内角和是进行计算，即可求解，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，AB与CD交于点O，EO⊥AB． (1)若AB在东西方向上，点C在点O的南偏西20°方向上，则点D在点O的 　 　方向上； (2)若∠EOD＝28°，求∠AOC的度数； (3)若∠AOC：∠BOC＝1：2．求∠EOD的度数． 【答案】(1)北偏东20° (2)62° (3)30° 【分析】（1）如图，根据方位角进行求解即可； （2）由EO⊥AB得∠BOE=90°，根据余角的定义，得出∠BOD=62°，进而得出∠AOC的度数； （3）由∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC=180°，得出∠AOC=60°，则∠BOD=60°，进而求出∠EOD的度数． 【详解】（1）解：延长EO至点F，如图， ∵点C在点O的南偏西20°方向上， ∴∠FOC=20°， 又∠FOC=∠EOD， ∴点D在点O的北偏东20°方向上． 故答案为：北偏东20°． （2）解：∵EO⊥AB， ∴∠BOE=90°， ∵∠EOD＝28°， ∴∠BOD=∠BOE-∠EOD=90°-28°=62°， ∴∠AOC=62°． （3）解：∵∠AOC：∠BOC＝1：2， 又∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠AOC=60°， ∴∠BOD=60°， ∵OE⊥AB， ∴∠BOE=90°， ∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-60°=30°． 【点睛】本题考查了角度的计算，用到了方位角，对顶角，余角等知识点，熟练掌握以上知识是解决问题的关键． 9．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据得出 ，进而求出的度数； （3）根据，射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图： ∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西 ∴， ∵射线平分 ∴ ∴，即射线的方向是北偏东； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵射线的方向是东南方向， 题型04.垂线段最短实际应用 典题特征：比如从村庄修一条路到公路、从河里引水到田地、架电线到房子，让你设计最短的路线。 解题思路：把村庄/田地/房子看成一个点，把公路/河/电线看成一条直线，从点向直线作垂线，这条垂线段就是最短的路线，再按要求算长度就行 10．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据垂线段最短的性质进行解答解答． 【详解】解：根据题意可得：垂直马路方向走斑马线更节省时间，体现了垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 11．有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 12．一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线段最短、点到直线的距离，熟练掌握垂线段最短是解题关键． （1）汽车离学校越近，其对学校的影响越大，根据垂线段最短即可得； （2）根据汽车离两所学校的远近、垂线段最短进行分析即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点． 因为汽车离学校越近，其对学校的影响越大， 所以由垂线段最短可知，当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大；当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大． （2）解：如图，因为当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越近；当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越远；当汽车由点向点行驶时，汽车离学校越来越远，而离学校越来越近， 所以当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐增大；当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐减小；当汽车由点向点行驶时，对学校的影响逐渐减小而对学校的影响逐渐增大． 题型05.光的反射类垂线跨学科情景题 典题特征：结合镜子反光的现象，给你镜面和光线，让你算光线和镜面的夹角，或者反射光线的角度。 解题思路：先画镜面的垂线（这个叫法线），记住入射角（入射光线和法线的角）等于反射角（反射光线和法线的角），再用90°减去入射角，就能算出光线和镜面的夹角 13．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为________． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据题意可得，则，再根据已知条件得到，则． 【详解】解：由光的反射定律可知法线与反射面垂直，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶． 14．如图，将平面镜放置在桌面上，光线经过平面镜反射形成光线．已知，，，则的度数为 ________ ． 【答案】/35度 【分析】本题考查垂直的定义，角的计算． 由垂直的定义得到，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角_____． 【答案】/69度 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，欣欣的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线垂足是点O．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，根据垂直的定义可得，结合，从而可得，即可求解， 【详解】解：， ， ， ， ，且， ． 题型06.生活实物中三线八角识别 典题特征：给窗户、铁轨、直尺这些东西，能抽象出“一条截线切两条被截线”的样子，让你找同位角、内错角、同旁内角。 解题思路：先找哪条是截线（切另外两条的那条），哪两条是被截线： 同位角：在截线的同一边，两条被截线的同一侧，像“F”形； 内错角：在截线的两边，两条被截线的中间，像“Z”形； 同旁内角：在截线的同一边，两条被截线的中间，像“U”形。 17．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形中角的位置关系进行逐一判断即可 【详解】① 和 是由水平直线截两条斜线所得，均在截线上方且在被截直线右侧（或同侧），符合同位角定义，故①正确； ② 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得， 在截线右侧、被截线之间， 在截线左侧，不在被截线之间，不符合内错角定义，故②错误； ③ 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截线之间，符合同旁内角定义，故③正确； ④ 和 是由左上至右下的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截直线上方，符合同位角定义，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 18．胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知． (1)请说明的理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的同位角，内错角，同旁内角 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单． （1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【详解】（1）解：∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 19．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变． (1)请写出图中的对顶角______，内错角______，同旁内角______； (2)若测得，，求筷子的水下部分向上弯折（）的度数． 【答案】(1)，，或 (2) 【分析】（1）根据对顶角的定义、内错角的定义和同旁内角的定义解答即可； （2）根据角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：图中的对顶角，内错角，同旁内角或； （2）解：， ， 又， ． 题型07.直尺三角板操作类三线八角题 典题特征：用直尺、三角板拼在一起或者移动，形成三线八角的样子，让你算某个角的度数。 解题思路：记住直尺的两边是平行的，三角板有固定的角（30°、45°、60°、90°），再用平行线的性质（两直线平行，同位角/内错角相等，同旁内角互补），结合三角板的角度来算。 20．如图，将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的大小为__________． 【答案】42 【分析】如图（见解析），先得出，，再求出的度数，则可得的度数，然后根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 21．将一副三角板与直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，根据平行线的性质，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴；， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴； 22．如图将一块含有的三角尺如图放置，点、分别在直线、上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有_____（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】对于①②可证明不一定成立，则和n不一定平行；对于③过点C作，则，根据角的和差关系可得，则，即可得到；对于④⑤可证明，则． 【详解】解：，且与不一定相等， ∴不一定成立 和n不一定平行，故①不符合题意； ， ∴ ∵， ∴， ∵不一定成立， ∴不一定成立， 和n不一定平行，故②不符合题意； 如图所示，过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ，故⑤符合题意； 题型08.生活场景平行线判定题 典题特征：给铁轨、门框、管道这些生活场景，让你判断两条线是不是平行。 解题思路：找截线切两条被截线形成的角，只要满足下面任意一个，两条线就平行： 同位角相等； 内错角相等； 同旁内角互补。 23．随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】由同旁内角互补，两直线平行．即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选择数据①③可判断模型位置能够达标． 24．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度可以为（    ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向右拐，第二次向右拐 【答案】B 【分析】结合两次拐弯后仍与原方向平行的要求，根据平行线的判定定理对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、如图： ，，此时与不平行；故本选项错误，不符合题意； B、如图： ， ，且方向相同；故本选项正确，符合题意； C、如图： ， ， ， ， ，但方向相反；故本选项错误，不符合题意； D、如图： ，，此时与不平行，故本选项错误，不符合题意． 25．在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据图形可知：和互为同旁内角，和互为内错角，和互为同位角，然后结合平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①通过度量的度数，若满足， 根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论； ②通过度量的度数，若满足， 根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论； ③通过度量的度数，若满足， 根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论． 题型09.工具操作类平行线判定题 典题特征：用直尺、三角板画平行线（比如平移三角板），或者用工具做操作，让你说为什么这样画出来的线是平行的。 解题思路：看操作过程里形成的角，比如平移三角板时，三角板的角大小不变，形成了相等的同位角，所以根据“同位角相等，两直线平行”，画出来的线就是平行的。 26．数学课上老师要求同学们利用三角板和直尺过点P作已知直线l的平行线，如图是甲、乙的作图过程．下列说法正确的是___________；（填序号） ①甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行” ②甲的作图不正确 ③乙的作图正确，依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行” ④乙的作图不正确 【答案】① 【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由平行线的判定，可知甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行”；乙的作图也正确，但依据是“同位角相等，两直线平行”，并非“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”． 27．如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的余角相等，对顶角相等，根据平行线的判定方法逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，不能判定，原选项符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 28．如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 小明说． 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据． 证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（ ） ， ，理由是：（ ） (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P； 第三步：如图7，过点P画直线， 小婷说，就是过点P平行于的一条直线，小婷这样做的理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行                B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行                D．两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”． 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图． 【答案】(1)；；垂直的定义；内错角相等，两直线平行 (2)A (3)见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，垂直的定义，平行线的判定方法进行作答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行作答即可； （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线；第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线，即可． 【详解】（1）证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（垂直的定义） ， ，理由是：（内错角相等，两直线平行）； （2）由题意和作图可知：小婷这样做的理由是同位角相等，两直线平行； 故选A． （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线； 第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线； 则就是经过点P且平行于的一条直线． 题型10.方位方向类平行线判定情景题 典题特征：给两个地点的方位角（比如A在B的北偏东30°，C在D的南偏西30°），让你判断两条路线是不是平行。 解题思路：先画南北方向的线（所有南北线都是互相平行的），再看方位角形成的角，用内错角相等、同位角相等这些平行线的判定条件，判断路线是不是平行。 29．如图，某工程队从点A出发，沿北偏西a方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向，从点B沿北偏东方向继续铺设段，到达点D又改变方向，沿着与平行的方向铺设段，则的大小为______．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】根据方向角的定义及平行线的性质，求出的度数，进而得到的度数，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，设点处的正北方向为射线，点处的正北方向为射线， 由题意可知，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍．不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证______． 【答案】112 【分析】如图：过点O作，根据题意可得：、，从而可得、，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点O作， 由题意得：，， ， ， ， ∵， ， ， ， ∵， ． 31．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，直线分别交，于点，，已知，，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由． 【答案】不会，理由见解析 【分析】根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可． 【详解】解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞． 题型11.纸条折叠类平行线角度计算题 典题特征：把长方形纸条折一下，形成重叠的角，让你算折完之后某个角的度数。 解题思路：记住两个关键点：① 折叠之后，重叠的两个角大小相等；② 长方形的对边是平行的。再用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合平角180°来算角度。 32．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______； 【答案】 【分析】根据题意得出，，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补得出，，进而求出的度数，最后求出的度数． 【详解】解：根据题意可得，，，如图： ∵， ∴，， 故； ∵， 故． 33．如图，长方形纸片沿对折后，点、的对应点分别为点，．与交于点．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，先理解题意，得出，由平行线的性质，得出内错角相等，故，再运用平角的定义得，最后由两直线平行，同旁内角互补得，即可作答． 【详解】解：∵长方形纸片沿对折后，点、的对应点分别为点，． ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 34．如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠得，，，设，根据平行线的性质推出，则，根据，可得，通过列方程求出的值即可． 【详解】解：由折叠得，，， 设， ∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型12.折线拐点类情景计算题 典题特征：两条平行线之间，有一条折线拐了一个或多个弯，让你算拐点处的角的度数。 解题思路：过拐点作一条和原来两条线都平行的辅助线，这样大角就被分成了两个小角，再用“两直线平行，内错角相等”，把小角的度数加起来，就是大角的度数。 35．如图是一盏可调节台灯，固定底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，且台灯最外侧光线组成的始终保持．调节台灯使，且光线，则此时的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】延长交于点F，分别过点F、A作，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：延长交于点F，分别过点F、A作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知结合对顶角相等证明，即可得证； （2）根据平行线的性质可求的度数，进而可得的度数，再由角平分线的性质可得的度数，从而得到的度数，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：与都平行于，即， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 37．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒．忽略光线的粗细，并假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． (1)若两灯同时转动90秒，此时两灯发出的光线所在直线的位置关系是________；（填“平行”或“垂直”或“相交”） (2)设灯A转动t秒，请用含t的式子表示以下的角： 当时，光线与所成的角为________度； 当时，光线与所成的角为________度； 当时，光线与所成的角为________度； (3)若灯B先转动20秒，灯A才开始转动，在灯B发出的光线第一次到达之前，灯A转动几秒时，两灯光线所在直线互相平行？ (4)如图，若两灯同时开始转动，在灯A发出的光线第一次到达之前．其发出的光线与灯B发出的光线交于点C，过C作交于点D．探究在转动过程中，与始终满足怎样的等量关系，请直接写出结论． 【答案】(1)平行 (2)，， (3)当灯A转动秒或秒时，两灯光线所在直线互相平行 (4) 【分析】（1）根据题意得到从到所需的时间为（秒），从到所需的时间为（秒），结合图形求解即可； （2）根据运动时间，数形结合分析即可求解； （3）灯B先转动20秒，此时，则转动到处所需时间为（秒），结合题意，分类讨论即可求解； （4）根据题意得到，，根据平行线的性质，角的和差关系列式求解即可． 【详解】（1）解：灯A发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒， ∴从到所需的时间为（秒），从到所需的时间为（秒）， 当两灯同时转动90秒时，到并逆时针转动了（秒），其度数为，转动的度数为，如图所示， ∴点在点的位置，点在点的位置，则， ∵， ∴， ∴，即此时两灯发出的光线所在直线的位置关系是平行； （2）解：灯A转动的速度是/秒，从到所需的时间为（秒），设灯A转动t秒， ∴当时，光线与所成的角为度； 当时，度； 当时，度； （3）解：灯B先转动20秒，此时，则转动到处所需时间为（秒）， 如图所示，设灯A转动时间为秒，当时，转动到时， ∴，即， 解得，，即灯A转动秒时，两灯光线所在直线互相平行； 如图所示，当时， 结合（2）得到，， 解得，，即灯A转动秒时，两灯光线所在直线互相平行； 如图所示，当时， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，当灯A转动秒或秒时，两灯光线所在直线互相平行； （4）解：两灯同时开始转动，在灯A发出的光线第一次到达之前，设灯A转动t秒， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 整理得，． 题型13.三角板旋转平移角度探究题 典题特征：把三角板绕着一个点转，或者沿着一条直线移，让你找转多少度时两条线平行/垂直，或者角度的变化规律。 解题思路：先设转了x度，用三角板本来的角（30°、45°、60°、90°）表示转完之后的角，再根据平行、垂直的条件列算式，算出x是多少。 38．在一副直角三角板中，，，．现在将两个直角三角板的直角重合，与边重合，然后将含角的三角板绕直角顶点按顺时针方向每秒旋转，且旋转过程中，当旋转时间__________s时，的一条边与恰好平行． 【答案】3或9或11 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当时，如图： ， ∴， ∴； 当时，如图： ， ， ， ； 当时，如图，作，则， ∴， ， ∴ 综上，使三角形有一条边与平行的所有t为：3或9或11． 39．先将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，，，，再将三角板绕点A顺时针转动，直到边与在同一条直线上时，停止转动．在转动的过程中，当两块三角板恰有两边平行时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据题意可分，，和四种情况，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴； 如图所示，当， ∴， ∴； 如图所示，当时， ∴； 如图所示，当， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 40．已知直线，在三角形纸板中， (1)【初步探究】将按如图1放置，点E和点G分别在直线，上，若，求的度数； (2)【深入探究】将按如图2放置，点E和点G分别在直线，上，交于点H．若，，试求，之间的数量关系； (3)【拓展应用】在图2中，若 ， ，将绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当两条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出结论即可）． 【答案】(1) (2) (3)1或4或7或10 【分析】（1）过点作,进而根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质以及邻补角的关系转化即可； （3）分类讨论，①当时，根据平行线构造等量关系求解；②当时，三点共线，即可求解③当时，构造方程求解；④当时，三点共线，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：过点作, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴, ∴; （2）解：∵，， ∴, ∴， ∵ ∴, ∴, ∴； （3）解：①当时， 根据旋转可知， ∴, ∵ ∴, ∵, ∴, ∵绕点F以每秒的速度顺时针旋转， ∴（秒）， ②当时， ∴三点共线， ∴， ∵ ， ， ∴ ∴（秒）； ③当时， 根据旋转可知， ∴, ∵, ∴ 设运动时间为秒， 则 解得：（秒）； ④当时， ∴三点共线， ∴， ∵ ， ， ∴ ∴ ∴（秒）； 综上所述：或4或7或10． 题型14.光线反射类平行线综合情景题 典题特征：用多块镜子反射光线，让你证明两条光线平行，或者算光线的角度。 解题思路：先根据“入射角等于反射角”找到相等的角，再用平行线的判定条件（同位角/内错角相等）证明平行，最后用平行线的性质算角度。 41．如图，《光的反射》课中（如下侧示意图），小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，小明测得反射光束与天花板所形成的角如下，①②③④，理论上测量正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】过点C作，利用平行线的性质求出和，再根据光的反射定律（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）表示出，最后利用平行线的性质和邻补角定义表示出，结合的取值范围和图形特征进行判断，得到的取值范围． 【详解】解：当时，如图①所示， 过点C作， ， ， ， ， ， 由反射定理可知入射角等于反射角，故， ， ， ， ， ，故④正确； 当时，如图②所示，过点C作， 同理可得，，． ， ， ， ， ∵， ，故①②正确． 42．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平面镜反射光线的规律和，可得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由平面镜反射光线的规律和，可得，， ∴， ∵反射光线与平行， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 43．综合与实践． 【问题初探】如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． (1)已知，求的度数； (2)证明：； 【类比探究】 (3)如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，并且；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么_____°才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 (4)小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图1，为一镜面，为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，如图2，是两块可以分别绕A，B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，是两束反射光线．A，B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角____°；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 【答案】(1) (2)见解析 (3)40 (4)80，50 【分析】（1）根据互余的定义解答； （2）根据等角的补角相等解答； （3）先根据互余求出，即可得出，再根据互余求出，则此题可解； （4）作，作，根据反射角等于入射角得，依题意可得，再根据求出，然后根据得出答案；设则，结合可得然后根据，可得，进而得，求出，则此题可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴； （3）解： ∵ ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，才能保证黑球能直接入袋； （4）解：过点A作，过点B作，如图所示， 根据反射角等于入射角得， 依题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴． 设则， ∵ ∴， ∴, ∴． 当时，， ∴， 解得， 即． 题型15.生活平移现象辨别题 典题特征：给电梯上下、传送带运货、窗户推拉、风车转动这些现象，让你判断哪个是平移。 解题思路：记住平移的特点：物体的形状、大小、方向都不变，只是位置变了，沿着直线移动。风车转动方向变了，不是平移；电梯、传送带、窗户推拉符合，是平移。 44．下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】B 【分析】本题根据平移的定义判断各选项，平移的定义为：平面内，将一个图形上所有点沿同一直线方向移动相同距离，不改变图形的形状，大小和方向． 【详解】解：∵ 平移不改变图形的形状，大小和方向，且图形上所有点移动方向，距离都相同， A 选项 温度计中液柱变化时，液柱的大小发生改变，不符合平移定义，错误； B 选项 升降电梯从一楼升到五楼，电梯整体上所有点沿同一方向移动相同距离，形状大小方向均不变，符合平移定义，正确； C 选项 树叶随风飘落，运动方向不断变化，不符合平移定义，错误； D 选项 纸张沿中线对折是翻折变换，不是平移，错误； ∴ 答案选B． 45．下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意； B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意； C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意； D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意； 故选：B. 46．下列运动属于平移的是（   ） A．人在楼梯上行走 B．行驶的自行车的后轮 C．在游乐场荡秋千 D．坐在直线行驶的列车上的乘客 【答案】D 【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A. 人在楼梯上行走，不属于平移，故此选项错误 B. 行驶的自行车的后轮，不属于平移，故此选项错误 C. 在游乐场荡秋千，不属于平移，故此选项错误 D. 坐在直线行驶的列车上的乘客，符合平移定义，属于平移，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平移定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 题型16.图形平移的实际应用 典题特征：比如给楼梯铺地毯、算平移之后图形的面积，让你算需要多长的地毯、多大的面积。 解题思路：用平移的方法，把楼梯的水平部分向上平移、竖直部分向右平移，拼成一个长方形，再用长方形的长×宽算面积，长+宽算地毯长度。 47．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为________． 【答案】 82 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可解题． 【详解】 解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）． 48．有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样， 故选：． 49．实验中学准备整理城北校区一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线，求此方案中小路所占的面积（即阴影部分的面积）； (3)方案三：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的植物园．在这块空地上能否修建出符合要求的植物园？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）求出草坪种植的长和宽进行计算即可； （2）利用平移求出小路所占的长和宽进行计算即可； （3）设植物园的长为，宽为，由题意得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，此方案中草坪种植的面积为：； （2）解：由平移可知，此方案中小路所占的面积为：； （3）解：在这块空地上不能修建出符合要求的植物园，理由如下； 设植物园的长为，宽为， 依题意得，， ， 由边长的实际意义可得， 植物园的长为，， ， ， ，即植物园的长大于这块正方形空地的边长； 在这块空地上不能修建出符合要求的植物园． 题型17.相交线平行线综合压轴题 典题特征：把相交线、垂线、平行线、折叠、旋转这些知识点混在一起，出一个复杂的题，有好几问，让你推理和计算。 解题思路：把大题拆成一个一个小问题，先看每一问用到哪个知识点，比如第一问用对顶角相等，第二问用平行线判定，第三问用辅助线，一步一步推理，不要跳步，每一步都用学过的性质和判定。 50．如图，是生活中常见的一种躺椅，躺椅的靠背侧面有滑槽，扶手可以沿着滑槽上下移动，调节位置，前、后支撑腿之间的夹角可以调节．某数学小组对其结构进行了简单探究，过程如下： 【作图】：据实物画出躺椅的侧面结构示意图，如图所示，为躺椅的扶手，为底座，为靠背，、为前、后支撑腿． 【测量】：扶手与底座平行，与靠背相交于点M，与前、后支撑腿、相交于点O．前、后支撑腿、与底座CD分别相交于点G、D． 【探究】： (1)如图1，若底座与靠背的夹角（即）为，前、后支撑腿的夹角（即）为，平分，通过计算说明：； (2)通过多次调节躺椅的前、后支撑腿之间的夹角和扶手的高度，同学们发现，当前支撑腿与靠背平行，前、后支撑腿互相垂直，且后支撑腿与底座的夹角（即）为时（如图2），人躺上去非常舒适，求此时的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先由角平分线求出，然后由平行线求出，然后求出，即可证明； （2）首先求出，然后得到，然后结合平行线的性质求解． 【详解】（1）解：由题知，，平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：由题意知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 51．【课题学习】研究两条平行线间的拐点问题． (1)【模型研究】如图1，，，交于点，，，则的度数是______． (2)【深化拓展】如图2，若，点在，的外部，请写出，，之间的关系并说明理由． (3)【实际应用】爱动脑的小菲发现书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图3所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行，即时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作 ，由平行线的性质可得 ， ，求出 ，即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得，．根据 ，即可得出结论； （3）过点作，过点作，由平行线的性质同理（1）（2）即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作 ， ， ， ， ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ． ， ， ． ， ． （3）解：如图，过点作，过点作． ， ． ， ， ，，． ，， ，， ． 52．年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节 目中的机器人名为，  将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更 体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】图是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面保持水平，此时， ，则的度数是多少？ 【思考过程】依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 请完成下面推理过程． (1)解：如图，过点作，过点作，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴（          ）， ∴， ∵， ∴ （         ）， ∴ ． 【迁移应用】 如图，在一款手推车的平面示意图中． (2)若，，则 ； (3)写出之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 (4)如图，，直线交于点，交 于点，点是线段上的 一 点，，平分，平分，则 ． 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等； (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（）过点作，过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作，过点作，可得，再利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作，过点作，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等；； （2）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）解：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线情景新考法专项训练 本专题汇总相交线与平行线全章考试高频情景创新、易失分、易混淆经典题型，梳理对应辅助线构造、角度推理关键点，针对性刷题练习，吃透情景类考题本质 题型01.对顶角邻补角生活情景计算题 题型02.相交线动态旋转角度探究题 题型03.生活事物中垂线识别判定题 题型04.垂线段最短实际应用 题型05.光的反射类垂线跨学科情景题 题型06.生活实物中三线八角识别 题型07.直尺三角板操作类三线八角题 题型08.生活场景平行线判定题 题型09.工具操作类平行线判定题 题型10.方位方向类平行线判定情景题 题型11.纸条折叠类平行线角度计算题 题型12.折线拐点类情景计算题 题型13.三角板旋转平移角度探究题 题型14.光线反射类平行线综合情景题 题型15.生活平移现象辨别题 题型16.图形平移的实际应用 题型17.相交线平行线综合压轴题 题型01.对顶角邻补角生活情景计算题 典题特征：以剪刀、交叉栏杆、钟表指针等生活物品为背景，能抽象出两条直线相交的样子，让你算某个角的度数。 解题思路：先把生活里的东西看成两条相交的直线，找到要算的角的对顶角（和它对着的角，大小相等）或者邻补角（和它挨在一起、拼成平角的角，和为180°），再用已知的角的度数，算出要找的角 1．将一把剪刀张开一定的角度，则可以构成4个角，将其抽象成一般的几何图形（如图所示），若，则______． 2．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，两条笔直的街道，相交于点，街道，分别平分，，试说明街道是笔直的（即）． 题型02.相交线动态旋转角度探究题 典题特征：两条相交的直线里，有一条绕着交点转，让你找转多少度时两条线垂直、两个角成倍数关系，或者角度的变化规律。 解题思路：先设转了x度（或者转了t秒），用“一开始的角度±转的角度”表示转完之后的角，再根据垂直（90°）、对顶角相等、邻补角和为180°这些条件，列算式算出x或者t。 4．如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D、O为平面内定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则______°； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求的度数． (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请求出这个定值． 5．如图，直线与相交于点O，，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边与重合，在内部．操作：将三角尺绕点O以每秒的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为． (1)求的度数； (2)当t为何值时，直角边恰好平分？ (3)若在三角尺转动的同时，直线也绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．当t为何值时，直线平分？ 6．如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． .题型03.生活事物中垂线识别判定题 典题特征：给墙角、门框、旗杆插在地上这些生活场景，让你判断两条线是不是垂直，或者找哪条是垂线段。 解题思路：记住垂直就是两条线夹角是90°，看实物里有没有直角，或者能不能用工具量出90°，符合的就是垂直，从直线外一点到直线的垂线段就是最短的那条。 7．图为《天工开物》记载用于舂（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为______度． 8．如图，AB与CD交于点O，EO⊥AB． (1)若AB在东西方向上，点C在点O的南偏西20°方向上，则点D在点O的 　 　方向上； (2)若∠EOD＝28°，求∠AOC的度数； (3)若∠AOC：∠BOC＝1：2．求∠EOD的度数． 9．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 题型04.垂线段最短实际应用 典题特征：比如从村庄修一条路到公路、从河里引水到田地、架电线到房子，让你设计最短的路线。 解题思路：把村庄/田地/房子看成一个点，把公路/河/电线看成一条直线，从点向直线作垂线，这条垂线段就是最短的路线，再按要求算长度就行 10．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是______． 11．有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 题型05.光的反射类垂线跨学科情景题 典题特征：结合镜子反光的现象，给你镜面和光线，让你算光线和镜面的夹角，或者反射光线的角度。 解题思路：先画镜面的垂线（这个叫法线），记住入射角（入射光线和法线的角）等于反射角（反射光线和法线的角），再用90°减去入射角，就能算出光线和镜面的夹角 13．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为________． 14．如图，将平面镜放置在桌面上，光线经过平面镜反射形成光线．已知，，，则的度数为 ________ ． 15．如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角_____． 16．如图，欣欣的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线垂足是点O．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 题型06.生活实物中三线八角识别 典题特征：给窗户、铁轨、直尺这些东西，能抽象出“一条截线切两条被截线”的样子，让你找同位角、内错角、同旁内角。 解题思路：先找哪条是截线（切另外两条的那条），哪两条是被截线： 同位角：在截线的同一边，两条被截线的同一侧，像“F”形； 内错角：在截线的两边，两条被截线的中间，像“Z”形； 同旁内角：在截线的同一边，两条被截线的中间，像“U”形。 17．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 18．胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知． (1)请说明的理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 19．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变． (1)请写出图中的对顶角______，内错角______，同旁内角______； (2)若测得，，求筷子的水下部分向上弯折（）的度数． 题型07.直尺三角板操作类三线八角题 典题特征：用直尺、三角板拼在一起或者移动，形成三线八角的样子，让你算某个角的度数。 解题思路：记住直尺的两边是平行的，三角板有固定的角（30°、45°、60°、90°），再用平行线的性质（两直线平行，同位角/内错角相等，同旁内角互补），结合三角板的角度来算。 20．如图，将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的大小为__________． 21．将一副三角板与直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．如图将一块含有的三角尺如图放置，点、分别在直线、上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有_____（填序号） 题型08.生活场景平行线判定题 典题特征：给铁轨、门框、管道这些生活场景，让你判断两条线是不是平行。 解题思路：找截线切两条被截线形成的角，只要满足下面任意一个，两条线就平行： 同位角相等； 内错角相等； 同旁内角互补。 23．随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 24．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度可以为（    ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向右拐，第二次向右拐 25．在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 题型09.工具操作类平行线判定题 典题特征：用直尺、三角板画平行线（比如平移三角板），或者用工具做操作，让你说为什么这样画出来的线是平行的。 解题思路：看操作过程里形成的角，比如平移三角板时，三角板的角大小不变，形成了相等的同位角，所以根据“同位角相等，两直线平行”，画出来的线就是平行的。 26．数学课上老师要求同学们利用三角板和直尺过点P作已知直线l的平行线，如图是甲、乙的作图过程．下列说法正确的是___________；（填序号） ①甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行” ②甲的作图不正确 ③乙的作图正确，依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行” ④乙的作图不正确 27．如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 28．如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 小明说． 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据． 证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（ ） ， ，理由是：（ ） (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P； 第三步：如图7，过点P画直线， 小婷说，就是过点P平行于的一条直线，小婷这样做的理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行                B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行                D．两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”． 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图． 题型10.方位方向类平行线判定情景题 典题特征：给两个地点的方位角（比如A在B的北偏东30°，C在D的南偏西30°），让你判断两条路线是不是平行。 解题思路：先画南北方向的线（所有南北线都是互相平行的），再看方位角形成的角，用内错角相等、同位角相等这些平行线的判定条件，判断路线是不是平行。 29．如图，某工程队从点A出发，沿北偏西a方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向，从点B沿北偏东方向继续铺设段，到达点D又改变方向，沿着与平行的方向铺设段，则的大小为______．（用含a的式子表示） 30．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍．不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证______． 31．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，直线分别交，于点，，已知，，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由． 题型11.纸条折叠类平行线角度计算题 典题特征：把长方形纸条折一下，形成重叠的角，让你算折完之后某个角的度数。 解题思路：记住两个关键点：① 折叠之后，重叠的两个角大小相等；② 长方形的对边是平行的。再用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合平角180°来算角度。 32．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______； 33．如图，长方形纸片沿对折后，点、的对应点分别为点，．与交于点．若，则为（   ） A． B． C． D． 34．如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型12.折线拐点类情景计算题 典题特征：两条平行线之间，有一条折线拐了一个或多个弯，让你算拐点处的角的度数。 解题思路：过拐点作一条和原来两条线都平行的辅助线，这样大角就被分成了两个小角，再用“两直线平行，内错角相等”，把小角的度数加起来，就是大角的度数。 35．如图是一盏可调节台灯，固定底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，且台灯最外侧光线组成的始终保持．调节台灯使，且光线，则此时的度数为___________． 36．如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 37．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒．忽略光线的粗细，并假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． (1)若两灯同时转动90秒，此时两灯发出的光线所在直线的位置关系是________；（填“平行”或“垂直”或“相交”） (2)设灯A转动t秒，请用含t的式子表示以下的角： 当时，光线与所成的角为________度； 当时，光线与所成的角为________度； 当时，光线与所成的角为________度； (3)若灯B先转动20秒，灯A才开始转动，在灯B发出的光线第一次到达之前，灯A转动几秒时，两灯光线所在直线互相平行？ (4)如图，若两灯同时开始转动，在灯A发出的光线第一次到达之前．其发出的光线与灯B发出的光线交于点C，过C作交于点D．探究在转动过程中，与始终满足怎样的等量关系，请直接写出结论． 题型13.三角板旋转平移角度探究题 典题特征：把三角板绕着一个点转，或者沿着一条直线移，让你找转多少度时两条线平行/垂直，或者角度的变化规律。 解题思路：先设转了x度，用三角板本来的角（30°、45°、60°、90°）表示转完之后的角，再根据平行、垂直的条件列算式，算出x是多少。 38．在一副直角三角板中，，，．现在将两个直角三角板的直角重合，与边重合，然后将含角的三角板绕直角顶点按顺时针方向每秒旋转，且旋转过程中，当旋转时间__________s时，的一条边与恰好平行． 39．先将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，，，，再将三角板绕点A顺时针转动，直到边与在同一条直线上时，停止转动．在转动的过程中，当两块三角板恰有两边平行时，的度数为______． 40．已知直线，在三角形纸板中， (1)【初步探究】将按如图1放置，点E和点G分别在直线，上，若，求的度数； (2)【深入探究】将按如图2放置，点E和点G分别在直线，上，交于点H．若，，试求，之间的数量关系； (3)【拓展应用】在图2中，若 ， ，将绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当两条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出结论即可）． 题型14.光线反射类平行线综合情景题 典题特征：用多块镜子反射光线，让你证明两条光线平行，或者算光线的角度。 解题思路：先根据“入射角等于反射角”找到相等的角，再用平行线的判定条件（同位角/内错角相等）证明平行，最后用平行线的性质算角度。 41．如图，《光的反射》课中（如下侧示意图），小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，小明测得反射光束与天花板所形成的角如下，①②③④，理论上测量正确的是_________．（填序号） 42．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 43．综合与实践． 【问题初探】如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． (1)已知，求的度数； (2)证明：； 【类比探究】 (3)如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，并且；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么_____°才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 (4)小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图1，为一镜面，为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，如图2，是两块可以分别绕A，B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，是两束反射光线．A，B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角____°；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 题型15.生活平移现象辨别题 典题特征：给电梯上下、传送带运货、窗户推拉、风车转动这些现象，让你判断哪个是平移。 解题思路：记住平移的特点：物体的形状、大小、方向都不变，只是位置变了，沿着直线移动。风车转动方向变了，不是平移；电梯、传送带、窗户推拉符合，是平移。 44．下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 45．下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 46．下列运动属于平移的是（   ） A．人在楼梯上行走 B．行驶的自行车的后轮 C．在游乐场荡秋千 D．坐在直线行驶的列车上的乘客 题型16.图形平移的实际应用 典题特征：比如给楼梯铺地毯、算平移之后图形的面积，让你算需要多长的地毯、多大的面积。 解题思路：用平移的方法，把楼梯的水平部分向上平移、竖直部分向右平移，拼成一个长方形，再用长方形的长×宽算面积，长+宽算地毯长度。 47．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为________． 48．有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 49．实验中学准备整理城北校区一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线，求此方案中小路所占的面积（即阴影部分的面积）； (3)方案三：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的植物园．在这块空地上能否修建出符合要求的植物园？请说明理由． 题型17.相交线平行线综合压轴题 典题特征：把相交线、垂线、平行线、折叠、旋转这些知识点混在一起，出一个复杂的题，有好几问，让你推理和计算。 解题思路：把大题拆成一个一个小问题，先看每一问用到哪个知识点，比如第一问用对顶角相等，第二问用平行线判定，第三问用辅助线，一步一步推理，不要跳步，每一步都用学过的性质和判定。 50．如图，是生活中常见的一种躺椅，躺椅的靠背侧面有滑槽，扶手可以沿着滑槽上下移动，调节位置，前、后支撑腿之间的夹角可以调节．某数学小组对其结构进行了简单探究，过程如下： 【作图】：据实物画出躺椅的侧面结构示意图，如图所示，为躺椅的扶手，为底座，为靠背，、为前、后支撑腿． 【测量】：扶手与底座平行，与靠背相交于点M，与前、后支撑腿、相交于点O．前、后支撑腿、与底座CD分别相交于点G、D． 【探究】： (1)如图1，若底座与靠背的夹角（即）为，前、后支撑腿的夹角（即）为，平分，通过计算说明：； (2)通过多次调节躺椅的前、后支撑腿之间的夹角和扶手的高度，同学们发现，当前支撑腿与靠背平行，前、后支撑腿互相垂直，且后支撑腿与底座的夹角（即）为时（如图2），人躺上去非常舒适，求此时的度数． 51．【课题学习】研究两条平行线间的拐点问题． (1)【模型研究】如图1，，，交于点，，，则的度数是______． (2)【深化拓展】如图2，若，点在，的外部，请写出，，之间的关系并说明理由． (3)【实际应用】爱动脑的小菲发现书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图3所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行，即时，若，，求的度数． 52．年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节 目中的机器人名为，  将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更 体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】图是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面保持水平，此时， ，则的度数是多少？ 【思考过程】依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 请完成下面推理过程． (1)解：如图，过点作，过点作，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴（          ）， ∴， ∵， ∴ （         ）， ∴ ． 【迁移应用】 如图，在一款手推车的平面示意图中． (2)若，，则 ； (3)写出之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 (4)如图，，直线交于点，交 于点，点是线段上的 一 点，，平分，平分，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $