精品解析：海南万宁市北京师范大学万宁实验学校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

北师大万宁实验学校2025-2026学年第二学期期中考试(高二) 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 命题：高一数学组 审题：高一数学组 一、选择题（共8题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得：， 因为，所以. 2. 若成等差数列；成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列定义及等比中项性质即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以， 又由等比中项性质，，所以， 又设公比为，，所以 所以 . 故选：A. 3. 设A，B为两个事件，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因， 则. 4. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 40个 B. 48个 C. 52个 D. 64个 【答案】C 【解析】 【分析】分0，2，4作为尾数三种情况讨论，结合排列知识可得答案. 【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4 若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为； 若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种； 若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种. 则满足题意的偶数共有：种.故选：C 5. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 7 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 6. 已知，则被8除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】两边求导数，赋值令可转化为求被8除的余数，根据二项展开式可转化为求被8除的余数. 【详解】已知， 两边取导数可得，， 令，可得， 而， 所以被8除的余数即为被8除的余数， 而被8除的余数为2， 故选：B 7. 已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可求解. 【详解】由题意知对任意恒成立， 所以对任意恒成立. 记，则， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 所以，故a的最小值为. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件，把复杂不等式转化为简单函数，求导，利用导数分析单调性和极值，进而求出的取值范围． 【详解】已知函数对恒成立， 则， 令，求导得， 单调递增， ，由单调性得，即， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值：， 要使恒成立，只需满足， 的取值范围是． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的部分分，有选错的0分.） 9. 若，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】利用组合数的计算即可求解 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：BC. 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐项判断即可. 【详解】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故 A正确； 选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则，，则为常数，数列也是等差数列，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 曲线在处的切线与直线垂直 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；由导数的几何意义以及数形结合可判断C选项；设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程得，令，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 由可得，故函数的单调递减区间是，A对； 对于B选项，因为，且， 故曲线在处的切线方程为，B错； 对于C选项，由可得，故函数的单调递增区间为， 故函数的极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由于，故当点与原点重合时，点P到直线距离取最小值， 且最小值为，C对； 对于D选项，设切点为，则切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，可得， 令，其中，则， 由可得或，由可得， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 故函数的极小值为，极大值为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D对. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量X的分布列如图： X 0 1 p a 则a=______；设，则Y的数学期望=______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】； . 13. 已知数列的前n项和为，则的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系求解． 【详解】当时，， 当时，， 又当时，不满足该式， ∴ 14. 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.则______；______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据导数图象确定原函数单调性，进而确定极值点，从而列方程，解方程即可得各参数值. 【详解】由图象可知当上时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取得极大值，即； 又，， 则， 解得， 即， 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 3个男生与3个女生站成一排． （1）若要求3个男生互不相邻，有多少种排法？ （2）若要求男生甲必须站在男生乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？ （3）若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用插空法求解； （2）顺序一定的排列问题，用倍缩法求解； （3）利用捆绑法，先排小团体，再和其他元素一起全排列. 【小问1详解】 先排好3个女生，产生4个空，从中选3个空排男生，共有种方法； 【小问2详解】 法一：共有6个位置，先排甲和乙之外的4人，有种方法，剩下的2个位置排甲和乙，有1种排法， 所以共有种方法； 法二：首先6个人全排列，再除以甲和乙全排列的顺序，即种方法； 【小问3详解】 先从甲和乙之外的4人选1人，站在男生甲和男生乙之间，这3人看成一个元素，甲和乙全排列，有种方法， 再和其他的3人，共看成4个元素全排列，有种方法，所以共有种方法. 16. 将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， （1）设一个正方形的边长为，用函数关系式表示两个正方形的面积和 （2）要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 【答案】（1） （2）两段铁丝的长度均为. 【解析】 【分析】（1）设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为且，进而可得两个正方形的面积； （2）利用导数求面积的最小值，进而确定最小时两段铁丝的长度(两个正方形的周长). 【小问1详解】 设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， ∴两个正方形的面积和； 【小问2详解】 由（1）得， ∴时， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为. 综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 17. 已知等差数列，若，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，设，求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由，且，，成等比数列这两个条件列出和的方程组可求解出，从而可得数列的通项； （Ⅱ）把（Ⅰ）解得的代入中，化简得 ，然后利用裂项相消法求和. 【详解】解：（Ⅰ）∵，∴① ∵，，成等比数列，∴，∴化简得， 若， 若，②，由①②可得，， 所以数列的通项公式是或 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ∴ 【点睛】此题考查了等差数列的基本量运算，裂项相消求和法，属于基础题. 18. 袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. （1）求袋中所有的白球的个数； （2）求随机变量的分布列； （3）求乙取到白球的概率. 【答案】（1） （2）分布列答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设袋中的白球个数为，由组合计数原理结合古典概型的概率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （3）记事件乙取到白球，可得出，结合（2）中的分布列可求得结果. 【小问1详解】 解：设袋中的白球个数为，由题意可得， 整理可得，又因为且，解得， 因此，袋中白球的个数为. 【小问2详解】 解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、， 则，，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 【小问3详解】解：由题意可知，记事件乙取到白球，则事件即为“第二次或第四次取到白球”， 所以，. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）可知，当时，恒成立， 即，也就是， 所以，，，， 累加求和得， 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）根据，可知存在，使得，即，从而可得极小值为，求出，从而可得a的取值范围； （3）由（2）可知，当时，恒成立，即，令可得，，，，两边求和可证. 【小问1详解】 当时，，， 则， 故切线的方程为， 即； 【小问2详解】 由于， 当时，定义域为， 由于趋于时，趋于，而趋于， 所以不能恒成立， 因此，此时定义域为， 又， 根据函数和的图象性质， 可知存在，使得，即， 且当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以为函数的极小值点， 极小值为 设，则恒成立， 则在上单调递减，且， 所以，又因为， 则，即a的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大万宁实验学校2025-2026学年第二学期期中考试(高二) 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 命题：高一数学组 审题：高一数学组 一、选择题（共8题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若成等差数列；成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 设A，B为两个事件，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 40个 B. 48个 C. 52个 D. 64个 5. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 7 C. 21 D. 22 6. 已知，则被8除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的部分分，有选错的0分.） 9. 若，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 曲线在处的切线与直线垂直 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量X的分布列如图： X 0 1 p a 则a=______；设，则Y的数学期望=______. 13. 已知数列的前n项和为，则的通项公式为______． 14. 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.则______；______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 3个男生与3个女生站成一排． （1）若要求3个男生互不相邻，有多少种排法？ （2）若要求男生甲必须站在男生乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？ （3）若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？ 16. 将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， （1）设一个正方形的边长为，用函数关系式表示两个正方形的面积和 （2）要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 17. 已知等差数列，若，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，设，求数列的前项和． 18. 袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. （1）求袋中所有的白球的个数； （2）求随机变量的分布列； （3）求乙取到白球的概率. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $