精品解析：海南省华中师范大学陵水顺湖中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

华中师范大学陵水顺湖中学2025-2026学年上学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟总分：150分 第Ⅰ卷（73分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A 1 B. C. 2 D. 3. 一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在直线方程为（ ）. A. B. C D. 6. 已知，直线，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 正方体的棱长为4，E是的中点，则E到直线的距离为（ ） A B. C. D. 8. 已知圆，直线，若与圆交于，两点，设坐标原点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ） A. B. C. 与成60°角 D. 与是异面直线 10. 已知圆关于直线对称，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆的圆心是 B. 圆的半径是4 C. D. 的取值范围是 11. 如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸垂直； ②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上； ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于. 经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（ ） A. 新桥的长为 B. 圆心可以在点处 C. 圆心到点的距离至多为 D. 当长为时，圆形保护区的面积最大 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，则_______. 13. 已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量坐标为______． 14. 直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为__________. 第Ⅱ卷（77分） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 （1）求过点A且与平行的直线方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线方程； （4）边的垂直平分线的方程. 16. 如图，在正方体中，正方体的棱长为2，E为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点B到平面的距离. 17. 已知圆心在直线上，且过点、． （1）求的标准方程； （2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程． 18. 已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当，求的方程及的面积． 19. 如图，三棱柱中，，底面，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，是棱上的动点. （1）当为何值时，平面平面? （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华中师范大学陵水顺湖中学2025-2026学年上学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟总分：150分 第Ⅰ卷（73分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间直角坐标系定义即对称性即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是. 故选：B 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A 3. 一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可． 【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错； 对于选项B中，直线的直线的，∴B错； 对于选项C中，直线的直线的∴C对； 对于选项D中，直线的直线的∴D错． 故选：C． 4. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】结合图形，易得 又因为点M，N分别为，的中点， 故，，， 所以. 故选：A. 5. 一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析出反射光线过直线与轴的交点，且倾斜角与直线的倾斜角互补，故而可求反射光线所在的直线方程. 【详解】令得，所以直线与轴的交点为， 又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故选：B. 6. 已知，直线，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 7. 正方体的棱长为4，E是的中点，则E到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的各边长，求出的余弦，再得正弦，最后可得的边上的高 【详解】如图，在正方体中，易得，， 正方体中，平面，平面，所以， ， ，又， 所以， 所以E到直线的距离为， 故选：D 8. 已知圆，直线，若与圆交于，两点，设坐标原点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线求出定点得出圆心，再结合数量积公式得，最后结合不等式性质计算得出最大值即可. 【详解】由于， 故恒过定点，这恰好是圆的圆心，同样记该点为. 所以，且，同时显然有. 所以. 从而，得. 故 ，从而，故. 另一方面，对，，直接计算可知的中点为，且. 故，均在圆上，此时， 而，故. 综上，的最大值是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是得出应用向量数量积公式化简求解. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ） A. B. C. 与成60°角 D. 与是异面直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】由展开图翻折成正方体，根据正方体的性质判断直线间的位置关系． 【详解】展开图翻折成的正方体如图所示，因为，，因此，所以A错误；同理，，所以，B正确； 或其补角是与所成的角，又△是等边三角形，所以，所以与所成的角是，C正确. 又平面，且与不平行，故与是异面直线，D正确. 故选：BCD. 10. 已知圆关于直线对称，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆的圆心是 B. 圆的半径是4 C. D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆的一般方程的定义和性质可判断，利用选项C的结论结合基本不等式可判断D. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，所以该圆的圆心为，半径为2，故选项A正确，选项B不正确． 由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故选项C正确． 由选项C知，所以，所以的取值范围是，故选项D正确． 故选：ACD． 11. 如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸垂直； ②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上； ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于. 经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（ ） A. 新桥的长为 B. 圆心可以在点处 C. 圆心到点的距离至多为 D. 当长为时，圆形保护区的面积最大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，联立求出点的坐标判断A；设，由题意列出不等式组，再结合代换求得的范围，判断BCD. 【详解】如图，以为 轴建立直角坐标系，则，， 依题意，直线的斜率，直线方程为：， 直线的斜率，则直线方程为， 由，解得 ，即，，A正确； 设，即，直线的一般方程为， 圆的半径为，显然，由，得， 则，解得，即长的范围是，B错误，C正确； 当，即长为时，圆的半径最大，圆形保护区的面积最大，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：某些实际应用问题，由题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】, 则， 故答案为： 13. 已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，由空间向量的坐标运算求解数量积与模长，再结合投影向量的公式，即可求解． 【详解】直线的方向向量为，， 则，， 则向量在直线上的投影向量坐标为：． 故答案为：． 14. 直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，圆心到直线的距离，求出斜率，由此能出直线的方程． 【详解】直线过点且与圆相切， 圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 故答案为：或． 第Ⅱ卷（77分） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 （1）求过点A且与平行的直线方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线方程； （4）边的垂直平分线的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）根据平行求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （2）求出线段中点坐标，分析可得直线方程. （3）利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （4）求出线段中点坐标，利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. 【小问1详解】 的斜率：， 所求直线的方程为，整理得. 【小问2详解】 因为，，所以的中点坐标为， 因为，所以边上的中线所在直线的方程为. 【小问3详解】 的斜率：， 所以边上的高所在直线方程的斜率， 边上的高所在直线方程为，整理得. 【小问4详解】 由题意知：的中点坐标为，， 边的垂直平分线的斜率：， 边的垂直平分线的方程为，整理得. 16. 如图，在正方体中，正方体的棱长为2，E为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）求点B到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以A为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系向量法即可证出； （2）求出平面的一个法向量，再根据线面角的向量公式即可求出； （3）根据点到平面的距离向量公式即可求出． 【小问1详解】 以A为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系， 则 ，，， ，， ， ∴； 【小问2详解】 因为正方体的棱长为2，，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，∴， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（Ⅱ）知，平面所的法向量为， 所以点B到平面的距离， ，. 17. 已知圆心在直线上，且过点、． （1）求的标准方程； （2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由、两点坐标求出直线的垂直平分线的方程与直线上联立可得圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，即可得圆的标准方程； （2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理结合勾股定理列方程求出的值，即可得直线的方程． 【详解】由点、可得中点坐标为，， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 可得直线的垂直平分线的方程为：即， 由可得：，所以圆心为， ， 所以的标准方程为， （2）设直线的方程为即， 圆心到直线的距离， 则可得， 即，解得：或， 所以直线的方程为或， 即或 18. 已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当，求的方程及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【小问1详解】 设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. 【小问2详解】 当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故面积 19. 如图，三棱柱中，，底面，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，是棱上的动点. （1）当为何值时，平面平面? （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，设，求出两相关平面的法向量，由求出z即可求解； （2）求出两相关平面的法向量，由. 【小问1详解】 因为底面，底面， 所以，又即， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 由题， 则， 设，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则，，则，， 取，则， 若平面平面，则， 此时，即G为线段的中点， 所以当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）平面一个法向量为，且， 设为平面的一个法向量，则， 所以，取，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $