精品解析：海南海口中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学(A卷)

海口中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学（A卷） 时量: 120分钟 分值: 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）． A. B. C. 对任意， D. 5. 已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某民俗文化景区，在即将到来的五一假期，预计需要增派6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（ ） A. 360 B. 450 C. 540 D. 1020 7. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 8. 已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 数据的第25百分位数是1 B. 若事件的概率满足且，则相互独立 C. 已知随机变量，若，则 D. 若随机变量，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 11. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线经过点，其方程为 C. 曲线围成的图形面积小于 D. 存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 13. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 14. 已知函数，若的最大值为0，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； （2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 16. 已知函数 （1）若在区间上的最大值为，求m的最小值； （2）在中，D为边BC中点，若，求的面积. 17. 已知椭圆经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为k的直线l与椭圆交于，两点，点不在直线l上，直线，分别交直线于点，.试探究：四边形DMEN是否为平行四边形?证明你的结论. 18. 如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； （3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 19. 已知函数，其中. （1）若函数在处取得极大值0，求的值； （2）函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学（A卷） 时量: 120分钟 分值: 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法及复数的定义即可得到答案． 【详解】由， 所以复数 的虚部是． 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，再由交集的定义求解即可. 【详解】由解得，， 由解得，， 故得． 3. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由圆锥曲线，可知， 则，所以，曲线为双曲线， 所以焦距为， 解得，则， 所以离心率. 4. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）． A. B. C. 对任意， D. 【答案】D 【解析】 【详解】对A：当，时，不等式不能成立； 对B：当，时，不等式不能成立； 对C：当时，不等式不能成立； 对D：因为，所以函数在上单调递增，又，所以恒成立.故D正确. 5. 已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列定义、数列单调性意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若等比数列是递增数列，则或，则必有； 取，数列的公比，而数列是递减数列， 所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 某民俗文化景区，在即将到来的五一假期，预计需要增派6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（ ） A. 360 B. 450 C. 540 D. 1020 【答案】C 【解析】 【详解】将6名工作人员按1、2、3或1、1、4或2、2、2分成3组安排到三个不同的景点. 按1、2、3分组，则有种安排方法； 按1、1、4分组，则有种安排方法； 按2、2、2分组，则有种安排方法； 则不同的安排方法种数为. 7. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 8. 已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数关于对称，然后对函数求导得出在上单调递增，在上单调递减，最后根据单调性和对称性列出不等式，进而求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 所以函数关于对称. 当时，，求导得. 因为，所以，所以，又，所以. 所以在上单调递增，根据对称性，那么函数在上单调递减， 所以若成立，根据单调性和对称性可得 ，即， 平方得，化简得， 解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 数据的第25百分位数是1 B. 若事件的概率满足且，则相互独立 C. 已知随机变量，若，则 D. 若随机变量，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据百分位数分析运算；对于B：根据条件概率和独立事件分析判断；对于C：根据二项分布的方差以及方差的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断. 【详解】对于选项：8个数据从小到大排列，由于， 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误； 对于选项：由，可得， 即，可得， 所以相互独立，故B正确； 对于选项C：因为，则，故C正确； 对于选项D：因为随机变量， 由正态曲线的对称性可得：，则， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，证得和，得到，可判定A正确；连接，证得，利用线面平行的判定定理，可证得B正确；连接，结合，可判定C错误；分别取的中点，构造长方体，结合正方体的性质和球的表面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，如图所示，在正方体中，连接， 因为分别是的中点，所以, 又因为，所以，所以四点共面， 即当与点重合时，四点共面，所以A正确； 对于B中，连接，当是的中点时， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面，所以B正确； 对于C中，连接，因为， 则，所以C错误； 对于D中，分别取的中点，构造长方体， 则经过四点的球即为长方体的外接球， 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过四点的球的表面积为，所以D正确. 故选：ABD 11. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线经过点，其方程为 C. 曲线围成的图形面积小于 D. 存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，再运用曲线的对称性、放缩解决曲线所围图形面积以及整点的概念，分别分析每个选项. 【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（）， 由已知，即. 若点在曲线上，则也满足曲线方程， 所以曲线关于直线对称，A选项正确. 对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误. 对于C，，则， 所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确. 对于D，由于，所以， 由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点， 则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，， 此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意; 当整点为时，，此时整点均在曲线上， 且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，求出曲线方程，后运用性质，如对称性，整点，面积借助放缩成半圆即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解. 【详解】由题可得二项式展开式通项公式为， 所以当时得展开式常数项为. 故答案为： 13. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设出各个事件，根据条件，结合全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”， 则， 根据全概率公式可知 . 故答案为： 14. 已知函数，若的最大值为0，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，结合的取值范围可求得当时，函数有最大值，进而可得到，代入，构造函数，再次利用导数可求得其值域. 【详解】由，得， 当时，，则在R上单调递减，无最大值，不符合题意； 当时，令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，函数有最大值， 即，得， 所以， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 故的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； （2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 【答案】（1） （2）①；②是理想的，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用组合数和对立事件概率公式直接求解即可； （2）①利用最小二乘法直接求解即可； ②分别将和代入回归直线方程，由此可得预估值，与检验数据之差的绝对值均不超过2可确定结论. 【小问1详解】 记事件为“选取的2组数据是不相邻的两个月”， 则 【小问2详解】 ①由题意，，. 1 3 2 4 8 5 则， 即， 所以关于的经验回归方程为. ②当时，； 当时，. 所以该小组所得经验回归方程是理想的. 16. 已知函数 （1）若在区间上的最大值为，求m的最小值； （2）在中，D为边BC中点，若，求的面积. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）中函数求出角，再利用数量积的运算律求出，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 函数， 由，得，由在上的最大值为， 得，解得，所以m的最小值为. 【小问2详解】 由（1）及，得，而，则， 则或，解得或， 由D为边BC中点，得，又，则， 由，得，显然，则，即， 由余弦定理得，则， 解得，经验证符合题意， 所以的面积. 17. 已知椭圆经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为k的直线l与椭圆交于，两点，点不在直线l上，直线，分别交直线于点，.试探究：四边形DMEN是否为平行四边形?证明你的结论. 【答案】（1）； （2）四边形DMEN是平行四边形，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点，离心率为，，联立方程可求解，，得到椭圆标准方程； （2）由直线过，斜率为，得到直线的方程，与椭圆联立方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到两点横坐标的和与积的关系式；求出直线，的直线方程，令，分别得到的纵坐标表达式，根据中点与中点重合，得到四边形是平行四边形. 【小问1详解】 椭圆经过点，离心率为 ， ，解得，. 椭圆的方程为. 【小问2详解】 四边形是平行四边形，理由如下： 依题意，可设直线的方程为，，，如图所示. 联立，消去，整理得； 由韦达定理得， ，，则直线的直线方程为； 当时，，得； 同理可求得. 同时，. ， ； ，； ，，即对角线，的中点重合； 四边形的对角线平分，即四边形是平行四边形. 综上，四边形是平行四边形. 18. 如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； （3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）的大小为 （3）线AQ与直线所成角的范围为 【解析】 【分析】（1）在平面内找到一条与平行的直线，由线线平行去证明线面平行即可； （2）建立坐标系，将坐标分别用表示出来，再根据平面与平面所成夹角的余弦值为列出方程求解； （3）由所给的条件分析出点的轨迹，再去利用向量数量积公式去求解夹角余弦值的取值范围，从而得到夹角的取值范围. 【小问1详解】 证明： 延长交于点Q，连接， 因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点， 又因为是圆柱的母线，所以平行且相等， 所以易得相交与点，是的中点，则在中，， 又因因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内， 所以平面. 【小问2详解】 由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，所以设，则， 可得点坐标为，，，， 则， 由题意平面在平面内，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则解得，所以， 又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍）， 且因为，则，即. 【小问3详解】 因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为） 所以为直角三角形，且， 所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为 所以设点且，又因为点为，所以， 而，所以， 又因为，所以， 且因为，所以， 所以直线AQ与直线所成角的范围为. 19. 已知函数，其中. （1）若函数在处取得极大值0，求的值； （2）函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由已知列出方程求解并验证即可. （2）（i）利用导数的几何意义求出曲线在点和点处的切线方程，再利用反证法推理证明；（ii）等价变形给定不等式并构造函数，由求出的范围，再利用放缩法，结合导数推理证明即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由函数在处取得极大值0，得，解得， 此时，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在单调递减，在处取得极大值， 所以. 【小问2详解】 （i）函数，求导得， 设点和点，不妨令， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为， 假设与重合，则， 化简得，则， 即，令， 求导得，函数在上单调递增， 因此，即无解，即与不重合， 所以对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ⅱ）当时，不等式 ，令， 依题意，不等式在上恒成立，必有，解得， 当时，， 令函数，求导得， 当时，由，则， 函数在上单调递增，因此； 当时，令函数，求导得， 函数在上单调递增，，函数在上单调递减，， 因此对，，则当时，恒成立， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $