精品解析：海南琼海市嘉积中学2025-2026学年高一第二学期随堂练习（二）数学试题

琼海市嘉积中学2025-2026学年度第二学期高一年级随堂练习（二） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再利用虚部的定义可得答案. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 若向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将平方，利用数量积的运算律即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以. 4. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，根据投影向量的定义得，代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以在方向上的投影向量是， 故选：C. 5. 设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用判断出三角形为直角三角形． 【详解】由， 利用正弦定理：， 整理得， 因为，所以，故， 故． 所以为直角三角形. 故选：D． 6. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，由正弦定理可得，然后在中，由，即可得到结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，则， 在中，. 故选：C 7. 已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将的模求出，运用向量的数量积的性质求出的范围. 【详解】因为，所以，又，且和的夹角为， 所以， 由题意可知，且与不共线， 由，得出，解得， 如果与反向共线，则， 综上所述. 8. 在中，角所对的边分别为，已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合余弦定理及基本不等式即可求解. 【详解】解：， 由正弦定理得， ， ， ，三角形中， 所以，又，所以； 由，所以，当且仅当时，取等号， 又，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为1， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数模的意义、乘法运算，结合共轭复数的意义逐项计算判断. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：ABC 10. 在中，角所对的边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 【答案】AD 【解析】 【分析】结合正弦定理、三角函数单调性与诱导公式、三角形解的个数判断等知识点，对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A：在中，由大角对大边知，若，则， 由正弦定理得，故本选项正确； 选项B：若为锐角三角形，则，， 所以，即， 由于，正弦函数在上单调递增， 因此，故本选项错误； 选项C：若，由得，则有两种情况： ①即，为等腰三角形； ②即，为直角三角形， 因此可能为等腰三角形或直角三角形，故本选项错误； 选项D：由正弦定理得， 又，故，可为锐角或钝角， 当为钝角时，，所以，满足，因此有两解，故本选项正确． 11. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 则， ，则， 所以， 对于A，若，则，，故A错误； 对于B，若，则，则为定值，故B正确； 对于C，由可得， 若点在线段上，即三点共线，所以， 即为定值，故C正确； 对于D，若，即，即， 令， 则，其中， 当时，，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形（如图所示），其中底角为，腰长为2，则原平面图形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知：，， 则，可得， 所以原平面图形的面积是. 13. 若复数满足，则的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【详解】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合圆的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果. 详解：依题意，设复数， 因为，所以有， 由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 因为表示圆周上的点到原点的距离， 所以的最大值为，所以答案为2. 14. 在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将往上思考，再根据与的关系和三点共线的性质求出m，n最后得出答案. 【详解】由题知，，， 设, 因为三点共线，所以，解得，则， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可求； （2）根据向量共线的坐标表示求得. 【小问1详解】 因为，则， 又因为，则，解得， 则，所以. 【小问2详解】 由题意可得：， 因为∥，则，解得. 16. 已知复数，其中. （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数的类型求参； （3）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由，得，解得或. 【小问2详解】 由是纯虚数，得， 解得，所以. 【小问3详解】 由对应的点在第一象限，得， 解得且， 所以的取值范围为. 17. 如图，在中，，为延长线上的一点，，． （1）若，求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，结合三角形内角和及外角性质求出，最后在中利用正弦定理求出的长； （2）利用余弦定理求出的长，进而求出，确定的形状，然后根据面积公式求解. 【小问1详解】 在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 ． 【小问2详解】 因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则，在中，， 所以的面积为 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，且，，求边的长度； （3）若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解； （2）结合角分线的性质及三角形面积公式化简可得解； （3）由正弦定理进行边角互化可得，结合三角恒等变换可得，结合三角函数性质可得取值范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可知，即， 又由余弦定理可知， 又，则； 【小问2详解】 由已知的角平分线交于点， 则， 又在中，， 即， 即， 解得； 【小问3详解】 由正弦定理可知， 则，， 又在中，， 则周长， 因为为锐角三角形， 则，即， 则， 所以， 故周长. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值； （3）当向量时，伴随函数为，函数，若在区间上的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将函数的解析式利用两角和的正弦公式展开并合并同类项，结合伴随向量的定义可求出向量； （2）利用辅助角公式化简函数的解析式，由已知条件可得出，利用同角三角函数的基本关系可求出的值，结合两角差的正弦公式可求出的值； （3）设，可得出，于是得出在区间上的最小值为，进而对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，结合最值可求得实数的值. 【小问1详解】 因为， 结合题意可知，函数的伴随向量为. 【小问2详解】 由题意可得， 若，可得， 因为，则，则， 因此， . 【小问3详解】 由题意可得，， 设， 则，故， 当时，，则， 则，且二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 因为，解得； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，不合乎题意. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市嘉积中学2025-2026学年度第二学期高一年级随堂练习（二） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 若向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 6. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边分别为，已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角所对的边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 11. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形（如图所示），其中底角为，腰长为2，则原平面图形的面积是___________． 13. 若复数满足，则的最大值为________． 14. 在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若与共线，求的值. 16. 已知复数，其中. （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点在第一象限，求的取值范围. 17. 如图，在中，，为延长线上的一点，，． （1）若，求的长； （2）若，求的面积． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，且，，求边的长度； （3）若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值； （3）当向量时，伴随函数为，函数，若在区间上的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $