2025-2026学年人教版八年级数学下册专题二《勾股定理》期末高频考点练习作业

**基本信息** 聚焦勾股定理核心应用，通过基础判断、几何综合与实际情境题，构建“概念-推理-建模”知识逻辑链，强化空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-2、填空13|直角三角形判定与边长计算|勾股定理及逆定理的直接应用| |几何综合|选择3-4、9-12、填空14|结合四边形、网格、折叠与弦图|从平面图形到空间想象的逻辑延伸| |实际情境|选择5-8、16、解答17-23|楼梯地毯、卡车过隧道、蚂蚁爬行等|数学眼光观察现实问题，数学思维解决实际问题| |历史文化|填空15|引葭赴岸问题|传统数学文化与现代解题方法结合|

2026年人教版八年级数学下册专题二 《勾股定理》期末高频考点练习作业（原卷版） 时间：60分钟，总分：100分 班级____________姓名____________学号____________得分____________ 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．，2， 2．如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，则∠BCD的度数是（    ） A．90° B．120° C．135° D．150° 4．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和11，则的面积为（   ） A．4 B．16 C．22 D．55 5．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）米． A．5 B．7 C．8 D．12 6．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（    ） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 7．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 10．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 12．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13．直角三角形中，，，则的长为________． 14．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使落在斜边上，折痕为，则的长为__． 15．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______尺． 16．长方体的长、宽、高分别为8cm、4cm、5cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是__________ 三、解答题（共52分） 17．在中，，，，求的面积． 18．如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 19．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，求图中阴影部分的面积． 20．如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？ 21．如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 22．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 23．有一块四边形草地（如图），测得，，，． (1)求的度数； (2)求四边形草地的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年人教版八年级数学下册专题二 《勾股定理》期末高频考点练习作业（解析版） 时间：60分钟，总分：100分 班级____________姓名____________学号____________得分____________ 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个 选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．，2， 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 【详解】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、62+82=102，能构成直角三角形，故此选项不合题意； C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不合题意； D、（）2+22=（）2，不能构成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 2．如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出斜边长，再结合数轴即可解答． 【详解】解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为， ∴点A所表示的数为，即选项C符合题意． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，则∠BCD的度数是（    ） A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】连接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求∠BCD． 【详解】解：如图所示，连接AC， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是连接AC，并证明是直角三角形． 4．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和11，则的面积为（   ） A．4 B．16 C．22 D．55 【答案】B 【分析】根据“”可得到，由勾股定理可得到b的面积的面积的面积． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴b的面积的面积的面积． 5．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）米． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】B 【详解】根据勾股定理求得楼梯的水平宽度==4，然后由地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4=7米． 故选B． 点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是要明确地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和. 6．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（    ） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【答案】B 【分析】根据题意得：OD=0.8米，OC=OB=1米，DH=2.3米，在 中，由勾股定理可得CD=0.6米，从而得到CH=2.9米，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：OD=0.8米，OC=OB=1米，DH=2.3米， 在 中，由勾股定理得： 米， ∴ 米， ∴卡车的外形高必须低于2.9米． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，， 则， 即该竹竿的顶端离地竖直高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 8．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为． 【详解】解：由题意得， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查与直角三角形的三边有关的图形的面积，根据题意，得到小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：中间小正方形的边长， ∴小正方形的面积为：； 故选C． 10．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据勾股定理求出的长度即可判断A，B，C选项，然后利用勾股定理逆定理得到，最后根据度角直角三角形的性质即可判断D选项． 【详解】根据勾股定理可得，，故A选项正确，不符合题意； 根据勾股定理可得，，故B选项正确，不符合题意； 根据勾股定理可得，，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理和网格的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故选：A． 12．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13．直角三角形中，，，则的长为________． 【答案】15或/或15 【分析】需分为斜边和为直角边两种情况讨论，利用勾股定理计算的长． 【详解】∵，故分两种情况讨论： ①当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； ②当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； 综上所述，的长为15或． 14．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使落在斜边上，折痕为，则的长为__． 【答案】6 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理．根据勾股定理可求得，由折叠的性质可得，，，进而得到，，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，，， ， 根据折叠的性质可得，，，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为：6． 15．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______尺． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理的应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键． 将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知尺，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故水深12尺，芦苇长13尺， 故答案为：12． 16．长方体的长、宽、高分别为8cm、4cm、5cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是__________ 【答案】cm 【分析】将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出AB长． 【详解】解：如图所示， 路径一：AB＝； 路径二：AB＝； 路径三：AB＝ ∵ ， ∴cm为最短路径． 【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答． 三、解答题（共52分） 17．在中，，，，求的面积． 【答案】54 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得： 即 解得 因此 答：的面积为． 18．如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 19．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，求图中阴影部分的面积． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，，，利用三角形面积公式表示出阴影面积即可得答案． 【详解】解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∵，，， ∴阴影部分的面积 ， ∵， ∴阴影部分的面积． 20．如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】台风中心经过小时从B点移到D点，在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【分析】由勾股定理解得BD的长，继而解得台风从B点移到D点的时间，即可解得BE的长，及从点B到点E的时间，据此解题． 【详解】解：在ΔABD中，根据勾股定理，BD===240(km）， 则台风中心经过240÷25=小时从B点移到D点， 如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小时）， ∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21．如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 【答案】把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案． 【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； ∵， ∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 22．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1)48米 (2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 23．有一块四边形草地（如图），测得，，，． (1)求的度数； (2)求四边形草地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用， （1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得； （2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论． 正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键． 【详解】（1）解：连接， ，． 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， ； （2）过作于， ， ， ， 四边形草地的面积， 答：四边形草地的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $