期末压轴专题01 二次根式的运算、规律、新定义问题五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 以二次根式性质为基础，通过五类综合题型构建“方法总结-技巧提炼-典例变式”的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质化简|1例+3变式|分解质因数法、符号绝对值处理|从定义到含数轴条件的综合化简| |混合运算|1例+3变式|运算顺序优化、分母有理化技巧|基础运算到多步骤综合计算| |复合化简|1例+3变式|配方法、待定系数法|单层根式到复合根式的转化| |规律探究|1例+3变式|特例归纳法、通项验证|从具体算式到一般规律的抽象| |新定义问题|1例+3变式|定义转化法、化归常规运算|新概念理解到二次根式应用|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题01二次根式的运算、规律、新定义 问题五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用二次根式的性质化简 类型二、二次根式的混合运算 类型三、复合二次根式的化简 类型四、二次根式中的规律探究问题 类型五、二次根式中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用二次根式的性质化简 方法总结 1.化简条件：被开方数为非负，且不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简步骤：将被开方数分解质因数或因式分解，将完全平方（立方）部分开方到根号外。 解题技巧 1.先分解后开方：将被开方数写成a2x劝的形式，√a西=aW6(≥0)。 注意符号：若根号外字母可能为负，开方后需加绝对值（如ya2=a)。 例1.(25-26八年级上上海浦东新期末)化简：V48x5y= 【变式1-1】(25-26八年级上·上海青浦·期末)当a<0时，化简， 4a 6 【变式1-2】(25-26八年级上·上海浦东新·期末)己知实数α、b在数轴上的位置如图所示，化简： la-b-/(b-1)2= -2-1à0162→ 【变式1-3】(25-26七年级上湖南株洲期末)己知有理数Q、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简： M(c-b)2+ia"-b-a=_. 1/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、二次根式的混合运算 方法总结 1.运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号内，同级运算从左到右。 2.化简统一：先将各二次根式化为最简形式，将除法转化为乘法（乘以倒数），再合并同类二次根式。 解题技巧 1.活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律，简化计算。 2.有理化先行：遇分母含根式，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。 例2.（25-26八年级上山西太原期末)计算： 058 ②4-V+24-v6 √6 【变式2-1】(25-26八年级上广东深圳期末)计算： s-+5 23+23-2例+ √2 【变式2-2】(25-26八年级上江西宜春期末)计算： (1)6x√2-√27+18÷√6； is得8-r 【变式2-3】(25-26八年级上宁夏银川期末)计算 (1)32-18; 227+2 3 s5-58: 类型三、复合二次根式的化简 方法总结 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.配方法：将复合根式化为a+b士2yab的形式，使其匹配完全平方公式。 2. 待定系数：令原式等于及士厅，两边平方后对比系数，解方程组求x、y 解题技巧 1,先判大小：比较内外层根号下数值大小，确定结果为天±√不，避免绝对值讨论。 2.平方试探：对原式平方后化简，再开方，注意符号选择。 例3.(25-26八年级上湖南怀化期末)阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平 方公式及二次根式的性质化去一层根号.如：化简：V3+2√2 解：因为3=1+2且√2=1×2，所以3+2V2=12+(N2)2+2×1×V2=(1+√2)2，所以 3+2W2=V0+√2=1+2， (1)仿照上述方法化简：①V5+2√6；②√9-6√5. ②t较1-2N50与3-2履的大小 【变式3-1(2425八年级上·湖南永州期末)像√4-2√5，√√48-√45，这样的根式叫做复合二次根式.有 一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： V4-25=V3-25+1=V5)°-25x1+12=5-1=5-1再如： 5+26-3+26+2=W+2×5x2+2=5+2-5+反 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：V10+2W21; (2)化简：V14-8√5； (3)计算：√3-2√2+V5-2√6+V7-212++√2023-21023132+V2025-2W1012×1013. 【变式3-2】(25-26八年级上·四川巴中期末)问题情境： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2+√5，求AB的长度.小许同学利用勾股定理求出 AB=V8+22,老师告诉他：V8+22中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简. 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 √a=la, .5=V±32=3=3： 又：x2+2y+y=x+y)2=x+,， ∴V7+26=+2w6+6=1+6=1+v6=1+6; 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的， 方法应用： (1)V3+22=V2+22+1=—: 问题解决： (2)AB=V8+2W12=; 方法迁移： (3)计算：V8+2√7+V11-4万. 【变式3-3】(25-26八年级上·广西桂林期末)阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方，如： 5+26=(2+3)+22x3=(N2°+(5+22×5=(V2+5 7+210=(2+5)+22x5=V2+(N5+22×5=(V2+5) 【类比归纳】 (1)填空： ①4-2W3=(1+3)-2W1×3=12+(-)2-2×1×V5=(-V5)2 ②a+b±2Vab=(Na)2+(Nb)2±2 ax /b=(_±_)2(a≥0，b20 (2)请你仿照小明的方法，将9+214化成一个式子的平方； 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG,若两小正方形的面积分别为5Cm 和32-6V15cm2,求剩余部分的面积. D G B 类型四、二次根式中的规律探究问题 方法总结 1.从特到普：计算前几项具体结果，观察被开方数、运算符号及结果的变化特征。 2.归纳通项：将观察到的规律（如周期性、递推关系）用含序号\()的代数式（通项或求和公式） 表示。 解题技巧 1.拆分结构：将复杂根式拆分为整数部分与根式部分，分别找规律。 2. 验证归纳：用归纳出的公式计算后续1-2项，确保正确后再应用。 例4.（24-25八年级下·广西梧州期末)观察下列各式的规律： 02 (1)针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式： (2)请用含n(n为任意自然数，且n≥2)的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确 性 8 【变式41】(25-26八年级上河南焦作期未)我们已经知道(M丽+3下-3)=4，因此将3-3的分子、 分母同时乘以“√3+3”，分母利用平方差公式就变成了4.请仿照这种方法化简： (四2+5 ②利用上面的规律，计算：2++5+2V4+5+…"2026+2025 【变式4-2】(25-26八年级上·北京石景山期末)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般” 的方法探究下面二次根式的运算规律 下面是小石的探究过程，请补充完整： 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)具体运算，发现规律， 第1个等式，2： 第2个等式 5 1 -3-2 .7 第3个等式 4-子=34 4 第4个等式 9 5-5=45 5 11 第5个等式 6- (根据规律填空) 6 (2)观察、归纳、 得出猜想 第n个等式为 (用含n的式子表示，n为正整数) (3)证明你的猜想； (④应用运算规律。 1 (a,b均为正整数)，则b-a的值为 a 0V12 【变式4-3】(25-26八年级上福建福州期末)【问题初探】 1 1111111 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现： 12122X323'3x434,在学习二次 根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程 补充完整： 特例1： 1 11 特例2： 11 11 1+22=1+ =1+- 2+ + =1+ 1×2 12 特例3： (填写一个符合上述运算特征的式子) 【发现规律】 1 1 n-1) n2 (n≥2，且n为整数) 【应用规律】 (1)计算： 11 11 1 1+ 2+3+V1+37+++ 20252+ 0262 1 11 1 1 (2)如果1 1+ 62 72+1 72+82+…+ (n-22(m-12 (n≥10，且n为整数)的小数部分是0.1， 求出整数部分. 6/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、二次根式中的新定义型问题 方法总结 1.理解定义：准确理解新定义的运算规则（如新符号、新运算）或新概念。 2.严格套用：按新定义规则，将给定的二次根式代入进行运算或推理，再常规化简。 解题技巧 1.举例验证：用简单数值或根式按新规则操作一遍，确保理解无误。 2. 化归常规：将新定义运算后的表达式，通过二次根式常规运算法则测（化简、有理化等）求解。 例5.（25-26七年级上·山东泰安期末)定义：形如“m+√5n”的数称为“√5族”数（其中m,n为有理数， n≠0.)，并规定：两个“√5族”数之间可以进行“+，一，×，÷”等运算，运算符合二次根式的相关要求. 试判断2-5,5,2+V6,2中哪些属于“5族的数： 3 (2)若A=a-√3b(其中a,b为有理数，b≠0)是“√3族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“√5族”的 数 【变式5-1】(24-25八年级上河北石家庄期末)定义：己知a,b都是实数，若a+b=3,则称a与b是关 于3的实验数”. ①②③④ → (1)4与】 是关于3的“实验数”，√2与y是关于3的“实验数”，则y是，表示y的值的点落在数轴 上的位置位于 (2)若m=√21-32)，判断m与9-√2是否是关于3的实验数”，并说明理由. 【变式5-2】(25-26八年级上陕西咸阳期末)定义：若二次根式a+2万可以写成(m+Vn的形式（其 中a、b、m、n为非负常数)，则称a+2Vb为完整根式，√m+√n是a+2Vb的完整平方根，例如：： 8+25=(5+5),8+25是完整根式，√5+V5是8+2√5的完整平方根. (1)若完整根式a+2b的完整平方根为√m+√n,a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a 和b: 2)若a+2W2i=(V3+n,且a、n为正整数，则a=； (3)试判断√2+√5是否是完整根式7+2√10的完整平方根，并说明理由. 7/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式53】(24-25八年级下江苏苏州期末)定义：我们将V+V历)与(Na-B)称为一对“对偶式”. 因为(a+(Va-万)=(a'-()=a-b,可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式” 来解决。 例如：已知V2-x-√8-x=2,求√2-x+√⑧-x的值，可以这样解答： 因为N12-x-V8-x)x2-x+8-x=(12-x-(8-x=12-x-8+x=4, 所以V12-x+√8-x=2. 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：V18-x+V6-x=6,则V18-x-V6-x= 2化简：6+5 ；5-5 1 1 (3)计算： 1+5+5+5+V5+V7++2023+V2025 ×1+√2025 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上福建漳州期末)下列运算中，正确的是（) A.5+2=V5 B.V-3)2=3 C.2÷√6=2 D.3V5-25=V5 2.(25-26八年级上河南郑州期末)已知x,y满足等式√x-2+√y+1=0,m是√5的小数部分，则 y+5+2m的值为() A.0 B.1 C.2 D.4 3.(25-26八年级上河北保定·期末)a,b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式V(2-b)2-√(a+1)2的 结果为() 8/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 01”3 A.-a-b+1 B.a-b+3 C.-a+b-3 D.a+b-1 4.(25-26八年级上湖南益阳期末)对于实数，n,规定一种新运算※：m※n=√m-m√n,例如 2※18=√2-2V18=√2-6√2=-5√2，则3※27=() A.-8V3 B.8V3 C.7N2 D.7 二、填空题 5.(25-26八年级上·上海期末)化简：√-27m3= 6.(25-26九年级上·四川内江期末)已知x,y均为实数，y=√x-2+√4-2x,则x的值为 7.(25-26八年级上河北邯郸期末)已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简V匠-a+b+Vc-b)2的结果 为 a 8.(25-26八年级上江苏南通·期末)小明做数学题时，发现 52号2x层5品=3品音=4侣按此#，者p言-a停a6为 正整数)，则a-b= 三、解答题 9.(25-26七年级上山东青岛·期末)计算 0W-2-8+(5; 10.(25-26八年级上陕西咸阳期末)定义：若二次根式a+2万可以写成（√m+vm的形式（其中a、b、 m、n为非负常数)，则称a+2√b为完整根式，√m+√n是a+2√b的完整平方根，例如：： 8+25=(5+5,:8+25是完整根式，√5+5是8+25的完整平方根. (1)若完整根式a+2√b的完整平方根为√m+√n,a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a 9/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 和b: 2)若a+2√2i=V5+√n,且a、n为正整数，则a=； (3)试判断√2+√5是否是完整根式7+2√0的完整平方根，并说明理由. 11.(25-26八年级上·四川达州期末)阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会 22 碰上5'V53 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简. (一) 2×V5 25 5=3x53 2x5V10 55x对守 2 (三) 2x5-2×5-_25-1-5-1 √3+1 (3+15-1(-2 2 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化 3 (1)化简： 2 2 1 V3 5+5’6-5—· (2)已知：x= V3-1 5+1 求x2+2y+y2的值. V3+1 V3-1 1 1 1 (3)计算： 十 V2+i3+√ +.+√2025+V2024 ×√2025+1. 12.(25-26八年级上江西·期末)问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“己知三 角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1.古希腊的几何学家海伦(Hron,约公元50年)，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的 海伦公式S=Vp(p-ap-b训p-0(其中a、b、c为三角形的三边长，p=a+b+c,8为三角形的面积). 2 材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： 其中三角形边长分别为a、b、c,三角形的面积为S. (1)利用材料1解决下面的问题： 当a=3,b=5,c=6时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 己知ABC三条边的长度分别是a=√x+1,b=V(5-x)2,c=4-(W4-x)2，记ABC的周长为C。Bc· ①当x=2时，请直接写出ABC中最长边的长度 10/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若x是满足0<x≤4的整数，当C。Bc取得最大值时，请用秦九韶公式求出ABC的面积. 11/11 期末压轴专题01 二次根式的运算、规律、新定义问题五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用二次根式的性质化简 类型二、二次根式的混合运算 类型三、复合二次根式的化简 类型四、二次根式中的规律探究问题 类型五、二次根式中的新定义型问题 压轴专练 类型一、利用二次根式的性质化简 方法总结 1. 化简条件：被开方数为非负，且不含能开得尽方的因数或因式。 2. 化简步骤：将被开方数分解质因数或因式分解，将完全平方（立方）部分开方到根号外。 解题技巧 1. 先分解后开方：将被开方数写成a2×b的形式，=a（a≥0）。 2. 注意符号：若根号外字母可能为负，开方后需加绝对值（如=|a|）。 例1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）化简：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，将平方根内的数字和变量分别化简，数字部分分解质因数后提取平方因子，变量部分根据指数奇偶性提取偶数次方． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：要使根式有意义，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简：____． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，数轴，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据、、在数轴上对应点的位置，确定相关算式的正负，利用立方根，算术平方根，绝对值的性质进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵有理数、、在数轴上的对应点如图， ∴， ∴ ． 故答案为：． 类型二、二次根式的混合运算 方法总结 1. 运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号内，同级运算从左到右。 2. 化简统一：先将各二次根式化为最简形式，将除法转化为乘法（乘以倒数），再合并同类二次根式。 解题技巧 1. 活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律，简化计算。 2. 有理化先行：遇分母含根式，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。 例2．（25-26八年级上·山西太原·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减法即可； （2）先进行乘除运算，再算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2-1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2-2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再计算减法即可． （2）化为最简二次根式，合并被开方数相同的最简二次根式，约分后得出答案． （3）二次根式的混合运算：先乘除，再加减，依次计算即可． （4）二次根式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，依次计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 类型三、复合二次根式的化简 方法总结 1. 配方法：将复合根式化为 的形式，使其匹配完全平方公式。 2. 待定系数：令原式等于，两边平方后对比系数，解方程组求x、y。 解题技巧 1. 先判大小：比较内外层根号下数值大小，确定结果为，避免绝对值讨论。 2. 平方试探：对原式平方后化简，再开方，注意符号选择。 例3．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 【变式3-1】（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键． （1）将配方成，即可得到答案； （2）将配方成，即可得到答案； （3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 【变式3-3】（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 类型四、二次根式中的规律探究问题 方法总结 1. 从特到普：计算前几项具体结果，观察被开方数、运算符号及结果的变化特征。 2. 归纳通项：将观察到的规律（如周期性、递推关系）用含序号 \(n\) 的代数式（通项或求和公式）表示。 解题技巧 1. 拆分结构：将复杂根式拆分为整数部分与根式部分，分别找规律。 2. 验证归纳：用归纳出的公式计算后续1-2项，确保正确后再应用。 例4．（24-25八年级下·广西梧州·期末）观察下列各式的规律： ①；        ②；    ③  … (1)针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________； (2)请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子写出第④个等式即可； （2）根据题干所给式子得出规律，验证即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：第④个等式：； （2）解：由题意可得：， 右边左边， 故等式成立． 【变式4-1】（25-26八年级上·河南焦作·期末）我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化； （1）分子、分母乘以，将分母有理化，然后再化简即可； （2）仿照例题分别把加数分母有理化，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解：                   （2）解：          【变式4-2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 类型五、二次根式中的新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：准确理解新定义的运算规则（如新符号、新运算）或新概念。 2. 严格套用：按新定义规则，将给定的二次根式代入进行运算或推理，再常规化简。 解题技巧 1. 举例验证：用简单数值或根式按新规则操作一遍，确保理解无误。 2. 化归常规：将新定义运算后的表达式，通过二次根式常规运算法则（化简、有理化等）求解。 例5．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 【变式5-1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 【变式5-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【详解】（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需根据二次根式的加减运算法则、除法法则以及算术平方根的非负性，逐一分析各选项的运算是否正确． 【详解】∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴A选项错误； ∵（算术平方根结果为非负数）， ∴B选项错误； ∵， ∴C选项错误； ∵， ∴D选项正确． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用算术平方根的非负性求出x、y值，估算的取值范围求得m值，进而可求解． 【详解】解：x，y满足等式，，， ∴，， 解得，， ∵m是的小数部分，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的运算，理解新定义运算和掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据定义将给定的实数代入规定的新运算公式，再利用二次根式的化简法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：A． 二、填空题 5．（25-26八年级上·上海·期末）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据被开方数为非负数，得，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川内江·期末）已知x，y均为实数，，则的值为________； 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂，根据二次根式有意义的条件，确定x的值，进而求出y的值，最后计算的值． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，解得， 代入得， 所以， 故答案为：1． 7．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知在数轴上的位置如图：化简的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置比较大小、绝对值的化简、二次根式的性质、整式的加减运算，根据点在数轴上的位置，推出，，再化简绝对值，根据二次根式的性质进行化简，最后根据整式加减运算法则计算即可． 【详解】解：∵，，在数轴上的位置如图所示， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，数字类规律探索，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，立方根定义． （1）先根据二次根式的性质和立方根定义化简各项，再计算加减法即可； （2）先根据二次根式的性质和立方根定义化简各项，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 11．（25-26八年级上·四川达州·期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)；；； (2)16 (3)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：；；；； （2）解：， ， ； （3）解： ． 12．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $