21.4 三角形的中位线 分层练习 2025-2026学年冀教版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学冀教版八年级下册“三角形的中位线”同步练，分层递进覆盖性质应用全场景，从基础计算到综合证明再到实际应用，适配新授课概念巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一性质应用|选择/填空求线段长、角度（如等边三角形中位线计算），夯实概念理解| |中档|综合性质应用|网格/动点问题（如格点中MN长度计算），结合几何直观与空间观念| |提升|性质拓展与应用|证明题（如中位线定理辅助线证明）、实际测量（如池塘宽度计算），培养推理意识与应用能力|

冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 分层练习 根据三角形中位线的性质求线段长 1、如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．G为AD中点，H为BE中点．连接GH，则GH的值为（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（　　） A.2 B.4 C.3 D.2.5 3、如图是由边长为1的小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，边所在直线叫做格线．已知格点A，B，C，D，CD与格线分别交于点E，F．AE，BF分别与格线交于点M，N，连接MN，则MN的长为   ． 4、如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为      ． 5、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，且∠AFB＝90°，AF＝5，BF＝12． （1）求EF的长； （2）若BC＝19，求DF的长． 6、如图在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC角平分线，BD⊥AD，点E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，求DE的长． 根据三角形中位线的性质求角度 1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于（　　） A.36° B.72° C.74° D.37° 2、△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．已知∠B＝50°，∠FEC＝30°，则∠BEC＝（　　） A.30° B.50° C.80° D.100° 3、如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，若AB＝5，AD＝3，EF＝2，∠CFE＝46°，则∠ADC的度数为（　　） A.100° B.120° C.128° D.136° 4、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，AB＞AC，E，F分别为AB，BC的中点，若∠C＝α，则∠DEF的度数为         （用含α的式子表示）． 5、如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连结AD交EF于点G，已知AE＝EG． （1）求证：∠CAD＝∠BAD； （2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数． 根据三角形中位线的性质求周长 1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝8．则△PMN的周长是（　　） A.10 B.12 C.16 D.18 2、如图，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　） A.12cm B.16cm C.18cm D.24cm 3、如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形…按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 4、如图，DE是△ABC的中位线，DE＝2cm，AB+AC＝12cm，则梯形DBCE的周长为    cm． 5、如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AC＝12，BC＝16，求四边形DECF的周长． 6、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，求△DEF的周长． 根据三角形中位线的性质求面积 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC的中点，连接AD，点E、F分别为AB、AD的中点，连接EF，若EF＝3，AC＝5，则△ABC的面积为（　　） A.12 B.15 C.60 D.30 2、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝6，GB＝4，则△ABC的面积是（　　） A.60 B.48 C.36 D.24 3、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP＝4，则△BCD的面积为     ． 4、如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于   ． 5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，DF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t秒． （1）判断GH与AD的位置关系和数量关系，并求出GH的长； （2）若CD＝8，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段GH所扫过区域的面积． 根据三角形中位线的性质证明 1、数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图①②，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） 嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F． A.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 B.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 C.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 D.淇淇的辅助线作法可以，嘉嘉的不可以 2、如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，P是BC上的动点，E，F分别是AD，DP的中点，当点P在BC上从C向B移动时，那么下列结论成立的是（　　） A.线段EF的长先减小后增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长逐渐增大 3、在△ABC中，D为边AB的中点，E为边AC上一点，连接DE．给出下面三个命题： ①若AE＝EC，则； ②若，则DE∥BC； ③若DE∥BC，则AE＝EC． 上述命题中，所有真命题的序号是     ． 4、阅读下面的材料： 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形． 乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形． 你认为以上甲、乙两人的思路正确的是      ． 5、如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D，AB＝CD，且点E、F分别是线段AD、BC的中点．求证：EF⊥BC． 三角形的中位线定理的实际应用 1、如图，学校有一块空地形状为等边三角形ABC．已知D，E分别是AB，AC的中点，测得DE＝5m，现在后勤部打算将四边形DBCE用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是（　　）m． A.15 B.20 C.25 D.30 2、某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　） A.8米 B.10米 C.16米 D.32米 3、为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则PQ的长是（　　） A.2m B.3m C.4m D.5m 4、如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高0.6m．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为      m． 5、在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为      米． 6、下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务 任务： （1）填空：依据1指的是            ；依据2指的是           ； （2）若按照小亮的方法测出 AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，请你求出池塘AB的宽度； （3）小颖同学的方法如图，若测得∠BCA＝30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 7、数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 求证：DE∥BC且． [定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线： [定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； [合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法： 乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF． 丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE． 丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F． 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是    ； A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确 [定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离         m． 冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 分层练习（参考答案） 1根据三角形中位线的性质求线段长 1、如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．G为AD中点，H为BE中点．连接GH，则GH的值为（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 【答案】B 【解析】取AB的中点F，连接GF、HF， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6， ∴BD＝BC＝3， 同理：AE＝3， ∵G、F分别为AD、AB的中点， ∴GF是△ABD的中位线， ∴GF＝BD＝1.5，GF∥BD， ∴∠AFG＝∠ABC＝60°， 同理可得：FH＝1.5，∠BFH＝∠BAC＝60°， ∴GF＝FH，∠GFH＝60°， ∴△GFH为等边三角形， ∴GH＝GF＝1.5， 故选：B． 2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（　　） A.2 B.4 C.3 D.2.5 【答案】D 【解析】∵AD为中线，BC＝12， ∴CD＝BC＝×12＝6， 在Rt△ACD中，AD＝＝＝10， ∵∠ACB＝90°，E为AD的中点， ∴CE＝AD＝5， ∵DF∥CE，D为BC的中点， ∴DF＝CE＝2.5， 故选：D． 3、如图是由边长为1的小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，边所在直线叫做格线．已知格点A，B，C，D，CD与格线分别交于点E，F．AE，BF分别与格线交于点M，N，连接MN，则MN的长为   ． 【答案】． 【解析】如图， 根据网格的特点知，，，GM是△AHE的中位线，NI是△BFJ的中位线， ∴，， ∴点M，N的水平距离为，垂直距离为1， ∴， 故答案为：． 4、如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为      ． 【答案】2.4． 【解析】如图所示，过点B作BG⊥AC于G，连接AE， ∵在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是AD，DE的中点， ∴FM是△ADE的中位线， ∴， ∴当AE⊥BC时，AE最小，即此时FM最小， ∵当AE⊥BC时，， ∴AE＝4.8， ∴FM＝2.4， ∴FM最小值为2.4， 故答案为：2.4． 5、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，且∠AFB＝90°，AF＝5，BF＝12． （1）求EF的长； （2）若BC＝19，求DF的长． 【答案】解：（1）∵∠AFB＝90°． ∴在Rt△ABF中，， ∵点E是AB的中点． ∴； （2）∵D，E分别是AC，AB的中点． ∴， ∴． 6、如图在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC角平分线，BD⊥AD，点E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，求DE的长． 【答案】4． 【解析】解：延长BD交AC于F， ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ADF， ∵AD是△ABC中的∠BAC角平分线， ∴∠BAD＝∠FAD， 在△BAD与△FAD中， ， ∴△BAD≌△FAD（ASA）， ∴BD＝DF，AF＝AB＝6， ∴CF＝AC﹣AF＝8， ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CE， ∴CF＝AC﹣AF＝8， ∴DE＝CF＝4， 故DE的长为4． 2根据三角形中位线的性质求角度 1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于（　　） A.36° B.72° C.74° D.37° 【答案】D 【解析】如图，延长FG交AB于点M， ∵AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，∠DAC＝17°，∠ACB＝91°， ∴， ∴∠FEG＝∠EFG，∠DAC＝∠FGC＝∠AGM＝17°，∠AGE＝∠ACB＝91°， ∴∠MGE＝∠AGE﹣∠AGM＝∠FEG+∠EFG＝2∠FEG＝91°﹣17°＝74°， 解得∠FEG＝37°． 故选：D． 2、△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．已知∠B＝50°，∠FEC＝30°，则∠BEC＝（　　） A.30° B.50° C.80° D.100° 【答案】D 【解析】∵点E、F分别为AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC， ∴∠FEB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， ∵∠FEC＝30°， ∴∠BEC＝130°﹣30°＝100°， 故选：D． 3、如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，若AB＝5，AD＝3，EF＝2，∠CFE＝46°，则∠ADC的度数为（　　） A.100° B.120° C.128° D.136° 【答案】D 【解析】连接BD， ∵E、F分别是边BC，CD的中点， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠CDB＝∠CFE＝46°， ∵BD2+AD2＝25，AB2＝25， ∴BD2+AD2＝BA2， ∴∠BDA＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝136°． 故选：D． 4、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，AB＞AC，E，F分别为AB，BC的中点，若∠C＝α，则∠DEF的度数为         （用含α的式子表示）． 【答案】2α﹣90°． 【解析】在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝α， ∴∠B＝90°﹣α， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，DE＝BE＝， ∴EF∥AC，∠EDB＝∠B＝90°﹣α， ∴∠BFE＝∠C＝α， ∴∠FED＝∠BFE﹣∠BDE＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°， 故答案为：2α﹣90°． 5、如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连结AD交EF于点G，已知AE＝EG． （1）求证：∠CAD＝∠BAD； （2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数． 【答案】（1）证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB， ∴∠EGA＝∠DAB， ∵AE＝EG， ∴∠EGA＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠BAD； （2）解：∵EF∥AB，∠B＝32°， ∴∠DFG＝32°， ∵DG＝DF， ∴∠DGF＝32°，∠GDF＝180°﹣32°﹣32°＝116°， ∴∠EGA＝∠DGF＝32°， ∵AE＝EG， ∴∠EAG＝∠EGA＝32°， ∴∠C＝∠GDF﹣∠EAG＝116°﹣32°＝84°． 3根据三角形中位线的性质求周长 1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝8．则△PMN的周长是（　　） A.10 B.12 C.16 D.18 【答案】B 【解析】∵P、N是AB和BD的中点，AD＝BC，BC＝8， ∴PN＝AD＝×8＝4，PN∥AD， ∴∠NPB＝∠DAB＝50°， 同理，PM＝4，∠MPA＝∠CBA＝70°， ∴PM＝PN＝4，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∴△PMN是等边三角形． ∴MN＝PM＝PN＝4， ∴△PMN的周长是12． 故选：B． 2、如图，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　） A.12cm B.16cm C.18cm D.24cm 【答案】A 【解析】∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， 则EF，DE，DF是△ABC的中位线， ∴，，， 又∵AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴EF＝5cm，DE＝4cm，DF＝3cm， 则△DEF的周长是5+4+3＝12cm， 故选：A． 3、如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形…按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示： ， ∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点， ∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线， ∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB， ∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝（BC+AB+AC）＝， ∴第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长是， ……， ∴第2024个小等边三角形的周长为． 故选：A． 4、如图，DE是△ABC的中位线，DE＝2cm，AB+AC＝12cm，则梯形DBCE的周长为    cm． 【答案】2 【解析】∵DE是△ABC的中位线，DE＝2cm， ∴BC＝2DE＝2×2＝4（cm）． ∵DE是△ABC的中位线， ∴BD＝AB，CE＝AC， ∴梯形DBCE的周长为BD+CE+DE+BC＝（AB+AC）+（BD+CE）＝×12+6＝12（cm）． 故答案为：12． 5、如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AC＝12，BC＝16，求四边形DECF的周长． 【答案】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AC＝12，BC＝16， 由中位线的定义可知：DE、DF是△ABC的中位线， ∴，， ∴四边形DECF的周长＝DE+EC+CF+DF＝6+8+6+8＝28． 6、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，求△DEF的周长． 【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝10， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10， ∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，EF＝BC＝5， ∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12． 4根据三角形中位线的性质求面积 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC的中点，连接AD，点E、F分别为AB、AD的中点，连接EF，若EF＝3，AC＝5，则△ABC的面积为（　　） A.12 B.15 C.60 D.30 【答案】D 【解析】∵点E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴BD＝2EF＝6， ∵点D为边BC的中点， ∴BC＝2BD＝12， ∵∠C＝90°，AC＝5， ∴， 故选：D． 2、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝6，GB＝4，则△ABC的面积是（　　） A.60 B.48 C.36 D.24 【答案】B 【解析】由题意，BG＝CH＝AF＝4，DG＝DF，EF＝EH， ∴DG+EH＝DE＝6， ∴BC＝GH＝6+6＝12， ∴△ABC的边BC上的高为8， ∴S△ABC＝×12×8＝48， 故选：B． 3、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP＝4，则△BCD的面积为     ． 【答案】12 【解析】如图，过D作DE⊥BC于E， ∵∠A＝90°， ∴DA⊥BA， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DA＝3， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∵点P为BC边中点，DP＝4， ∴BC＝2DP＝8， ∴S△BCD＝BC•DE＝×8×3＝12， 故答案为：12． 4、如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于   ． 【答案】． 【解析】连接CM， ∵点M是BD的中点， ∴S△ABM＝，S△BCM＝， ∴S△ABM+S△BCM＝＝， ∵点M是BD的中点， ∴S△CPM＝S△MPD+S△MCD＝＝， ∵点N是AC的中点， ∴S△CPN＝，S△CMN＝， ∴S△PMN＝S△CPM﹣S△CPN﹣S△CMN ＝ ＝ ＝（S△ABM+S△BCM） ＝ ＝S四边形ABCD， ∵AC⊥BD， ∴S四边形ABCD＝AC•BD， ∵AC+BD＝10， ∴AC2+BD2+4AC•BD﹣2AC•BD≥4AC•BD，即AC2+BD2+2AC•BD≥4AC•BD， ∴4AC•BD≤（AC+BD）2， ∴AC•BD≤＝25， ∴S四边形ABCD＝AC•BD＝， 故答案为：． 5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，DF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t秒． （1）判断GH与AD的位置关系和数量关系，并求出GH的长； （2）若CD＝8，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段GH所扫过区域的面积． 【答案】解：（1）∵G，H分别是AF，DF的中点， ∴GH∥AD，且GH＝AD， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝45°，AB＝6， ∴AD＝6， ∴GH＝3； （2）线段GH所扫过区域是以AC、AD为边的平行四边形， ∴平行四边形的两边分别为5、3， 当F是AC的中点时，平行四边形的高为CD， ∵CD＝8， ∴CD＝4， ∴S＝4×3＝12， 故线段GH所扫过区域的面积为：12． 5根据三角形中位线的性质证明 1、数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图①②，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） 嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F． A.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 B.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 C.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 D.淇淇的辅助线作法可以，嘉嘉的不可以 【答案】A 【解析】嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC， ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∴AD＝CF，AB∥CF， ∴BD＝CF，BD∥CF， ∴四边形BCFD为平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DE＝BC，DE∥BC，故嘉嘉的辅助线作法可以， 淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F， 则四边形ABGF为平行四边形， ∴AB＝FG， 证明△AEF≌△CEG（AAS）， ∴FE＝EG，AF＝GC， ∴BD＝EG， ∵BD∥EG， ∴四边形DBGE为平行四边形， ∴DE＝BC，DE∥BC，故淇淇的辅助线作法可以， 故选：A． 2、如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，P是BC上的动点，E，F分别是AD，DP的中点，当点P在BC上从C向B移动时，那么下列结论成立的是（　　） A.线段EF的长先减小后增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长逐渐增大 【答案】B 【解析】连接AC，AP， ∵E，F分别是AD，DP的中点， ∴EF是△ADC（P）的中位线， ∴EF＝AC（P）， ∵当点P在BC上从C向B移动时则AC＞AP， ∴线段EF的长逐渐减小． 故选B． 3、在△ABC中，D为边AB的中点，E为边AC上一点，连接DE．给出下面三个命题： ①若AE＝EC，则； ②若，则DE∥BC； ③若DE∥BC，则AE＝EC． 上述命题中，所有真命题的序号是     ． 【答案】①③． 【解析】∵D为边AB的中点， ∴AD＝DB， ①若AE＝EC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC，是真命题； ②若DE＝BC，不能得出DE∥BC，是假命题； ③若DE∥BC，则AE＝EC，是真命题； 故答案为：①③． 4、阅读下面的材料： 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形． 乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形． 你认为以上甲、乙两人的思路正确的是      ． 【答案】甲、乙． 【解析】甲：如图1，在△△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴AD＝CF，∠A＝∠ACF， ∴BD＝CF，AB∥CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DE＝BC，DE∥BC，故甲的思路正确， 乙：如图2，连接DC，AF， 证明四边形ADCF， 则DBCF分别是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DE＝BC，DE∥BC，故乙的思路正确， ∴思路正确的是甲、乙， 故答案为：甲、乙． 5、如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D，AB＝CD，且点E、F分别是线段AD、BC的中点．求证：EF⊥BC． 【答案】证明：∵点E是AD的中点， ∴EA＝ED， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴EB＝EC， ∵点F是BC的中点． ∴BF＝FC， ∴EF⊥BC． 6三角形的中位线定理的实际应用 1、如图，学校有一块空地形状为等边三角形ABC．已知D，E分别是AB，AC的中点，测得DE＝5m，现在后勤部打算将四边形DBCE用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是（　　）m． A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】C 【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，AD＝AB，AE＝AC， ∴DE＝BC， ∵DE＝5m， ∴BC＝10m， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝10m， ∴AD＝5m，AE＝5m， ∴BD＝5m，EC＝5m， ∴需要篱笆的长为：5+5+5+10＝25（m）， 故选：C． 2、某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　） A.8米 B.10米 C.16米 D.32米 【答案】A 【解析】由题意知，EF是△ABC的中位线， ∴米， 故选：A． 3、为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则PQ的长是（　　） A.2m B.3m C.4m D.5m 【答案】D 【解析】如图， ∵PA＝PB＝8m，QC＝QA＝10m， ∴P，Q是AB，AC的中点， ∴PQ是△ABC的中位线， ∴BC＝2PQ， ∵BC＝10m， ∴PQ＝5m， 故选：D． 4、如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高0.6m．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为      m． 【答案】1.2． 【解析】由题意可知，DE是△ABC的中位线，DE＝0.6m， ∴BC＝2DE＝1.2（m）， 故答案为：1.2． 5、在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为      米． 【答案】300 【解析】∵点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线， ∴DE＝AC，EF＝AB，DF＝BC， ∵△ABC的周长为600米， ∴AB+BC+AC＝600米， ∴DE+EF+DF＝（AB+BC+AC）＝300米， ∴水渠的总长为300米， 故答案为：300． 6、下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务 任务： （1）填空：依据1指的是            ；依据2指的是           ； （2）若按照小亮的方法测出 AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，请你求出池塘AB的宽度； （3）小颖同学的方法如图，若测得∠BCA＝30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】解：（1）依据1指的是等腰三角形的三线合一的性质，依据2指的是三角形中位线定理； 故答案为：等腰三角形三线合一；三角形中位线定理； （2）∵AB⊥直线a，AB⊥直线b， ∴AE∥CD， ∴， ∵AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，CB＝AB+AC， ∴， 解得AB＝20（m）， 答：池塘AB的宽度为20m； （3）∵BA⊥AC，∠BCA＝30°， ∴BC＝2AB， 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得BC2＝AB2+AC2， ∵AC＝34米， ∴（2AB）2＝AB2+342， 解得AB≈20米，（负的已舍）， 答：池塘AB的宽度约为20m． 7、数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 求证：DE∥BC且． [定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线： [定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； [合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法： 乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF． 丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE． 丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F． 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是    ； A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确 [定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离         m． 【答案】[定理证明]解：∵E是AC的中点， ∴AE＝EC， ∵DE＝EF，∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴AD＝CF，∠DAE＝∠ECF， ∴BD∥CF， ∵D是AB的中点， ∴AD＝DB， ∴BD＝CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴BC＝DF＝2DE，BC∥DE； [合作交流]乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF，推出四边形ADCF是平行四边形，得到BD＝CF，BD∥CF，因此四边形DBCF是平行四边形，即可证明． 丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE，根据全等三角形的判定和性质得出BG＝AH，AH＝CF，推出四边形BGCF是矩形，即可证明． 丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F，根据全等三角形的判定和性质得出AF＝CG，AF＝BG，即可证明． 故答案为：D． [定理应用] 连接AN并延长交BC延长线于G， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠NCG，∠DAN＝∠G， ∵N是DC中点， ∴ND＝NC， ∴△ADN≌△GCN（AAS）， ∴AN＝NG，AD＝CG， ∵M是AB中点， ∴MN是△ABG的中位线， ∴MN＝BG， ∵BG＝BC+CG＝BC+AD， ∴MN＝（AD+BC）． ∵AD＝a m，MN＝b m， ∴BC＝（2b﹣a）m， 故答案为：（2b﹣a）． 学科网（北京）股份有限公司 $