21.4 三角形的中位线 强化训练 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 强化训练 【题型1】根据三角形中位线的性质求线段长 【典例】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A.1.5 B.3 C. D. 【强化训练1】如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，若DE＝12，则HF的长是（　　） A.24 B.12 C.8 D.6 【强化训练2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为（　　） A.2 B.3 C.3.5 D.4 【强化训练3】如图是由边长为1的小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，边所在直线叫做格线．已知格点A，B，C，D，CD与格线分别交于点E，F．AE，BF分别与格线交于点M，N，连接MN，则MN的长为   ． 【强化训练4】如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝BD，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，若EG＝，则AC＝   ． 【强化训练5】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠CAD＝2∠CAB＝45°，E、F分别是CD、CA的中点，AC＝AD＝10，求BE的长． 【题型2】根据三角形中位线的性质求角度 【典例】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，若AB＝5，AD＝3，EF＝2，∠CFE＝46°，则∠ADC的度数为（　　） A.100° B.120° C.128° D.136° 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　　） A.25° B.30° C.20° D.35° 【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是      ． 【强化训练3】在等腰三角形ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F．求∠AEF的度数． 【题型3】根据三角形中位线的性质求周长 【典例】三角形的三条中位线的长分别为3cm，4cm，5cm，则原三角形的周长为（　　） A.6.5cm B.24cm C.26cm D.52cm 【强化训练1】如图，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　） A.12cm B.16cm C.18cm D.24cm 【强化训练2】如图，DE是△ABC的中位线，DE＝2cm，AB+AC＝12cm，则梯形DBCE的周长为    cm． 【强化训练3】如图，△ABC的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个△A1B1C1，再以△A1B1C1的三边中点为顶点，组成第2个△A2B2C2，…，则第n个三角形的周长为   ． 【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12．D、E分别是AB、BC的中点，连接DE、CD．如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是多少？ 【强化训练5】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，求△DEF的周长． 【题型4】根据三角形中位线的性质求面积 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC的中点，连接AD，点E、F分别为AB、AD的中点，连接EF，若EF＝3，AC＝5，则△ABC的面积为（　　） A.12 B.15 C.60 D.30 【强化训练1】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝6，GB＝4，则△ABC的面积是（　　） A.60 B.48 C.36 D.24 【强化训练2】如图，已知点D、E、F分别为BC、AB、AD的中点，若四边形DEFC的面积为9，则△ABC的面积为     ． 【强化训练3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，DF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t秒． （1）判断GH与AD的位置关系和数量关系，并求出GH的长； （2）若CD＝8，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段GH所扫过区域的面积． 【强化训练4】如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）若等边△ABC的边长是6，求四边形DEFC的面积． 【题型5】根据三角形中位线的性质证明 【典例】如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，P是BC上的动点，E，F分别是AD，DP的中点，当点P在BC上从C向B移动时，那么下列结论成立的是（　　） A.线段EF的长先减小后增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长逐渐增大 【强化训练1】若一个三角形一条边上的中线等于这条边所对应的中位线，则这个三角形一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【强化训练2】如图，四边形ABCD中，P、R分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　） A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 【强化训练3】阅读下面的材料： 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形． 乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形． 你认为以上甲、乙两人的思路正确的是      ． 【强化训练4】如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：BD＝2EF． 【强化训练5】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）； （2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论． 【题型6】三角形的中位线定理的实际应用 【典例】某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　） A.8米 B.10米 C.16米 D.32米 【强化训练1】如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　） A.80cm B.70cm C.60cm D.50cm 【强化训练2】如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高0.6m．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为      m． 【强化训练3】数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 求证：DE∥BC且． [定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线： [定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； [合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法： 乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF． 丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE． 丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F． 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是    ； A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确 [定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离         m． 学科网（北京）股份有限公司 $ 冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 强化训练（参考答案） 【题型1】根据三角形中位线的性质求线段长 【典例】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A.1.5 B.3 C. D. 【答案】D 【解析】如图，连接AF，取AF的中点G，连接MG、NG， 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵AC2+BC2＝9+16＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∵M、G分别为EF、AF的中点， ∴MG是△AEF的中位线， ∴MG＝AE＝1，MG∥AE， ∴∠MGF＝∠CAF， 同理可得：NG＝BF＝1，NG∥BF， ∴∠ANG＝∠B， ∴∠MGN＝∠MGF+∠NGF＝∠CAF+∠FAB+∠B＝90°， ∴MN＝＝＝， 故选：D． 【强化训练1】如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，若DE＝12，则HF的长是（　　） A.24 B.12 C.8 D.6 【答案】B 【解析】∵D是BC的中点，E是AB的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC， ∵AH⊥BC，AF＝FC， ∴FH＝AC， ∴DE＝FH＝12． 故选：B． 【强化训练2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为（　　） A.2 B.3 C.3.5 D.4 【答案】A 【解析】∵D是AB的中点，FD⊥AB， ∴DF是线段AB的垂直平分线， ∴BF＝AF＝3， ∵CF＝7， ∴BC＝CF﹣BF＝7﹣3＝4， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝2， 故选：A． 【强化训练3】如图是由边长为1的小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，边所在直线叫做格线．已知格点A，B，C，D，CD与格线分别交于点E，F．AE，BF分别与格线交于点M，N，连接MN，则MN的长为   ． 【答案】． 【解析】如图， 根据网格的特点知，，，GM是△AHE的中位线，NI是△BFJ的中位线， ∴，， ∴点M，N的水平距离为，垂直距离为1， ∴， 故答案为：． 【强化训练4】如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝BD，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，若EG＝，则AC＝   ． 【答案】2． 【解析】∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF＝AC， 同理FG∥BD，FG＝BD， ∵AC⊥BD，AC＝BD， ∴EF⊥FG，EF＝FG， ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴EF＝EG＝， ∴AC＝2EF＝2， 故答案为：2． 【强化训练5】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠CAD＝2∠CAB＝45°，E、F分别是CD、CA的中点，AC＝AD＝10，求BE的长． 【答案】解：连接BF， ∵E、F分别是CD、CA的中点， ∴EF∥AD且， ∴∠CFE＝∠CAD＝45°， ∵∠ABC＝90°，F是CA的中点， ∴， ∴∠BAF＝∠ABF， ∴∠BFC＝2∠BAC＝45°， ∴∠BFE＝90°， ∴． 【题型2】根据三角形中位线的性质求角度 【典例】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，若AB＝5，AD＝3，EF＝2，∠CFE＝46°，则∠ADC的度数为（　　） A.100° B.120° C.128° D.136° 【答案】D 【解析】连接BD， ∵E、F分别是边BC，CD的中点， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠CDB＝∠CFE＝46°， ∵BD2+AD2＝25，AB2＝25， ∴BD2+AD2＝BA2， ∴∠BDA＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝136°． 故选：D． 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　　） A.25° B.30° C.20° D.35° 【答案】C 【解析】∵E，G分别是AD，BD的中点， ∴EG是△ABD的中位线， ∴EG＝AB，EG∥AB， ∴∠EGD＝∠ABD＝30°， ∵F，G分别是BC，BD的中点， ∴FG是△BCD的中位线， ∴FG＝CD，FG∥CD， ∴∠DGF＝180°﹣∠BDC＝110°， ∴∠EGF＝30°+110°＝140°， ∵AB＝CD， ∴EG＝FG， ∴∠GEF＝∠GFE＝（180°﹣140°）＝20°， 故选：C． 【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是      ． 【答案】20° 【解析】∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴PE是△ABD的中位线， ∴PE＝AD， 同理，PF＝BC， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°， 故答案为：20°． 【强化训练3】在等腰三角形ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F．求∠AEF的度数． 【答案】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵EF∥BC， ∴∠FEC＝∠BCD， ∴∠ACD＝∠FEC， ∴EF＝CF， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°， ∴∠EAC＝∠AEF， ∵∠BAC＝80°，AB＝AC＝4， ∴∠ACB＝∠ABC＝50°， ∵EF∥BC， ∴∠AFE＝50°， ∴∠AEF＝∠EAC＝65°. 【题型3】根据三角形中位线的性质求周长 【典例】三角形的三条中位线的长分别为3cm，4cm，5cm，则原三角形的周长为（　　） A.6.5cm B.24cm C.26cm D.52cm 【答案】B 【解析】解：∵三条中位线组成的三角形的周长＝3+4+5＝12cm， ∴原三角形的周长＝2×2＝24cm． 故选：B． 【强化训练1】如图，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　） A.12cm B.16cm C.18cm D.24cm 【答案】A 【解析】∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， 则EF，DE，DF是△ABC的中位线， ∴，，， 又∵AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴EF＝5cm，DE＝4cm，DF＝3cm， 则△DEF的周长是5+4+3＝12cm， 故选：A． 【强化训练2】如图，DE是△ABC的中位线，DE＝2cm，AB+AC＝12cm，则梯形DBCE的周长为    cm． 【答案】2 【解析】∵DE是△ABC的中位线，DE＝2cm， ∴BC＝2DE＝2×2＝4（cm）． ∵DE是△ABC的中位线， ∴BD＝AB，CE＝AC， ∴梯形DBCE的周长为BD+CE+DE+BC＝（AB+AC）+（BD+CE）＝×12+6＝12（cm）． 故答案为：12． 【强化训练3】如图，△ABC的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个△A1B1C1，再以△A1B1C1的三边中点为顶点，组成第2个△A2B2C2，…，则第n个三角形的周长为   ． 【答案】． 【解析】∵△ABC的周长是2， ∴AB+AC+BC＝2， ∵A1、B1、C1分别为AB、AC、BC的中点， ∴A1B1、A1C1、B1C1为△ABC的中位线， ∴A1B1＝BC，A1C1＝AC，B1C1＝AB， ∴△A1B1C1的周长＝A1B1+A1C1+B1C1＝（AB+AC+BC）＝1＝， 同理可得：△A2B2C2的周长＝＝， …… 第n个三角形的周长＝， 故答案为：． 【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12．D、E分别是AB、BC的中点，连接DE、CD．如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是多少？ 【答案】解：∵D、E分别是AB、BC的中点，DE＝2.5， ∴AC＝2DE＝5，DE∥AC， ∴∠BED＝∠BCA， ∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠BCA＝90°， ∴∠BED＝90°， ∵E是BC的中点， ∴DC＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+CD+DC＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18． 【强化训练5】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，求△DEF的周长． 【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝10， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10， ∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，EF＝BC＝5， ∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12． 【题型4】根据三角形中位线的性质求面积 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC的中点，连接AD，点E、F分别为AB、AD的中点，连接EF，若EF＝3，AC＝5，则△ABC的面积为（　　） A.12 B.15 C.60 D.30 【答案】D 【解析】∵点E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴BD＝2EF＝6， ∵点D为边BC的中点， ∴BC＝2BD＝12， ∵∠C＝90°，AC＝5， ∴， 故选：D． 【强化训练1】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝6，GB＝4，则△ABC的面积是（　　） A.60 B.48 C.36 D.24 【答案】B 【解析】由题意，BG＝CH＝AF＝4，DG＝DF，EF＝EH， ∴DG+EH＝DE＝6， ∴BC＝GH＝6+6＝12， ∴△ABC的边BC上的高为8， ∴S△ABC＝×12×8＝48， 故选：B． 【强化训练2】如图，已知点D、E、F分别为BC、AB、AD的中点，若四边形DEFC的面积为9，则△ABC的面积为     ． 【答案】24． 【解析】∵E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥BC，EF＝BD， ∵D是BC中点， ∴BC＝CD， ∴EF＝CD， ∵EF∥BC， ∴S△DEF＝S△DCF， ∵四边形DEFC的面积为9， ∴3S△DEF＝9， ∴△DEF的面积＝3， ∵F是AD中点， ∴S△AED＝2S△DEF， 同理：S△ABD＝2S△AED，S△ABC＝2S△ABD， ∴S△ABC＝8S△DEF＝8×3＝24． 故答案为：24． 【强化训练3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，DF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t秒． （1）判断GH与AD的位置关系和数量关系，并求出GH的长； （2）若CD＝8，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段GH所扫过区域的面积． 【答案】解：（1）∵G，H分别是AF，DF的中点， ∴GH∥AD，且GH＝AD， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝45°，AB＝6， ∴AD＝6， ∴GH＝3； （2）线段GH所扫过区域是以AC、AD为边的平行四边形， ∴平行四边形的两边分别为5、3， 当F是AC的中点时，平行四边形的高为CD， ∵CD＝8， ∴CD＝4， ∴S＝4×3＝12， 故线段GH所扫过区域的面积为：12． 【强化训练4】如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）若等边△ABC的边长是6，求四边形DEFC的面积． 【答案】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∵CF＝BC， ∴DE＝FC， ∵DE∥FC， ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴CD＝EF； （2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点 ∴∠B＝60°，BD＝AB＝3， ∵∠DHB＝90°， ∴∠BDH＝30°， ∴BH＝DB＝， ∴DH＝＝＝， ∵CF＝CB＝3， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝3×＝． 【题型5】根据三角形中位线的性质证明 【典例】如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，P是BC上的动点，E，F分别是AD，DP的中点，当点P在BC上从C向B移动时，那么下列结论成立的是（　　） A.线段EF的长先减小后增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长逐渐增大 【答案】B 【解析】连接AC，AP， ∵E，F分别是AD，DP的中点， ∴EF是△ADC（P）的中位线， ∴EF＝AC（P）， ∵当点P在BC上从C向B移动时则AC＞AP， ∴线段EF的长逐渐减小． 故选B． 【强化训练1】若一个三角形一条边上的中线等于这条边所对应的中位线，则这个三角形一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【答案】D 【解析】如图，CD、EF分别是△ABC的中线、中位线，且CD＝EF，连接DE、DF， ∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ∴DE∥AC，DF∥BC，即DE∥FC，DF∥EC， ∴四边形CEDF是平行四边形， ∵CD＝EF， ∴四边形CEDF是矩形， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故选：D． 【强化训练2】如图，四边形ABCD中，P、R分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　） A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 【答案】C 【解析】如图，连接AR， ∵E、F分别是AP、RP的中点， ∴EF是△APR的中位线， ∴EF＝AR， ∵点R不动， ∴AR大小不变， ∴线段EF的长不变， 故选：C． 【强化训练3】阅读下面的材料： 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形． 乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形． 你认为以上甲、乙两人的思路正确的是      ． 【答案】甲、乙． 【解析】甲：如图1，在△△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴AD＝CF，∠A＝∠ACF， ∴BD＝CF，AB∥CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DE＝BC，DE∥BC，故甲的思路正确， 乙：如图2，连接DC，AF， 证明四边形ADCF， 则DBCF分别是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DE＝BC，DE∥BC，故乙的思路正确， ∴思路正确的是甲、乙， 故答案为：甲、乙． 【强化训练4】如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：BD＝2EF． 【答案】证明：∵DC＝AC，CE⊥AD， ∴点E是AD的中点． ∵点F是AB的中点． ∴EF是△ABD的中位线， ∴BD＝2EF 【强化训练5】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）； （2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：如图1中， ∵AE⊥BE， ∴∠AED＝∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°， ∵∠BAE＝∠DAE， ∴∠ABE＝∠ADE， ∴AB＝AD， ∵AE⊥BE， ∴BE＝DE， ∵BF＝FC， ∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）； （2）结论：EF＝（AB﹣AC）， 理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于点P． ∵AE⊥BP， ∴∠AEP＝∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°， ∵∠BAE＝∠PAE， ∴∠ABE＝∠APE， ∴AB＝AP，∵AE⊥BD， ∴BE＝PE，∵BF＝FC， ∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）． 【题型6】三角形的中位线定理的实际应用 【典例】某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　） A.8米 B.10米 C.16米 D.32米 【答案】A 【解析】由题意知，EF是△ABC的中位线， ∴米， 故选：A． 【强化训练1】如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　） A.80cm B.70cm C.60cm D.50cm 【答案】B 【解析】∵E、F分别为AB、AC的中点，EF＝35cm， ∴BC＝2EF＝70（cm）， ∴点B距离地面的高度为70cm． 故选：B． 【强化训练2】如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高0.6m．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为      m． 【答案】1.2． 【解析】由题意可知，DE是△ABC的中位线，DE＝0.6m， ∴BC＝2DE＝1.2（m）， 故答案为：1.2． 【强化训练3】数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 求证：DE∥BC且． [定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线： [定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； [合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法： 乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF． 丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE． 丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F． 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是    ； A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确 [定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离         m． 【答案】[定理证明]解：∵E是AC的中点， ∴AE＝EC， ∵DE＝EF，∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴AD＝CF，∠DAE＝∠ECF， ∴BD∥CF， ∵D是AB的中点， ∴AD＝DB， ∴BD＝CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴BC＝DF＝2DE，BC∥DE； [合作交流]乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF，推出四边形ADCF是平行四边形，得到BD＝CF，BD∥CF，因此四边形DBCF是平行四边形，即可证明． 丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE，根据全等三角形的判定和性质得出BG＝AH，AH＝CF，推出四边形BGCF是矩形，即可证明． 丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F，根据全等三角形的判定和性质得出AF＝CG，AF＝BG，即可证明． 故答案为：D． [定理应用] 连接AN并延长交BC延长线于G， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠NCG，∠DAN＝∠G， ∵N是DC中点， ∴ND＝NC， ∴△ADN≌△GCN（AAS）， ∴AN＝NG，AD＝CG， ∵M是AB中点， ∴MN是△ABG的中位线， ∴MN＝BG， ∵BG＝BC+CG＝BC+AD， ∴MN＝（AD+BC）． ∵AD＝a m，MN＝b m， ∴BC＝（2b﹣a）m， 故答案为：（2b﹣a）． 学科网（北京）股份有限公司 $