精品解析：河南济源市2025-2026学年适应性训练试题九年级数学

2025—2026学年适应性训练试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号，用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠，考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 儿童体重管理是一项长期而艰巨的任务，科学管理体重，让孩子在阳光下快乐健康成长，国家一直在行动．随着宣传的深入，小明对自己体重的关注度也越来越高．用正负数表示体重的变化量，体重上升为正，体重下降为负．春节前小明体重下降了记作，春节后小明体重增加了应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵体重下降为负，即体重下降 记作， ∴体重增加，应记作． 2. 中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“榫”的主视图为： 故选：D． 4. 下列调查中，适宜用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查 C. 调查2026年春节联欢晚会的收视率 D. 了解全班男生每周体育锻炼的时间 【答案】C 【解析】 【分析】当调查对象范围广、工作量大，且不需要对所有个体逐一调查时，适宜采用抽样调查；事关重要、范围较小的调查适合普查． 【详解】解： A选项、企业招聘需对所有应聘人员逐一考察，适宜全面调查； B选项、神舟飞船设备检查事关飞行安全，必须对所有设备逐一检查，适宜全面调查； C选项、调查春晚收视率，调查对象范围广、数量大，无法逐一调查，适宜抽样调查； D选项、全班男生数量少，可逐一调查，适宜全面调查； 故选：C． 5. 当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．如图，光线从水中斜射向空气时，偏折为方向，已知，，，则光线偏离光线延长线的的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、几何图形中的角度计算等知识点，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质求得，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选A． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方、多项式除以单项式、完全平方公式逐一计算即可判断． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 8. 济源因济水发源而得名，是愚公移山精神的发祥地，位于豫西北、晋东南交界地带，是一座独具魅力的工业旅游城市．春暖花开，小美和小丽两个家庭打算在“五一”假期来济源游玩，并约定好于5月2日上午在“王屋山、小浪底、五龙口”三个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一个景区的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法求解，先求出所有等可能的选择结果，再找出两个家庭选择同一景区的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设三个景区分别为王屋山记为A，小浪底记为B，五龙口记为C， ∵ 小美家庭有3种选择，小丽家庭也有3种选择， ∴ 所有等可能的结果为：，，，，，，，，， 共有 种，其中两个家庭选择同一个景区的结果有，，，共3种， ∴， 故选：B． 9. 如图，边长为的正方形的对角线与相交于点O，E是边上一点，F是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由与关于直线对称可得，，设，则，，在中，由勾股定理得，，代入即可得到x的值． 【详解】解：正方形的边长为， ，， 与关于直线对称， ，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ， 化简得，， 解得，，则． 10. 如图①，在中，动点从点出发，以的速度向点的方向运动，设运动时间为，，与之间函数图象如图②所示，则图②中最低点的纵坐标是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息及动点问题，勾股定理解三角形等，理解题意，根据函数图象得出相应的信息是解题关键过点作于点，在上截取，连接，则，结合函数图象得出，，，，再由勾股定理建立方程求解即可得出结果 【详解】解：如图，过点C作于点D，在上截取，连接，则， 由图②得，当时，，即点与点重合时，， 当点运动到点时，， ， 当时，，即点与点重合时，， ∴， ， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴最低点的纵坐标为， 故选： 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是关键； 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，由此列出不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义，则被开方数必须满足，解得 ， 故答案为：． 12. 某校团委举行“喜迎二十大，奋进新征程”演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则获得冠军的是选手______． 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 【答案】B 【解析】 【分析】这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数，50%，40%，10%说明演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度，是三项成绩的权． 【详解】解：选手A的最后得分是： ， 选手B的最后得分是： ． ∴选手B获得冠军． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是认真审题从题目中抽取出有效信息． 13. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算的长，再根据，对应边成比例，得到，所以设，则，从而求出的长． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 14. 如图，在扇形中，，，点C在上，且．以为边向右作菱形，使顶点D落在的延长线上，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积的计算得到 ，根据题意得到，根据含30度角的直角三角形，余弦值的计算得到 ，由此算出四边形的面积，结合图形即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴ ， 如图所示，过点A作于点F， 在中， ， ∴， 在中， ，， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴， ∴四边形的面积， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为： ． 15. 如图，等边三角形的顶点，，点A在第一象限内，点C在边上且，点D为边上一动点（不与点B重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点E的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的顶点，，可得，，由，可得，由折叠可得，可得点E在以点C为圆心，2为半径的圆上，过点C作于点F，交于点，连接，此时最小，，由，可得，过点作 于点，在中，，即可求得点E的横坐标． 【详解】解：∵等边三角形的顶点，， ∴，， ∵， ∴， ∵点D为边上一动点（不与点B重合），连接，将沿折叠得到， ∴， ∴点E在以点C为圆心，2为半径的圆上，过点C作于点F，交于点，连接，，此时最小，， ∵ ， ∴此时的面积最小， ∵， ∴， 过点作 于点， ∴在中，， ∴， ∴点E的横坐标为． 三、解答题（共8道题，第16题共10分每小题5分，第17、18、19、20、21题每题9分，第22、23题每题10分，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 从“河南制造”向“河南智造”跨越，到“智能红利”惠及千万百姓，河南正迎来发展人工智能（）的重要机遇．河南某教育集团举办技术比赛．为了解各校区参赛效果，比赛结束后，该教育集团随机从甲、乙两个校区的比赛成绩中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩用x表示，单位：分），将成绩分成五组：A：；B：；C：；D：；E：，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 甲校区20名学生的成绩：89，77，58，77，89，68，88，69，79，84，77，78，82，87，66，96，94，83，67，92， 其中乙校区学生的成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的甲、乙两校区学生成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 校区 平均数 中位数 众数 方差 甲 80 80.5 77 102.3 乙 80 b 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）比赛成绩90分及以上记为优秀，乙校区共有600名学生参加比赛，估计乙校区成绩优秀的学生人数为______人； （3）结合上述数据，分析甲乙两个校区哪个校区技术掌握得更好？（写出一条即可） 【答案】（1）20，82.5 （2）120 （3）乙校区技术掌握得更好，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据样本百分比的计算得到a的值，根据中位数的计算得到b的值； （2）根据样本估算总体数量的计算即可求解； （3）根据平均数，中位数，众数，方差作决策即可． 【小问1详解】 解：甲校区B组的人数为：4人， ∴ ，即， 乙校区的中位数是第10，11位同学成绩的平均数，即D组中82，83的平均数， ∴ ； 【小问2详解】 解： （人）， ∴乙校区成绩优秀的学生人数为120人； 【小问3详解】 解：乙校区技术掌握得更好，理由如下， 因为两个校区成绩的平均数相等，乙校区成绩的中位数高于甲校区，乙校区成绩的众数高于甲校区，方差小于甲校区，说明乙校区成绩整体更集中、更稳定，所以乙校区技术掌握得更好． 18. 如图，小明想利用数学课上学习的知识测量某塔的高度．他发现此塔的影子一部分落在平台上，一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影子长为米，落在斜坡上的影子的长为8米，若2米的竖立标杆在斜坡上的影子的长为4米，同一时刻太阳光线与水平地面成．请你帮小明求出此塔的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】此塔的高度约为48米 【解析】 【分析】过点C作，交于点M，过点M作于点N，则四边形为矩形，结合题意可证得到 ，在中运用解直角三角形的计算得到 米，由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，交于点M，过点M作于点N，则四边形为矩形． 由题意得： 米，米，米， 米，， ， ， ∴ ， ∴， ∴，即， 解得（米）， ∴ 米， 在中， ， ∴ （米）， ∴ （米）， 答：此塔的高度约为48米． 19. 如图，已知内接于，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作的切线，且点M在直线的右侧．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，射线上有一点D，满足，连接交于点F，判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的基础上，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）四边形ABCD为平行四边形，理由见解析 （3）8 【解析】 【分析】（1）连接并延长，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线于点R,T,分别以点R，T为圆心，以大于 为半径画弧交于点M，过点A，M作直线即可； （2）连接，延长交于点E，结合题意，及垂径定理的推论得到，由切线的性质得到，再根据平行四边形的判定和性质即可求解； （3）根据平行四边形的性质得到，，根据圆内接四边形的性质得到，由此得到 ． 【小问1详解】 解：如图所示，直线为的切线． 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形，理由如下： 如图，连接，延长交于点E， 在中，， ∴， ∵是的切线，点A在圆上， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵四边形内接于， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ． 20. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，其中点的坐标为，点的纵坐标为，一次函数 的图象与轴交于点． （1）求m和n的值； （2）根据图象，当时，请直接写出x的取值范围______； （3）将线段绕着点逆时针旋转得到线段，点恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），； （2）或 （3）点． 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数可求得，进而求出反比例函数的关系式； （2）根据图象直接得出答案； （3）过点作轴，过点作，过点作，构造K字型全等三角形，根据旋转前后线段之间的和差关系，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵把点代入一次函数得： ，解得， 即． 又在反比例函数上 ∴． 【小问2详解】 解：当时，，即交点为，结合图象可得：当时，x的取值范围为或， 【小问3详解】 解：当时，，即， 过点作轴，过点作，过点作， ∴， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点． 21. 近期，某中学将课间活动时间由分钟延长到分钟，让孩子“身上有汗，眼里有光”．该校为丰富学生的课间生活，计划购买一些排球和篮球，某商场给出的价目表如表所示（排球和篮球的单价不变）： 购买数量个 购买所需费用元 排球 篮球 方案 方案 （1）排球和篮球的单价分别是多少元？ （2）学校决定购买排球和篮球共个，且排球的数量不少于篮球数量的倍．若一个排球的进价是元，一个篮球的进价是元，如果你是商场经理，你会如何搭配排球和篮球的数量，使商场获得的利润最大？并确定最大利润． 【答案】（1）元，元 （2）学校购买排球个、篮球个使商场获得的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设排球的单价为元，篮球的单价为元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购买排球个，则购买篮球个，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设获得的利润为元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【小问1详解】 解：设排球的单价为元，篮球的单价为元． 根据题意，得， 解得． 答：排球的单价为元，篮球的单价为元． 【小问2详解】 设购买排球个，则购买篮球个． 根据题意，得， 解得， 设获得的利润为元，则， ， 随的增大而减少， ， 当时值最大，， 个． 答：学校购买排球个、篮球个，使商场获得的利润最大，最大利润为元． 22. 已知二次函数，与x轴交于点和，与y轴的正半轴交于点C，且．其顶点为P． （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数的顶点P的坐标，并在坐标系中画出函数的图象． （3）若当 时，函数的最大值为，请直接写出m的值． 【答案】（1） （2），见解析 （3）2或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）将二次函数一般式化为顶点式，得到顶点坐标，再根据二次函数作图方法得到图象； （3）根据二次函数图象的特点，分类讨论：当时，即，则当时，取得最大值；当时，则时，取得最大值，由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数，与x轴交于点和，与y轴的正半轴交于点C， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 二次函数图象如下图所示， 【小问3详解】 解：∵二次函数图象的对称轴直线为，二次项系数， ∴图象开口向下，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，即，则当时，取得最大值， ∴ ， 整理得，， 解得， ，（舍去）； 当时，则时，取得最大值， ∴ ， 整理得，， 解得，，（舍去）； 综上所述，的值为2或． 23. 【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在平行四边形中，于点E，交于点F，若F为的中点，则平行四边形是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 （1）①菱形______（填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，平行四边形是“垂中平行四边形”，其中是“垂中对角线”，则的值为______． （2）如图2，在矩形中，，．若该矩形是“垂中平行四边形”，且是其“垂中对角线”，求的长． （3）如图3，在中，于点E，，．若是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 【答案】（1）①不可能② （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）①由菱形对角线的性质，就可以判定； ②过点D，作，四边形是平行四边形，易证点H也是中点，由平行线分线段成比例，可知，所以； （2）过点B作，垂足为F，交于点E，四边形是矩形，也是“垂中平行四边形”，证明，根据边长成比例，求出； （3）分三种情况，运用平行四边形性质，相似三角形，判定“垂中平行四边形”，再结合平行四边形的性质，勾股定理，求出四边形的周长． 【小问1详解】 解：①不可能．因为菱形的对角线互相垂直，点F与D点重合，不是中点，所以菱形不是“垂中平行四边形”； ②过点D，作，交于点G，交于点H，如下图， 四边形是“垂中平行四边形”， ，，， 四边形是平行四边形， ，即点H也是中点， ， 即． 【小问2详解】 解：过点B作，垂足为F，交于点E，如下图 矩形是“垂中平行四边形”， ，， 四边形是矩形， ， ，垂足为F， ， ， 又， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， 构成“垂中平行四边形”，分三种情况 ①过点A作，过点C作，与相交于点D，延长交于点F，如下图 四边形是平行四边形， ，即， 点F是中点， ， 四边形是“垂中平行四边形”， 且， ， ； ②过点C作，与的延长线交于点D，过点D作，交的延长线于点F，如下图 四边形是平行四边形， ，， ，即，点A是中点， ， 四边形是“垂中平行四边形” 由①知， ； ③过点A作，交的延长线于点D，连接，过点B作，交的延长线于点F，四边形是平行四边形，如下图 ， ， ，即，， 点A是的中点， ，是对角线， 四边形是“垂中平行四边形”， 在中，， 由①知， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年适应性训练试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号，用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠，考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 儿童体重管理是一项长期而艰巨的任务，科学管理体重，让孩子在阳光下快乐健康成长，国家一直在行动．随着宣传的深入，小明对自己体重的关注度也越来越高．用正负数表示体重的变化量，体重上升为正，体重下降为负．春节前小明体重下降了记作，春节后小明体重增加了应记作（ ） A. B. C. D. 2. 中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适宜用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查 C. 调查2026年春节联欢晚会的收视率 D. 了解全班男生每周体育锻炼的时间 5. 当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．如图，光线从水中斜射向空气时，偏折为方向，已知，，，则光线偏离光线延长线的的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 济源因济水发源而得名，是愚公移山精神的发祥地，位于豫西北、晋东南交界地带，是一座独具魅力的工业旅游城市．春暖花开，小美和小丽两个家庭打算在“五一”假期来济源游玩，并约定好于5月2日上午在“王屋山、小浪底、五龙口”三个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一个景区的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为的正方形的对角线与相交于点O，E是边上一点，F是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，动点从点出发，以的速度向点的方向运动，设运动时间为，，与之间函数图象如图②所示，则图②中最低点的纵坐标是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 11 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围为_______． 12. 某校团委举行“喜迎二十大，奋进新征程”演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则获得冠军的是选手______． 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 13. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 14. 如图，在扇形中，，，点C在上，且．以为边向右作菱形，使顶点D落在的延长线上，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π）． 15. 如图，等边三角形的顶点，，点A在第一象限内，点C在边上且，点D为边上一动点（不与点B重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点E的横坐标为______． 三、解答题（共8道题，第16题共10分每小题5分，第17、18、19、20、21题每题9分，第22、23题每题10分，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 从“河南制造”向“河南智造”跨越，到“智能红利”惠及千万百姓，河南正迎来发展人工智能（）的重要机遇．河南某教育集团举办技术比赛．为了解各校区参赛效果，比赛结束后，该教育集团随机从甲、乙两个校区的比赛成绩中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩用x表示，单位：分），将成绩分成五组：A：；B：；C：；D：；E：，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 甲校区20名学生的成绩：89，77，58，77，89，68，88，69，79，84，77，78，82，87，66，96，94，83，67，92， 其中乙校区学生的成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的甲、乙两校区学生成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 校区 平均数 中位数 众数 方差 甲 80 80.5 77 102.3 乙 80 b 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）比赛成绩90分及以上记为优秀，乙校区共有600名学生参加比赛，估计乙校区成绩优秀的学生人数为______人； （3）结合上述数据，分析甲乙两个校区哪个校区技术掌握得更好？（写出一条即可） 18. 如图，小明想利用数学课上学习的知识测量某塔的高度．他发现此塔的影子一部分落在平台上，一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影子长为米，落在斜坡上的影子的长为8米，若2米的竖立标杆在斜坡上的影子的长为4米，同一时刻太阳光线与水平地面成．请你帮小明求出此塔的高度．（结果保留整数，参考数据：） 19. 如图，已知内接于，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作的切线，且点M在直线的右侧．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，射线上有一点D，满足，连接交于点F，判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的基础上，连接，若，求的长． 20. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，其中点的坐标为，点的纵坐标为，一次函数 的图象与轴交于点． （1）求m和n的值； （2）根据图象，当时，请直接写出x的取值范围______； （3）将线段绕着点逆时针旋转得到线段，点恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 21. 近期，某中学将课间活动时间由分钟延长到分钟，让孩子“身上有汗，眼里有光”．该校为丰富学生的课间生活，计划购买一些排球和篮球，某商场给出的价目表如表所示（排球和篮球的单价不变）： 购买数量个 购买所需费用元 排球 篮球 方案 方案 （1）排球和篮球的单价分别是多少元？ （2）学校决定购买排球和篮球共个，且排球的数量不少于篮球数量的倍．若一个排球的进价是元，一个篮球的进价是元，如果你是商场经理，你会如何搭配排球和篮球的数量，使商场获得的利润最大？并确定最大利润． 22. 已知二次函数，与x轴交于点和，与y轴的正半轴交于点C，且．其顶点为P． （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数的顶点P的坐标，并在坐标系中画出函数的图象． （3）若当 时，函数的最大值为，请直接写出m的值． 23. 【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在平行四边形中，于点E，交于点F，若F为的中点，则平行四边形是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 （1）①菱形______（填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，平行四边形是“垂中平行四边形”，其中是“垂中对角线”，则的值为______． （2）如图2，在矩形中，，．若该矩形是“垂中平行四边形”，且是其“垂中对角线”，求的长． （3）如图3，在中，于点E，，．若是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $