精品解析：2025年河南省（省直辖县级行政单位）济源市九年级中招一模考试数学试卷

2024-2025学年中招适应性训练 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号，用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠，考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 截至2025年4月2日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已经突破亿，成为全球单一市场票房破150亿人民币的唯一影片．影片的成功不仅在于票房的表现，还在于中国电影在全球范围内的影响力和文化传播作用．其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的有（ ） （）了解某市岁以上老年人的健康状况适合普查； （）为了了解我市今年名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计．其中名考生的数学成绩是总体的一个样本； （）袋子中装有个黑球、个白球，这些球形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大； （）甲乙两人跳绳各次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列几何体中，俯视图与左视图形状相同的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则长为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校利用劳动课组织学生开展校园植树活动，七年级学生共植树棵，八年级学生共植树棵，九年级学生植树数是七、八年级植树总数的3倍，则九年级学生植树数为_____棵． 12. 一个关于的函数同时满足两个条件：①图象过点；②随的增大而减小．这个函数解析式为_______．（写出一个即可） 13. 九年级一班计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“”“豆包”三个主题，若小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是_____． 14. 已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最低点和最高点到轴的距离分别为，当时，则的取值范围为_____． 三、解答题（共8道题，第16题共10分每小题5分，第17、18、19、20、21题每题9分，第22-23题每题10分，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 为促进中学生对传统年俗文化知识了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：．，．，．，．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为： 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：______，______，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定在分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 18. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线解析式，并直接写出点的坐标； （2）先用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，再连接、．猜想四边形的形状，并说明理由． 19. 【研究背景】济源博物馆文物丰富，藏品15000余件（套），珍贵文物3480余件（套），尤以汉代釉陶明器最具地方特色．馆藏文物种类丰富，包括铜器、陶器、瓷器、玉器、石刻、砖瓦、古生物化石、历代钱币、雕塑造像、文件宣传品、档案文书、图书古籍、碑刻等各种门类．1966年4月，济源市西官桥河边出土了商铜爵． 【数据测量】小明利用周末参观济源博物馆后，产生了浓厚的研究兴趣，在网上买了一个仿制的商铜爵（图1），经过测量，绘制了平面图．图2是其示意图．已知管状矩流，矩形是器身，，，，，，求该商铜爵流口距地面的高度（结果精确到）（参考数据：，，，） 20. 如图，在中，，是上一点，经过点，与相切于点，点、分别是与的交点，且． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积为多少？ 21. 2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 22. 【项目式学习】 项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器． 【模型构建】 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米． 23. 综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． （1）【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． （2）【结论应用】 在（1）基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． （3）【拓展应用】 正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年中招适应性训练 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号，用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠，考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解：的相反数是2， 故选：A． 2. 截至2025年4月2日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已经突破亿，成为全球单一市场票房破150亿人民币的唯一影片．影片的成功不仅在于票房的表现，还在于中国电影在全球范围内的影响力和文化传播作用．其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，根据二次根式的减法、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则以及完全平方公式逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意； B. ，原计算错误，故此选项不符合题意； C. ，原计算正确，故此选项符合题意； D. ，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列说法正确的有（ ） （）了解某市岁以上老年人的健康状况适合普查； （）为了了解我市今年名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计．其中名考生的数学成绩是总体的一个样本； （）袋子中装有个黑球、个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大； （）甲乙两人跳绳各次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数据的收集，概率和方差，根据普查的特点、样本的定义、概率的意义及方差的意义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）了解某市岁以上老年人的健康状况适合抽样调查，该选项说法错误； （）为了了解我市今年名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了名考生数学成绩进行统计．其中名考生的数学成绩是总体的一个样本，该选项说法正确； （）袋子中装有个黑球、个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大，该选项说法正确； （）甲乙两人跳绳各次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，该选项说法错误； 综上，说法正确的有个， 故选：． 5. 空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，过作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解；能熟练利平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 6. 下列一元二次方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．关于的一元二次方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ， ∵， ∴， ∴该方程有实数根，本选项符合题意； B. ， ∵， ∴， ∴该方程无实数根，本选项不符合题意； C. ， ∵， ∴， ∴该方程无实数根，本选项不符合题意； D. ， ∵， ∴， ∴该方程无实数根，本选项不符合题意． 故选：A． 7. 下列几何体中，俯视图与左视图形状相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，分别判断出各立体图形的俯视图和左视图，即可得出结果． 【详解】解：A、俯视图为圆，左视图为三角形，不相同，不符合题意； B、俯视图为圆，左视图为长方形，不相同，不符合题意； C、俯视图和左视图均为正方形，符合题意； D、俯视图为三角形，左视图为长方形，不相同，不符合题意；   故选： C． 8. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵M是中弦的中点， ∴， 又∵， ∴， 设圆的半径是x米，， 在中，有， 即：，解得： ， 所以圆的半径长是． 故选：B． 9. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可． 【详解】解：连接， 菱形中，，， ， 是等边三角形， 对角线， ， ， 过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 10. 如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明出，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形矩形，且旋转至矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，正确得到是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校利用劳动课组织学生开展校园植树活动，七年级学生共植树棵，八年级学生共植树棵，九年级学生植树数是七、八年级植树总数的3倍，则九年级学生植树数为_____棵． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键．根据“九年级学生植树数是七、八年级植树总数的3倍”列代数式即可． 【详解】解：由题意可知，九年级学生植树数为棵， 故答案为：． 12. 一个关于函数同时满足两个条件：①图象过点；②随的增大而减小．这个函数解析式为_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据题意得到该函数是形如的一次函数，且，写出一个即可． 【详解】解：函数图象过且随的增大而减小， 该函数是形如的一次函数，且， 这个函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一） ． 13. 九年级一班计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“”“豆包”三个主题，若小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据概率的计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意，共有3种等可能结果，其中符合题意的有1种， ∴小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是， 故答案为：． 14. 已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长． 【详解】解：，点D是AC的中点， ∵点D、E分别是AC、BC的中点， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最低点和最高点到轴的距离分别为，当时，则的取值范围为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性；掌握二次函数图象的性质，数形结合思想是解题的关键． 过点B作轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在点C和点E之间时，③当点P在点E上方时，分别根据列式求解即可． 【详解】解：过点B作轴交抛物线于点E， ∵， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， ∴点E与点B关于对称轴对称，，如图所示： ①当点P在点B和点C之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∴符合题意， ∴， ③当点P在点E上方时，即时，最低点为点，最高点点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴． 综上所述，m的取值范围为或． 三、解答题（共8道题，第16题共10分每小题5分，第17、18、19、20、21题每题9分，第22-23题每题10分，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算，分式相关运算的法则． （1）先求立方根，去绝对值，算负整数指数幂，再算加减； （2）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：．，．，．，．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为： 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：______，______，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定在分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 【答案】（1），，补图见解析 （2）九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（）根据中位数和众数的定义可求出，根据条形统计图求出成绩在组的学生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图； （）根据平均数、中位数和众数判断即可； （）用乘以八、九年级参加知识竞赛的优秀人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵九年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多， ∴， 故答案为：，， 由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为人， ∴补全八年级成绩条形统计图如下： 【小问2详解】 解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以九年级学生的竞赛成绩更优秀； 【小问3详解】 解：， 答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人． 18. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）先用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，再连接、．猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）图见解析，四边形是平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查的是反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，尺规作图． （1）由与的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；再根据点的横坐标，即可求得点的坐标； （2）利用尺规作图作出图形即可，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【小问1详解】 解：点和的刻度分别为和， ， ，轴， ， 把代入得，，解得， 反比例函数解析式为； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示， 猜想：四边形是平行四边形． 理由如下：轴，是的中点，，， ， 又点纵坐标为，轴， ， ， ∵， 四边形是平行四边形． 19. 【研究背景】济源博物馆文物丰富，藏品15000余件（套），珍贵文物3480余件（套），尤以汉代釉陶明器最具地方特色．馆藏文物种类丰富，包括铜器、陶器、瓷器、玉器、石刻、砖瓦、古生物化石、历代钱币、雕塑造像、文件宣传品、档案文书、图书古籍、碑刻等各种门类．1966年4月，济源市西官桥河边出土了商铜爵． 【数据测量】小明利用周末参观济源博物馆后，产生了浓厚的研究兴趣，在网上买了一个仿制的商铜爵（图1），经过测量，绘制了平面图．图2是其示意图．已知管状矩流，矩形是器身，，，，，，求该商铜爵流口距地面的高度（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作，交的延长线于点过点作，交于点，在和中利用锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点过点作，交于点 在中，， 在中，， ． 答：该商铜爵流口距地面的高度约为． 20. 如图，在中，，是上一点，经过点，与相切于点，点、分别是与的交点，且． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积为多少？ 【答案】（1） （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，求扇形的面积， （1）连接，根据切线的性质得，再说明， 可得，然后证明接下来根据可得答案； （2）由（1）得，可得为等边三角形，进而求出，，再求出和扇形，最后根据面积差可得答案． 【小问1详解】 解：连接， 是的切线，为切点， ． ，即， ， ． ， ， ， 即， ． ， ， ． 是O的直径， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1），得， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ． 根据勾股定理，得， ， 扇形， 阴影部分的面积为． 21. 2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 （2）当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，根据“用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的”列出方程求解即可； （2）设购买航空模型个，花费为元，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， 是原方程的解，且符合题意， ， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． 【小问2详解】 解：设购买航空模型个，花费为元． 由题意得，， 解得， ， ， 随增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 22. 【项目式学习】 项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器． 【模型构建】 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米． 【答案】（1） （2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由见解析 （3）喷淋头距离喷淋头至少米 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出值，与比较，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由如下： 把代入得：， ∵， ∴按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 23. 综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． （1）【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． （2）【结论应用】 在（1）的基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． （3）【拓展应用】 正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）先利用勾股定理求得，利用锐角三角函数求得，进而可求解； （3）分当时和当时两种情况，画出对应图形，同理证明，利用正方形的性质和折叠性质、结合勾股定理和平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质得， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：由正方形得，，， 由折叠性质得， 当时，如图，过A作交于K， ∴， 同（1）证明方法可得， ∴， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 当时，如图，过A作交于K， 同理可证，则， ∴， 综上，折痕的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$