吉林珲春市第二高级中学校2025-2026学年高一上学期第一学程考试数学试卷

**基本信息** 融合《孙子算经》文化情境与逻辑推理，覆盖集合运算、不等式性质等高一核心知识，梯度设计适配月考基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合交并补、因式分解、充分条件|基础概念辨析，如第3题Venn图阴影部分求解| |多选|3/18|集合关系、命题真假、文化算题|第11题结合"物不知数"问题考查数学抽象| |填空|3/15|真子集个数、新定义"8和集合"|第14题通过自定义集合考查创新应用| |解答|5/77|集合运算、不等式证明、逻辑推理|第19题证明奇数性质，体现数学思维严谨性|

2025-2026学年度高一上学期第一学程考试 数学试题 命题人：魏荻 审题人：朴颖 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（共8题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，，则 （    ） A． B． C． D． 2. 下列整式由左到右的变形，是因式分解的是 A. B. C. D. 3．已知集合A={2，3，4}，集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（     ） A．{2，4} B．{3，5} C．{5} D．{2，3，4，5} 4．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 5． “”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若a＞b，c＞d，则（    ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 7．已知全集为R，集合，，则（     ） A． B． C． D． 8. 已知，，且，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题（共3题，每小题6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．(多选) 下列表述正确的是（     ） A． B． C．-3 D． 10．（多选）命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？” 现有如下表示：已知，，， 若，则下列选项中符合题意的整数为（     ） A．23 B．38 C．128 D．233 三、填空题（共3题，每小题5分。把正确答案填写在横线上） 12．已知集合，则的真子集的个数是_________________. 13．若 ，则 _____________________ 14．定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中， 是“8和集合”的集合有 __________ 个. 四．解答题（本题共5题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 请回答下列问题． （1）已知 ，求 的值． （2）已知 ，，， 求 的值． 16．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 17．已知，，且． (1) 求的最小值； (2) 证明：． 18．已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 19．设集合．求证： （1）一切奇数属于集合； （2）偶数不属于； （3）属于的两个整数，其乘积仍属于． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一上学期第一学程考试 数学试题 命题人：魏荻 审题人：朴颖 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（共8题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得. 故选：B 2. 下列整式由左到右的变形，是因式分解的是 A. B. C. D. 故选：D 3．已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（     ） A．{2，4} B．{3，5} C．{5} D．{2，3，4，5} 【详解】因为集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}， 所以图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，即 故选：C 4．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】存在量词命题的否定格式：首先存在量词改为全称量词，然后否定命题的结论，故原命题的否定为：，. 故选：A. 5． “”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由不能推出，但由必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．若a＞b，c＞d，则（    ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 7．已知全集为R，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 8. 已知，，且，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【详解】对于A，因为，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，由A可知，， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，由A可知，， 当且仅当时，等号成立，故D正确..答案为A 二、多项选择题（共3题，每小题6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．(多选) 下列表述正确的是（     ） A． B． C．-3 D． 【答案】BD 【分析】根据常见数集的符号表示逐一判断即可. 【详解】表示整数集，故A不正确、C不正确； 表示自然数集，故B正确； 表示有理数集，故D正确. 故选：BD 10．（多选）命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为命题“，”是真命题，所以. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，则， 由选项可知，，均是的必要不充分条件. 故选：ABC. 11．（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？” 现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（     ） A．23 B．38 C．128 D．233 【详解】因为，故，故A正确； 因为，则，故B错误； 因为，故，故正确； ，故，故D正确． 故选：ACD 三、填空题（共3题，每小题5分。把正确答案填写在横线上） 12．已知集合，则的真子集的个数是_________________. 故答案为： 3 13．若，则 _____________________ 故答案为： 14．定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有 __________ 个. 【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现， 当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个； 当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个. 当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个. 则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个. 故答案为：15. 四．解答题（本题共5题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 请回答下列问题． （1）已知 ，求 的值． （2）已知 ，，，求 的值． 【详解】：（1） 原式 ． ， ， ．       （2） 当 ，， 时， 16．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【详解】（1）由题意可得. 当时，， 则. （2）由（1）可知，则， 因为，所以， 解得，即a的取值范围是. 17．已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 【详解】（1）因为，所以， ，，故，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为8； （2）证明： ， 当且仅当，即时取等号，所以. 18．已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【详解】（1）若命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题， 则，解得或， 故实数的取值集合. （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， 又， 故，等号不能同时取得，解得， 故的取值范围为. 19．设集合．求证： （1）一切奇数属于集合； （2）偶数不属于； （3）属于的两个整数，其乘积仍属于． 【详解】证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，．由的任意性知，一切奇数属于． （2）首先我们证明如下命题： 设：，则与具有相同的奇偶性． 以下用反证法证明． 假设，则存在，使得．若与同为奇数，则（）（ ）必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则（）（ ）必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾． 综上所述，形如的偶数不属于． （3）设，则存在，使得． = =， 又因为，均为整数， ． 学科网（北京）股份有限公司 $