精品解析：2025年安徽省阜阳市太和县二模数学试题

太和县2025年初中学业水平考试质量监测试卷（二） 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项A，B，C，D中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣9的相反数是【 】 A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【详解】∵相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 因此﹣9的相反数是9． 故选A． 2. 中国空间站位于距离地面的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站的表面温度与背阳面温度相差极大．数据“400km”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，色泽古朴典雅．如图，这是一个紫砂壶，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形如下：， ∴该紫砂壶的主视图是A选项中的图形， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算和实数的运算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示解集的方法是解题的关键． 先求出不等式的解集，再根据在数轴上表示不等式的解集的方法判断即可． 【详解】解：解不等式，得， 该解集在数轴上表示为： ． 故选：A． 6. 如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角的度数为50°，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 30° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直定义和平行线性质，由光的反射规律可求，再由，可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 7. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，圆心角度数为，半径为的扇形面积为，据此计算求解即可． 【详解】解：， ∴该扇形面积为， 故选：A． 8. 已知反比例函数的图象与直线交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例的对称性及与一次函数的交点问题，把点代入，求得，得，再把代入，求出的值即可． 【详解】解：∵反比例函数图象与直线交于点， ∴把点代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 解得，， 㽁选：D． 9. 如图，和分别是的中线和高线，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形高线和中线的定义，先利用勾股定理求出的长，则可求出的长，再利用三角形中线的定义即可求出答案． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，，，，点从点出发，沿着的路径以个单位长度的速度运动到点．同时，点从点出发，沿着的路径以2个单位长度的速度运动到点．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，，设它们运动的时间为（单位：），的面积为，则下列关于的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，勾股定理，解直角三角形，先利用勾股定理求出，则可求出运动时间为，分和两种情况，分别用含的式子表示出的面积，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴运动时间为， 当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴此时， ∵， ∴； 当时，如图所示，过点Q作于E， 由题意得，， ∴； 在，， ∴在，， ∴； ∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数的自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．根据分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：由分式的分母不能等于0得：， 解得， 所以函数的自变量的取值范围是， 故答案为：． 12. 已知为整数，且满足，则整数值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，且满足， ∴， 故答案为：． 13. 小明手中有4张扑克牌，分别为1张红桃、1张梅花和2张黑桃，这些牌除正面不同外，其余均相同．小明将这4张牌的背面朝上搅匀，从中随机抽取2张牌，则抽取的2张牌都是黑桃的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽取的2张牌都是黑桃的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B表示红桃和梅花，C、D表示两张黑桃， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，抽取的2张牌都是黑桃的结果数有2种， ∴抽取的2张牌都是黑桃的概率为， 故答案为：． 14. 如图，现有一张矩形纸片，点，分别在边，上，将矩形纸片沿着直线折叠，使点的对应点落在上，点的对应点为点，连接，． （1）当点与点重合时，若，则______．（用含的代数式表示） （2）若，，过点作于点，当四边形为正方形时，的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）由折叠的性质得，垂直平分，则，，再证，则，然后由菱形的性质即可得出结论； （2）连接、，证，得，则，设，则，再在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接、，如图所示： 由折叠的性质得：垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴的长为． 故答案为：；． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，， （1）以点为旋转中心，将旋转后得到，请在图中画出． （2）求的面积． （3）在轴上求一点，使得最小，在图中作出点，点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和旋转，坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可； （2）根据三角形面积计算公式求解即可； （3）作点A关于y轴对称点E，连接交y轴于P，则点P即为所求；可证明垂直平分，得到，再证明，得到，则，据此根据两点中点坐标计算公式求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由题意得， 【小问3详解】 解：如图所示，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则点P即为所求； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 甲、乙两车从A，B两地同时出发，沿着同一条路线相向而行，下表是甲、乙两车行驶时的一些信息． 信息一 信息二 信息三 相遇时，乙车走的路程比甲车走的路程多 甲车的平均速度是乙车的平均速度的倍 甲、乙两车出发后相遇 求甲、乙两车的平均速度． 【答案】甲车的平均速度为，乙车的平均速度为 【解析】 【分析】本题主要 考查了一元一次方程的实际应用，设乙车的平均速度为，则甲车的平均速度为，再根据2小时相遇时，乙车比甲车多走建立方程求解即可． 【详解】解：设乙车的平均速度为，则甲车的平均速度为， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲车的平均速度为，乙车的平均速度为． 18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． （1）指导教师将学生发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． （2）请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 【答案】（1）（i）72；8；9；（ii） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，平方差公式，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）（i）仿照题意求解即可；（ii）观察可知两个连续奇数的平方差等于8乘以这两个奇数和的四分之一，据此规律求解即可； （2）利用平方差公式求出去括号后的结果即可证明结论． 【小问1详解】 解：（i）由题意得，； （ii）， ， ， ， ……， 以此类推可知，； 【小问2详解】 证明： ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．如图2是某种型号飞机的机翼形状，图中，，，，请你根据图中的数据计算的长度．（参考数据：，，结果保留小数点后一位） 【答案】的长度约为1.3米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．求出，，得出的长，即可得出答案． 【详解】解：，，， ，， 过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 答：的长度约为1.3米． 20. 如图，为的外接圆，为的直径，为弦，为弧的中点，过点作，交于点，垂足为，弦分别与，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，熟知垂径定理和圆周角定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，则可证明，据此可证明结论； （2）连接，由垂径定理得到，由勾股定理得，则；设，则，由勾股定理得，解得，则；证明，则，解直角三角形得到；再证明，则． 【小问1详解】 证明：∵为的直径，， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】 为增强学生的安全意识，某校针对七、八年级学生进行了一次安全知识竞赛．竞赛结束，学校对七、八年级的安全知识竞赛成绩进行统计，并对学生今后的安全意识培养提出了意见和建议． 【数据收集与整理】 从七年级和八年级中各抽取10名学生的成绩(用表示)(单位：分)进行整理，将结果制成下表． 等级 A B C D 成绩/分 整理数据样本，将结果绘制如图所示的扇形统计图和频数分布直方图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）扇形图中，的值为______． （2）已知，，，四个等级成绩的平均数分别为82.5分、87.5分、92.5分、97.5分，计算八年级学生成绩的平均数． （3）若该校七、八年级各有1500名学生，请估计七、八年级学生成绩为优秀(竞赛成绩不低于90分的记为优秀)的总人数． 【答案】（1）20 （2）92.5 （3）2100 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和频数分布直方图，加权平均数，用样本估计总体等知识，掌握相关结论和方法是解题的关键． （1）用1减去其他等级所占百分比求出七年级B等级所占百分比即可的解； （2）运用加权平均数公式求解即可； （3）用1500乘以各年级优秀所占比，再求和即可． 【小问1详解】 解：七年级B等级所占百分比是：， ∴的值为20， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：由图可知八年级A、B、C、D等级的人数分别为：2、1、2、5， ∴八年级学生成绩的平均数为：； 【小问3详解】 解：(人)， 答：估计七、八年级学生成绩为优秀(竞赛成绩不低于90分的记为优秀)的总人数为2100人． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，是边上的一点，是边上的一点，连接，，，． （1）如图1，若，与交于点，，平分． ①求证：． ②若是的中点，求证：． （2）如图2，若四边形是菱形，平分，，交于点，，，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①先由等边对等角得到，再证明，进而可证明，据此证明即可证明；②延长交于H，可证明，得到，再求出，则可证明； （2）先导角证明，得到，则；再证明，得到，则可证明，得到，则；过点A作于M，则 ，；过点E作于N，则四边形是矩形，可得，，求出，则． 【小问1详解】 证明：①∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴； ②如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于M，则 ， ∴； 如图所示，过点E作于N， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，． 【构建联系】 （1）求证：． （2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，连接，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据正方形的性质和反比例函数的性质，即可解答； （2）过点作轴于点，交于点，证明，由相似三角形的性质列方程，即可解答； （3）过点作于点，过点作于点，求得的长，即可解答． 【详解】解：（1）证明：设点，， 点，都在正方形上， ，且， ，即． （2）如图1，过点作轴于点，交于点， 四边形是正方形，， ，， ， 根据折叠的性质可得，，， ， 轴， ， ， ， ，． ， ， 解得， 点． 把点代入，解得； （3）如图2，过点作于点，过点作于点， ， 则四边形为矩形， 由（2），可知，，，，， ， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和县2025年初中学业水平考试质量监测试卷（二） 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项A，B，C，D中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣9的相反数是【 】 A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣ 2. 中国空间站位于距离地面的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站的表面温度与背阳面温度相差极大．数据“400km”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，色泽古朴典雅．如图，这是一个紫砂壶，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A （A） B. （B） C. （C） D. （D） 6. 如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角的度数为50°，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 30° D. 25° 7. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数图象与直线交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，和分别是的中线和高线，，，，则的长为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点从点出发，沿着的路径以个单位长度的速度运动到点．同时，点从点出发，沿着的路径以2个单位长度的速度运动到点．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，，设它们运动的时间为（单位：），的面积为，则下列关于的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数的自变量x的取值范围是________． 12. 已知为整数，且满足，则整数的值为______． 13. 小明手中有4张扑克牌，分别为1张红桃、1张梅花和2张黑桃，这些牌除正面不同外，其余均相同．小明将这4张牌的背面朝上搅匀，从中随机抽取2张牌，则抽取的2张牌都是黑桃的概率为______． 14. 如图，现有一张矩形纸片，点，分别在边，上，将矩形纸片沿着直线折叠，使点的对应点落在上，点的对应点为点，连接，． （1）当点与点重合时，若，则______．（用含的代数式表示） （2）若，，过点作于点，当四边形为正方形时，的长为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，， （1）以点为旋转中心，将旋转后得到，请在图中画出． （2）求的面积． （3）在轴上求一点，使得最小，在图中作出点，点的坐标为______． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 甲、乙两车从A，B两地同时出发，沿着同一条路线相向而行，下表是甲、乙两车行驶时一些信息． 信息一 信息二 信息三 相遇时，乙车走的路程比甲车走的路程多 甲车的平均速度是乙车的平均速度的倍 甲、乙两车出发后相遇 求甲、乙两车的平均速度． 18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． （2）请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．如图2是某种型号飞机的机翼形状，图中，，，，请你根据图中的数据计算的长度．（参考数据：，，结果保留小数点后一位） 20. 如图，为的外接圆，为的直径，为弦，为弧的中点，过点作，交于点，垂足为，弦分别与，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】 为增强学生的安全意识，某校针对七、八年级学生进行了一次安全知识竞赛．竞赛结束，学校对七、八年级的安全知识竞赛成绩进行统计，并对学生今后的安全意识培养提出了意见和建议． 数据收集与整理】 从七年级和八年级中各抽取10名学生的成绩(用表示)(单位：分)进行整理，将结果制成下表． 等级 A B C D 成绩/分 整理数据样本，将结果绘制如图所示的扇形统计图和频数分布直方图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）扇形图中，的值为______． （2）已知，，，四个等级成绩的平均数分别为82.5分、87.5分、92.5分、97.5分，计算八年级学生成绩的平均数． （3）若该校七、八年级各有1500名学生，请估计七、八年级学生成绩为优秀(竞赛成绩不低于90分的记为优秀)的总人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，是边上的一点，是边上的一点，连接，，，． （1）如图1，若，与交于点，，平分． ①求证：． ②若是的中点，求证：． （2）如图2，若四边形是菱形，平分，，交于点，，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，． 【构建联系】 （1）求证：． （2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，连接，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $